《微积分模型ppt.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分模型ppt.ppt（82页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、模型分析和建立模型分析和建立先看如下三个例子先看如下三个例子1.卫星轨道的长度2.射击命中概率3.人口增长模型1、卫星轨道的长度 人造地球卫星的轨道可以视为平面上的椭圆，中国第一颗人造卫星近地点距离地球表面439km，远地点距离地球表面2384km，地球半径为6371m，试求该卫星的轨道长度？分析：2、射击命中概率 炮弹射击的目标为一正椭圆形区域，当瞄准目标的中心发射时，在纵多因素的影响下，弹着点与目标中心有随机偏差。可以合理地假设弹着点围绕中心呈二维正态分布，且偏差在x方向和y方向相互独立。若椭圆区域在x方向半轴长120m,y方向半轴80m，设弹着点偏差的均方差在x方向和y方向均为100m,
2、试求 炮 弹 落 在 椭 圆 形 区 域 内 的 概 率？分析：3、人口增长率20世纪美国人口统计数据如表6.5所示，计算表中这些年份的人口增长率。又已知某地区20世纪70年代的人口增长率如表6.6所示，且1970年人口为210万，试估计该地区1980年的人口？分析:小小结结模型求解u 数值微分相关知识回顾u 数值积分相关知识u Matlab 相关命令u 程序实现u 数值微分相关知识回顾1.函数f(x)以离散点列给出时，而要求我们给出导数值，2.函数f(x)过于复杂这两种情况都要求我们用数值的方法求函数的导数值微积分中，关于导数的定义如下：自然，而又简单的方法就是，取极限的近似值，即差商向前差
3、商公式向后差商公式中心差商公式给定点列且求两点差商公式：两点差商公式：三点差商公式三点差商公式u 数值积分相关知识回顾关于积分，有Newton-Leibniz公式但是，在很多情况下，还是要数值积分：1、函数有离散数据组成2、F(x)求不出3、F(x)非常复杂定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合称为求积系数，与f(x)无关，与积分区间和积分点有关矩形公式矩形公式左矩形公式左矩形公式右矩形公式右矩形公式中矩形公式中矩形公式梯形公式梯形公式辛普森辛普森(Simpson)公式公式复合梯形公式复合梯形公式复合辛普森复合辛普森(Simpson)公式公式 将将 分为分为 等份，步长等份，步长 ，分
4、点，分点Matlab相关命令 x=linspace(0,pi,50);y=sin(x);R1=trapz(x,y)；%梯形公式计算R2=quad(sin,0,pi,1.0e06)；%辛普森公式计算结果R1=1.999314849324062R2=1.999993496534964程序实现模型实例讲解森林救火问题水箱的水流问题 森林救火问题森林救火问题森林失火后，要确定派出消防队员的数量。森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。队员少，森林损失大，救援费用小。所以需要综合考虑森林损失费和救援费与消防队员
5、所以需要综合考虑森林损失费和救援费与消防队员之间的关系，以总费用最小来决定派出队员的数量。之间的关系，以总费用最小来决定派出队员的数量。问题问题分析分析问题问题记队员人数记队员人数x,失火时刻失火时刻t=0,开始救火时刻开始救火时刻t1,灭火时刻灭火时刻t2,时刻时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t).损失费损失费f1(x)是是x的减函数的减函数,由烧毁面积由烧毁面积B(t2)决定决定.救援费救援费f2(x)是是x的增函数的增函数,由队员人数和救火时间由队员人数和救火时间决定决定.找到找到恰当的恰当的x，使，使f1(x),f2(x)之和最之和最小小 关键是对关键是对B(t)作出作出合理的简化假
6、设合理的简化假设.问题问题分析分析失火时刻失火时刻t=0,开始救火时刻开始救火时刻t1,灭火时刻灭火时刻t2,画出时刻画出时刻 t 森林烧毁面积森林烧毁面积B(t)的大致图形的大致图形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比较困难比较困难,转而讨论森林烧毁转而讨论森林烧毁速度速度dB/dt.（其中（其中dB/dt表示表示单位时间烧毁的面单位时间烧毁的面积）积）模型假设模型假设 3）f1(x)与与B(t2)成成正比，系数正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）烧毁单位面积损失费）1）0 t t1,dB/dt 与与 t成成正比，系数正比，系数 (火势蔓延速度）火势蔓延速度）2）t1 t t2,降为降
