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1、模型分析和建立模型分析和建立先看如下三个例子先看如下三个例子1.卫星轨道的长度2.射击命中概率3.人口增长模型1、卫星轨道的长度 人造地球卫星的轨道可以视为平面上的椭圆，中国第一颗人造卫星近地点距离地球表面439km，远地点距离地球表面2384km，地球半径为6371m，试求该卫星的轨道长度？分析：2、射击命中概率 炮弹射击的目标为一正椭圆形区域，当瞄准目标的中心放射时，在纵多因素的影响下，弹着点与目标中心有随机偏差。可以合理地假设弹着点围绕中心呈二维正态分布，且偏差在x方向和y方向相互独立。若椭圆区域在x方向半轴长120m,y方向半轴80m，设弹着点偏差的均方差在x方向和y方向均为100m,
2、试求 炮 弹 落 在 椭 圆 形 区 域 内 的 概 率？分析：3、人口增长率20世纪美国人口统计数据如表6.5所示，计算表中这些年份的人口增长率。又已知某地区20世纪70年头的人口增长率如表6.6所示，且1970年人口为210万，试估计该地区1980年的人口？分析:小小结结模型求解u 数值微分相关学问回顾u 数值积分相关学问u Matlab 相关吩咐u 程序实现u 数值微分相关学问回顾1.函数f(x)以离散点列给出时，而要求我们给出导数值，2.函数f(x)过于困难这两种状况都要求我们用数值的方法求函数的导数值微积分中，关于导数的定义如下：自然，而又简洁的方法就是，取极限的近似值，即差商向前差
3、商公式向后差商公式中心差商公式给定点列且求两点差商公式：两点差商公式：三点差商公式三点差商公式u 数值积分相关学问回顾关于积分，有Newton-Leibniz公式但是，在很多状况下，还是要数值积分：1、函数有离散数据组成2、F(x)求不出3、F(x)特别困难定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合称为求积系数，与f(x)无关，与积分区间和积分点有关矩形公式矩形公式左矩形公式左矩形公式右矩形公式右矩形公式中矩形公式中矩形公式梯形公式梯形公式辛普森辛普森(Simpson)公式公式复合梯形公式复合梯形公式复合辛普森复合辛普森(Simpson)公式公式 将将 分为分为 等份，步长等份，步长 ，分
4、点，分点Matlab相关吩咐 x=linspace(0,pi,50);y=sin(x);R1=trapz(x,y)；%梯形公式计算R2=quad(sin,0,pi,1.0e06)；%辛普森公式计算结果R2=1.999993496534964程序实现模型实例讲解森林救火问题水箱的水流问题 森林救火问题森林救火问题森林失火后，要确定派出消防队员的数量。森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。队员少，森林损失大，救援费用小。所以须要综合考虑森林损失费和救援费与消防队员所以须要综合考虑森林损失费和救援费与消防
5、队员之间的关系，以总费用最小来确定派出队员的数量。之间的关系，以总费用最小来确定派出队员的数量。问题问题分析分析问题问题记队员人数记队员人数x,失火时刻失火时刻t=0,起先救火时刻起先救火时刻t1,灭火时刻灭火时刻t2,时刻时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t).损失费损失费f1(x)是是x的减函数的减函数,由烧毁面积由烧毁面积B(t2)确定确定.救援费救援费f2(x)是是x的增函数的增函数,由队员人数和救火时间确定由队员人数和救火时间确定.找到找到恰当的恰当的x，使，使f1(x),f2(x)之和最之和最小小 关键是对关键是对B(t)作出作出合理的简化假设合理的简化假设.问题问题分析分析失火时
6、刻失火时刻t=0,起先救火时刻起先救火时刻t1,灭火时刻灭火时刻t2,画出时刻画出时刻 t 森林烧毁面积森林烧毁面积B(t)的大致图形的大致图形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比较困难比较困难,转而探讨森林烧毁转而探讨森林烧毁速度速度dB/dt.（其中（其中dB/dt表示表示单位时间烧毁的面单位时间烧毁的面积）积）模型假设模型假设 3）f1(x)与与B(t2)成正比，系数成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）烧毁单位面积损失费）1）0 t t1,dB/dt 与与 t成正比，系数成正比，系数(火势扩散速度）火势扩散速度）2）t1 t t2,降为降为-x(为队员的平均灭火为队员的平均灭火速
7、度）速度）4）每个队员的单位时间灭火费用）每个队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用一次性费用c3(运输消防队员和器材等一次性支出运输消防队员和器材等一次性支出)假设假设1 1）的说明的说明 rB火势以失火点为中心，火势以失火点为中心，匀整向四周呈圆形扩散，匀整向四周呈圆形扩散，半径半径 r与与 t 成正比成正比面积面积 B与与 t2成正比，成正比，dB/dt与与 t成正比成正比.模型建立模型建立b0t1tt2假设假设1）目标函数目标函数总费用总费用假设假设3）4）假设假设2）模型建立模型建立目标函数目标函数总费用总费用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小结果说明结果说明 /是火势不
8、接着扩散的最少队员是火势不接着扩散的最少队员数数b0t1t2t其中其中 c1,c2,c3,t1,为已知参为已知参数数模型模型应用应用c1,c2,c3已知已知,t1可估可估计计,c2 x c1,t1,x c3,x 结果结果说明说明c1烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费,c2每个队员单位时间灭火每个队员单位时间灭火费费,c3每个队员一次性费用每个队员一次性费用,t1起先救火时刻起先救火时刻,火势扩散速度火势扩散速度,每个队员平均灭火速度每个队员平均灭火速度.为什么为什么?,可可设置一系列数设置一系列数值值由模型确定队员数量由模型确定队员数量x练习题在森林救火模型中，假如考虑消防队员的灭火速度与起
9、先救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。程序实现 美国某州的用水管理机构要求各社区供应以每小时多少加仑计的用水量以及每美国某州的用水管理