7、为-x(为队员的平均灭火为队员的平均灭火速度）速度）4）每个）每个队员的单位时间灭火费用队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用一次性费用c3(运送消防队员和器材等一次性支出运送消防队员和器材等一次性支出)假设假设1）的解释的解释 rB火势以失火点为中心，火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，均匀向四周呈圆形蔓延，半径半径 r与与 t 成正比成正比面积面积 B与与 t2成正比，成正比，dB/dt与与 t成正比成正比.模型建立模型建立b0t1tt2假设假设1）目标函数目标函数总费用总费用假设假设3）4）假设假设2）模型建立模型建立目标函数目标函数总费用总费用模型求解模型求解求求 x使使 C(x
8、)最小最小结果解释结果解释 /是火势不继续蔓延的最少队员数是火势不继续蔓延的最少队员数b0t1t2t其中其中 c1,c2,c3,t1,为已知参为已知参数数模型模型应用应用c1,c2,c3已知已知,t1可估可估计计,c2 x c1,t1,x c3,x 结果结果解释解释c1烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费,c2每个每个队员单位时间灭火费队员单位时间灭火费,c3每个每个队员一次性费用队员一次性费用,t1开始救火时刻开始救火时刻,火火势蔓延速度势蔓延速度,每个每个队员平均灭火队员平均灭火速度速度.为什么为什么?,可可设置一系列数设置一系列数值值由模型决定队员数量由模型决定队员数量x练习题在森林救火
9、模型中，如果考虑消防队员的灭火速度 与开始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。程序实现 美国某州的用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加美国某州的用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加仑计的用水量以及每天所用的总水量。许多社区没有测量流入仑计的用水量以及每天所用的总水量。许多社区没有测量流入或流出水塔水量的装置，只能代之以每小时测量水塔中的水位，或流出水塔水量的装置，只能代之以每小时测量水塔中的水位，其误差不超过其误差不超过5%。需要注意的是，当水塔中的水位下降到最低。需要注意的是，当水塔中的水位下降到最低水位水位L时，水泵就自动向水塔输水直到最高水位时，水泵就自动
10、向水塔输水直到最高水位H，此期间不能，此期间不能测量水泵的供水量，因此，当水泵正在输水时不容易建立水塔测量水泵的供水量，因此，当水泵正在输水时不容易建立水塔中水位和用水量之间的关系。水泵每天输水一次或两次，每次中水位和用水量之间的关系。水泵每天输水一次或两次，每次约约2小时。小时。水箱的水流问题水箱的水流问题 试估计任何时刻（包括水泵正在输水时间）从水塔试估计任何时刻（包括水泵正在输水时间）从水塔流出的水流量流出的水流量f(t)，并估计一天的总用水量。已知该水塔，并估计一天的总用水量。已知该水塔是一个高为是一个高为40ft（英尺），直径为（英尺），直径为57ft（英尺）的正圆（英尺）的正圆柱，
11、表柱，表6-1给出了某个小镇一天水塔水位的真实数据，水给出了某个小镇一天水塔水位的真实数据，水位降至约位降至约27.00ft水泵开始工作，水位升到水泵开始工作，水位升到35.50ft停止工停止工作。（注：作。（注：1ft（英尺）（英尺）=0.3024m（米）（米）表表6.1 某小镇某天水塔水位某小镇某天水塔水位时间/s水位水位/0.01ft时间/s水位水位/0.01ft031754663633503316311049953326066353054539363167106192994572543087139372947605743012179212892645542927212402850685
12、35284225223279571854276728543275275021269732284269779254水水泵开开动35932水水泵开开动82649水水泵开开动39332水水泵开开动8596834753943535508995333974331834459327033402.2 问题分析问题分析 模型中所指流量可视为单位时间内流出水的模型中所指流量可视为单位时间内流出水的体积体积。由于水塔是正圆柱形，横截面积是常数，所以在水泵由于水塔是正圆柱形，横截面积是常数，所以在水泵不工作时段，流量很容易根据水位相对时间的变化算不工作时段，流量很容易根据水位相对时间的变化算出。问题的难点在于如何估
13、计水泵供水时段的流量。出。问题的难点在于如何估计水泵供水时段的流量。水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量经水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量经插值或拟合得到。作为用于插值或拟合的原始数据，我插值或拟合得到。作为用于插值或拟合的原始数据，我们希望水泵不工作时段的流量越准确越好。这此流量大们希望水泵不工作时段的流量越准确越好。这此流量大体上可由两种方法计算，一是直接对表体上可由两种方法计算，一是直接对表6-1中的水量用中的水量用数值微分算出各时段的流量，用它们拟合其它时刻或连数值微分算出各时段的流量，用它们拟合其它时刻或连续时间的流量；二是先用表中数据拟合水位一时间函数，续时间的流量
14、；二是先用表中数据拟合水位一时间函数，求导数即可得到连续时间的流量。求导数即可得到连续时间的流量。有了任何时刻的流量，就不难计算一天的总用水有了任何时刻的流量，就不难计算一天的总用水量。其实，水泵不工作时段的用水量可以由测量记录量。其实，水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到，由表直接得到，由表6-1中下降水位乘以水搭的截面积就是中下降水位乘以水搭的截面积就是这一时段的用水量。这个数值可以用来检验数据插值这一时段的用水量。这个数值可以用来检验数据插值或拟合的结果。或拟合的结果。在具体给出本问题的解答之前，先介绍一个简单在具体给出本问题的解答之前，先介绍一个简单的数据插值方法。的数据插值方
15、法。2.3 拉格朗日插值拉格朗日插值1、线性插值、线性插值假假设已知已知在区在区间上的两个上的两个结点点和它和它们的函数的函数值 求一个一次多求一个一次多项式式，使得多，使得多项式式在在结点上点上满足条件足条件 这种插值方法称为线性插值方法（也称两点插值）。这种插值方法称为线性插值方法（也称两点插值）。可以求出：可以求出：2、抛物插值、抛物插值已知已知在区在区间上的三个上的三个结点点和它和它们的函数的函数值 求一个次数不超求一个次数不超过2的多的多项式式，使得它在，使得它在结点上点上满足条件足条件这种插值方法称为抛物线插值法，这种插值方法称为抛物线插值法，可求出：可求出：3、n次拉格朗日插值次
16、拉格朗日插值假假设取区取区间 上的上的个个结点点，并且已知函数，并且已知函数在在这此点的函数此点的函数值 现在求一个次数不超在求一个次数不超过的多的多项式式，使得，使得满足条件足条件 这种插种插值方法称方法称为次多次多项式插式插值（或称代数插（或称代数插值），），利用拉格朗日插值插值方法可得利用拉格朗日插值插值方法可得上述多项式称为上述多项式称为 n次拉格朗日（次拉格朗日（Lagrange）插值多项式，）插值多项式，函数函数称称为拉格朗日插拉格朗日插值基函数。基函数。当当n=1,2时，时，n次拉格朗日（次拉格朗日（Lagrange）插值多项式即）插值多项式即为线性插值多项式和抛物插值多项式。为
17、线性插值多项式和抛物插值多项式。例例6.1 已知函数已知函数发f(x)的函数表如下：的函数表如下：求其拉格朗日插求其拉格朗日插值多多项式，并求式，并求的近似的近似值。解解 由于给出了由于给出了4个插值结点，所以可做出次数不超过个插值结点，所以可做出次数不超过3的拉格朗日插值多项式。的拉格朗日插值多项式。将上列将上列4式代入式代入n=3 的拉格朗日插值公式，可得所的拉格朗日插值公式，可得所要求的插值多项式为要求的插值多项式为将将x=2.5代入可得代入可得f(2.5)的近似值为的近似值为1.8496。拉格朗日插值法适合节点较少的情况，当节点较多的拉格朗日插值法适合节点较少的情况，当节点较多的大范围
18、高次插值的逼近效果往往并不理想且当插值结大范围高次插值的逼近效果往往并不理想且当插值结点增加时，计算越来越繁。为了提高精度和减少计算，点增加时，计算越来越繁。为了提高精度和减少计算，还有牛顿插值法下、三次样条插值等，具体可参阅有还有牛顿插值法下、三次样条插值等，具体可参阅有关书籍。关书籍。1一维插值命令一维插值命令interp1的具体使用格式的具体使用格式yy=interp1(x,y,xx,method)其中其中x,y是插值结点的数据向量，如果是插值结点的数据向量，如果y是矩阵，是矩阵，则对矩阵则对矩阵y的每一列相对的每一列相对x进行插值，进行插值，xx是待求函数值是待求函数值的插值结点向量，
19、可以缺省。的插值结点向量，可以缺省。method是可选项，是可选项，说明插值使用的方法。对于一维插值，说明插值使用的方法。对于一维插值，MATLAB提供提供可选的方法有：可选的方法有：nearest，linear，spline，cubic，它们分别表示最近插值、线性插值、三次样条插值和它们分别表示最近插值、线性插值、三次样条插值和三次插值。三次插值。2.4 MATLAB软件实现插值法软件实现插值法 MATLAB软件提供了专门做各种插值的命令：软件提供了专门做各种插值的命令：interp1（一维插值），（一维插值），interp2（二维插值），（二维插值），interp3（三维插值），（三维插值
20、），interpn（n维插值），维插值），spline（样条插值）等。（样条插值）等。2二维插值命令二维插值命令interp2的具体使用格式的具体使用格式zz=interp2(x,y,z,xx,yy,method)该指令的意思是根据数据向量该指令的意思是根据数据向量x，y，z按按method指定的方法来做插值，然后将指定的方法来做插值，然后将xx，yy处插值处插值函数的插值结点向量，如果函数的插值结点向量，如果xx，yy在插值范围之内，在插值范围之内，则返回值在则返回值在zz中，否则返回值为空中，否则返回值为空NaN。method是插值方法可选项，具体要求同一维插值是插值方法可选项，具体要求同
21、一维插值的情况。的情况。该命令还有以下几种省略格式：该命令还有以下几种省略格式：zz=interp2(z,xx,yy)zz=interp2(x,y,z,xx,yy)zz=interp2(z,ntimes)3三维插值命令三维插值命令interp3的具体使用格式的具体使用格式vi=interp3(x,y,z,v,xi,yi,zi,method)它的具体含义跟前面的一、二维插值是相似的，在它的具体含义跟前面的一、二维插值是相似的，在此不作解释，读者可在此不作解释，读者可在MATLAB工作空间中用工作空间中用help interp3命令获得。命令获得。4样条插值命令样条插值命令spline的具体使用格
22、式的具体使用格式yy=spline(x,y,xx)它的意思等同于命令它的意思等同于命令yy=interp1(x,y,xx,spline)例例6.2 在用外接电源给电容器充电时，电容器两端在用外接电源给电容器充电时，电容器两端的电压的电压V将会随着充电时间将会随着充电时间t发生变化，已知在某一次发生变化，已知在某一次实验时，通过测量得到下列观测值，分别用拉格朗日实验时，通过测量得到下列观测值，分别用拉格朗日插值法、分段线性插值法、三次样条插值法画出插值法、分段线性插值法、三次样条插值法画出V随随着时间着时间t变化的曲线图，分别计算当时间变化的曲线图，分别计算当时间t=7s时，三种时，三种插值法各
23、自算得电容器两端电压的近似值。插值法各自算得电容器两端电压的近似值。解解:由于由于MATLAB没有提供现成的拉格朗日插值命令，没有提供现成的拉格朗日插值命令，我们可以编写一个函数我们可以编写一个函数lglrcz.m来完成，其他两种插值来完成，其他两种插值法可用现成的命令。法可用现成的命令。用用MATLAB软件进行三种插值计算的程序为软件进行三种插值计算的程序为Three_interpmethods.m。程序程序lagrange.m：function y=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0)；m=length(x)；for i=1:m z=x(i)；s=0.0；for k=
24、1:n p=1.0；for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j)；end end s=p*y0(k)+s；end y(i)=s；end程序为程序为Three_interpmethods.mt=1,2,3,4,6.5,9,12；v=6.2,7.3,8.2,9.0,9.6,10.1,10.4；t0=0.2:0.1:12.5；lglr=lagrange(t,v,t0)；laglr=lagrange(t,v,7)；fdxx=interp1(t,v,t0)；fendxx=interp1(t,v,7)；scyt=interp1(t,v,t0,spline)；sanc
25、yt=interp1(t,v,7,spline)plot(t,v,*,t0,lglr,r,t0,fdxx,g,t0,scyt,b)gtext(lglr)gtext(fdxx)gtext(scyt)执行结果是执行结果是laglr=9.52988980716254fendxx=9.70000000000000sancyt=9.67118039327444图形如图图形如图6.1所示。所示。图中曲线图中曲线lglr表示拉格朗日插值曲线，表示拉格朗日插值曲线，scyt表示三次样表示三次样条插值曲线，条插值曲线，fdxx表示分段线性插值曲线。表示分段线性插值曲线。2.5 问题求解问题求解 为了表示方便，我
26、们将为了表示方便，我们将2.1节问题中所给表节问题中所给表6-1中的中的数据全部化为国际标准单位（表数据全部化为国际标准单位（表6-2），时间用小时），时间用小时（h），高度用米（），高度用米（m）：）：表表6-2 一天内水塔水位记录一天内水塔水位记录(单位：米单位：米)时间/h水位水位/m时间/h水位水位/m09.6812.9510.210.929.4513.889.941.849.3114.989.652.959.1315.909.413.878.9816.839.184.988.8117.938.925.908.6919.048.667.008.5219.968.437.938.3920
27、.848.228.978.2222.02水水泵开开动9.98水水泵开开动22.96水水泵开开动10.93水水泵开开动23.8810.5910.9510.8224.9910.3512.0310.5025.9110.181模型假设模型假设（1）流量只取决于水位差，与水位本身无关，故由物）流量只取决于水位差，与水位本身无关，故由物理学中理学中Torriceli定律：小孔流出的液体的流速正比于水定律：小孔流出的液体的流速正比于水面高度的平方根。面高度的平方根。问题中中给出水塔的最低和最高水位出水塔的最低和最高水位分分别是是8.1648m和和10.7352m（设出口的水位出口的水位为零），因零），因为s
28、qrt，约为1，所以可忽略水位，所以可忽略水位对流速的影响。流速的影响。（2）将流量看作是）将流量看作是时间的的连续函数，函数，为计算算简单，不妨将不妨将流量定流量定义成成单位位时间流出水的高度流出水的高度，即水位，即水位对时间变化率的化率的绝对值（水位是下降的），水塔截面（水位是下降的），水塔截面积为（m2），得到），得到结果果后乘以后乘以s即可得真实的流量。即可得真实的流量。2流量估计方法流量估计方法 首先依照表首先依照表6-2所给数据，用所给数据，用MATLAB作出时间作出时间水水位散点图（图位散点图（图6.2）。）。下面来计算水箱下面来计算水箱流量流量与与时间时间的关系。的关系。根据图
29、根据图6.2，一种简单的处理方法为，将表，一种简单的处理方法为，将表6-2中的中的数据分为三段，然后对每一段的数据做如下处理：数据分为三段，然后对每一段的数据做如下处理：设某段数据某段数据，相，相邻数据中点的平均流速用下面的公式（流速数据中点的平均流速用下面的公式（流速=（左（左端点的水位右端点的水位）端点的水位右端点的水位）/区区间长度）：度）：每段数据首尾点的流速用下面的公式计算：每段数据首尾点的流速用下面的公式计算：用以上公式求得时间与流速之间的数据如表用以上公式求得时间与流速之间的数据如表6-3。时间/h流速/cmh-1时间/h流速/cmh-1029.8912.4931.520.462
30、1.7413.4229.031.3818.4814.4326.362.39516.2215.4426.093.4116.3016.3724.734.42515.3217.3823.645.4413.0418.4923.426.4515.4519.5025.007.46513.9820.4023.868.4516.3520.8422.178.9719.2922.02水泵开动9.98水泵开动22.96水泵开动10.93水泵开动23.8827.0910.9533.5024.4321.6211.4929.6325.4518.4825.9113.30由表由表6-3作出时间作出时间流速散点图如图流速散点图
31、如图6.3。1）插值法）插值法 由表由表6-3，对水泵不工作时段，对水泵不工作时段1，2采取插值方法，可以得采取插值方法，可以得到任意时刻的流速，从而可以知道任意时刻的流量。到任意时刻的流速，从而可以知道任意时刻的流量。我们分别采取拉格朗日插值法，分段线性插值法及我们分别采取拉格朗日插值法，分段线性插值法及三次样条插值法；对于水泵工作时段三次样条插值法；对于水泵工作时段1应用前后时期的应用前后时期的流速进行插值，由于最后一段水泵不工作时段数据太流速进行插值，由于最后一段水泵不工作时段数据太少，我们将它与水泵工作时段少，我们将它与水泵工作时段2合并一同进行插值处理合并一同进行插值处理（该段简称混
32、合时段）。（该段简称混合时段）。我们总共需要对四段数据（第我们总共需要对四段数据（第1，2未供水时段，第未供水时段，第1供水时段，混合时段）进行插值处理，下面以第供水时段，混合时段）进行插值处理，下面以第1未供未供水时段数据为例分别用三种方法算出水时段数据为例分别用三种方法算出流量函数流量函数和和用水用水量量（用水高度）。（用水高度）。下面是用下面是用MATLAB实现该过程的程序实现该过程的程序(第第1未供水时段未供水时段)。t=0,0.46,1.38,2.395,3.41,4.425,12.44,6.45,7.465,8.45,8.97；v=29.89,21.74,18.48,16.22,1
33、6.30,15.32,13.04,15.45,13.98,16.35,19.29；t0=0:0.1:8.97；lglr=lagrange(t,v,t0);/*注：注：lagrange为一函数，程序同为一函数，程序同 lagrange.m*/lglrjf=trapz(t0,lglr)fdxx=interpl(t,v,t0)；fdxxjf=trapz(t0,fdxx)scyt=interpl(t,v,t0,spline)；sancytjf=trapz(t0,scyt)plot(t,v,o,t0,lglr,r,t0,fdxx,g,t0,scyt,b)gtext(lglr)gtext(fdxx)gte
34、xt(spline)运行结果lglrjf=145.6231；fdxxjf=147.1430；sancytjf=145.6870 图图6.4是对第是对第1未供水段数据用三种不同方法得到的未供水段数据用三种不同方法得到的插值函数图，插值函数图，图中曲线图中曲线lglr、fdxx和和spline分别表示用拉格朗日插分别表示用拉格朗日插值法，分段线性插值法及三次样条插值法得到的曲线。值法，分段线性插值法及三次样条插值法得到的曲线。由表由表6-2知，第知，第1未供水时段的总用水高度为未供水时段的总用水高度为146(=968822)，可见上述三种插值方法计算的结果，可见上述三种插值方法计算的结果与实际值（
35、与实际值（146）相比都比较接近。考虑到三次样条插）相比都比较接近。考虑到三次样条插值方法具有更加良好的性质，建议采取该方法。值方法具有更加良好的性质，建议采取该方法。其他三段的处理方法与第其他三段的处理方法与第1未供水时段的处理方法未供水时段的处理方法类似，这里不再详细叙述，只给出数值结果和函数图类似，这里不再详细叙述，只给出数值结果和函数图像（图像（图6.5图图6.7），图中曲线标记同图），图中曲线标记同图6.4。图图6.5 第一供水段时间第一供水段时间流速示意图流速示意图图图12.6 第第2未供水段时间未供水段时间流速示意图流速示意图图图6.7 混合时段时间混合时段时间流速示意图流速示意
36、图图图6.8是用分段线性及三次样条插值方法得到的整个过是用分段线性及三次样条插值方法得到的整个过程的时间程的时间流速函数示意图。流速函数示意图。表表6-4 各时段及一天的总用水量（用水高度）各时段及一天的总用水量（用水高度）第第1未供水段未供水段第第2未供水段未供水段第第3供水段供水段混合混合时段段全天全天拉格朗日拉格朗日插插值法法145.6231258.866454.068992.1337550.6921分段分段线性性插插值法法147.1430258.969749.605176.4688532.1866三次三次样条条插插值法法145.6870258.654753.333481.7699539
37、.4450 表表6-5是对一天中任取的是对一天中任取的4个时刻分别用个时刻分别用3种方法得到种方法得到的水塔水流量近似值。的水塔水流量近似值。时间6.8810.8815.8822.8815.9826671234851433.7426009085346325.5662241818047734.7099621055169414.8272413793103432.9976262626262725.4465591397849525.471578947368415.0527858196582033.7089553595325925.5490892055742329.41733175863551注：注：拉
38、格朗日插拉格朗日插值法法分段分段线性插性插值法法三次三次样条插条插值法法2）拟合法）拟合法（1）拟合水位）拟合水位时间函数时间函数 从表从表6-2中的测量记录看，一天有两次供水时段和三中的测量记录看，一天有两次供水时段和三次未供水时段，分别对第次未供水时段，分别对第1，2未供水时段的测量数据未供水时段的测量数据直接作多项式拟合，可得到水位函数（注意，根据多直接作多项式拟合，可得到水位函数（注意，根据多项式拟合的特点，此处拟合多项式的次数不宜过高，项式拟合的特点，此处拟合多项式的次数不宜过高，一般以一般以36次为宜）。对第次为宜）。对第3未供水时段来说，数据未供水时段来说，数据过少不能得到很好的
39、拟合。过少不能得到很好的拟合。设设t，h分别为已输入的时刻和水位测量记录（由表分别为已输入的时刻和水位测量记录（由表6.2提供，水泵启动的提供，水泵启动的4个时刻不输入），这样第个时刻不输入），这样第1未未供水时段各时刻的水位可由如下供水时段各时刻的水位可由如下MATLAB程序完成：程序完成：t=0,0.92,1.84,2.95,3.87,4.98,5.90,7.00,7.93,8.97,10.95,12.03,12.95,13.88,14.98,15.90,16.83,17.93,19.04,19.96,20.84,23.88,24.99,25.91h=9.68,9.45,9.31,9.13
40、,8.98,8.81,8.69,8.52,8.39,8.22,10.82,10.50,10.21,9.94,9.65,9.41,9.18,8.92,8.66,8.43,8.22,10.59,10.35,10.18；c1=polyfit(t(1:10),h(1:10),3)；%用用3次多项式拟合次多项式拟合tp1=0:0.1:8.9；x1=polyval(c1,tp1)；plot(tp1,x1)图图6.9给出的是第给出的是第1未供水时段的时间未供水时段的时间水位拟合水位拟合函数图形。函数图形。变量变量x1中存放了以中存放了以0.1为步长算出的各个时刻的水位高为步长算出的各个时刻的水位高度。同样地
41、，第度。同样地，第2未供水时段时间未供水时段时间水位图可由如下水位图可由如下MATLAB程序完成，读者可自己上机运行查看。程序完成，读者可自己上机运行查看。c2=polyfit(t(11:21),h(11:21),3)；tp2=10.9:0.1:20.9；x2=-polyval(c2,tp2)；plot(tp2,x2)（2）确定流量）确定流量时间函数时间函数对于第对于第1，2未供水时段的流量可直接对水位函数求导未供水时段的流量可直接对水位函数求导，程序如下：，程序如下：c1=polyfit(t(1:10),h(1:10),3)；c2=polyfit(t(11:21),h(11:21),3)；a
42、1=polyder(c1)；a2=polyder(c2)；%对拟合得到的水位函数求导，得流量对拟合得到的水位函数求导，得流量tp1=0:0.01:8.97；tp2=10.95:0.01:20.84；x13=-polyval(a1,tp1)；%Water_total1=100*trapz(tp1,x13);%计算第计算第1未供水时段的总用水量未供水时段的总用水量x14=-polyval(a1,7.93,8.97)；%求某些点的流量求某些点的流量 x23=-polyval(a2,tp2)；Water_total2=100*trapz(tp2,x114);%计算第计算第2未供水时段的总用水量未供水时
43、段的总用水量x24=-polyval(a2,10.95,12.03)；x25=-polyval(a2,19.96,20.84)；subplot(1,2,1)plot(tp1,x13*100)%与图与图6.10单位保持一致单位保持一致%倍数倍数100是使单位由米变成厘米是使单位由米变成厘米subplot(1,2,2)plot(tp2,x23*100)%与图与图6.10单位保持一致单位保持一致 程序运行得到第程序运行得到第1，2未供水时段的时间未供水时段的时间流量图如图流量图如图6.10，可以看到与图，可以看到与图6.8中用插值给出的曲线比较吻合。中用插值给出的曲线比较吻合。如果用如果用5次多项式
44、拟合则得图次多项式拟合则得图6.11的图形，显然较的图形，显然较三次拟合的效果好。三次拟合的效果好。而第而第1供水时段的流量则用前后时期的流量进行拟供水时段的流量则用前后时期的流量进行拟合得到。为使流量函数在合得到。为使流量函数在t=9和和t=11连续，我们只取连续，我们只取4个点，用三次多项式拟合得到第个点，用三次多项式拟合得到第1供水时段的时间供水时段的时间流量图形如图流量图形如图6.12，可以看到与图，可以看到与图6.8中的相应部分中的相应部分比较吻合。比较吻合。图图6.12图图6.8程序如下：程序如下：在第在第2供水供水时段之前取段之前取t=19.96,20.84两点的流量，两点的流量
45、，用第用第3未供水未供水时段的段的3个个记录做差分得到两个流量数做差分得到两个流量数据据21.62，18.48，然后用，然后用这4个数据做三次多个数据做三次多项式式拟合得到第合得到第2供水供水时段与第段与第3未供水未供水时段的段的时间流量流量图如如图6.13，可以看到与，可以看到与图6.8中的相中的相应部分也比部分也比较吻合吻合。图图6.13，图图6.8程序如下：程序如下：t3=19.96,20.84,t(22),t(23)；x3=x25*100,21.62,18.48；x_flow3=polyfit(t3,x3,3)；tp3=19.96:0.01:25.91；xx3=polyval(x_fl
46、ow3,tp3)；tp4=20.84:0.01:23.88；gs2=polyval(x_flow3,tp4)；gsysl2=trapz(tp4,gs2);%该语句计算第该语句计算第2供水时段的总用水量供水时段的总用水量figure;plot(tp3,xx3)（3）一天总用水量的估计）一天总用水量的估计 分别对供水的两个时段和不供水的两个时段积分（流分别对供水的两个时段和不供水的两个时段积分（流量对时间）并求和得到一天的总用水量约为量对时间）并求和得到一天的总用水量约为526.8935（此数据是总用水高度，单位为（此数据是总用水高度，单位为cm）。表）。表6-6列出各段用水量，与插值法算得的表列
47、出各段用水量，与插值法算得的表6-4相比，二相比，二者较为吻合。者较为吻合。表表6-6时段段第第1未供未供水段水段第第2未供未供水段水段第第1供水段供水段第第2供水段供水段全天用水全天用水用水高度用水高度145.67260.6646.6073.9635526.8935（4）流量及总用水量的检验）流量及总用水量的检验 计算出各时刻的流量可用水位记录的数值微分来检计算出各时刻的流量可用水位记录的数值微分来检验，各时段的用水高度可以用实际记录的水位下降高验，各时段的用水高度可以用实际记录的水位下降高度来检验。度来检验。例如，算得第例如，算得第1未供水段的用水量高度是未供水段的用水量高度是145.67
48、，而实际记录的水位下降高度为而实际记录的水位下降高度为968822=146cm，两，两者是吻合的；者是吻合的；算得第算得第2未供水段的用水量高度是未供水段的用水量高度是260.66cm，而，而实际记录的水位下降高度为实际记录的水位下降高度为1082822=260cm，两，两者也是吻合的。者也是吻合的。从算法设计和分析可知，计算结果与各时段所用的从算法设计和分析可知，计算结果与各时段所用的拟合多项式的次数有关。表拟合多项式的次数有关。表6-7给出的是对第给出的是对第1，2未供未供水时段分别用五、六多项式拟合后得到的用水量结果。水时段分别用五、六多项式拟合后得到的用水量结果。表表6-7时段段第第1
49、未供未供水段水段第第2未供未供水段水段第第1供水段供水段第第2供水段供水段全天用水全天用水用水高度用水高度 146.5150257.760546.131776.3076526.71483）结果分析）结果分析由表由表6-4可以看出，使用三次可以看出，使用三次样条插条插值法得到的法得到的结果果260cm相差不大，相差不大，说明插明插值结果与原始数据比果与原始数据比较吻合。吻合。与表与表6-2中记录的下降高度中记录的下降高度 146cm，按三次样条插值法估计出全天的用水量约为按三次样条插值法估计出全天的用水量约为 由表由表6-7可以得全天的用水量约为可以得全天的用水量约为 2.5 内容小结内容小结
50、本模型主要进行水塔水流量的估算。第一种估算方法为本模型主要进行水塔水流量的估算。第一种估算方法为插值方法，我们用了三种不同的插值法进行估计，在求插值方法，我们用了三种不同的插值法进行估计，在求解的过程中，可以熟悉数据插值的理论和方法；第二种解的过程中，可以熟悉数据插值的理论和方法；第二种估算方法为数据拟合法，用多项式进行拟合，得到水塔估算方法为数据拟合法，用多项式进行拟合，得到水塔水流量的估计。水流量的估计。精品课件精品课件！精品课件精品课件！练习：练习：试将水箱水流量将水箱水流量问题的建模方法的建模方法推广到推广到闭路路电视的普及的普及预测模型，模型，下表列出了美国自下表列出了美国自1952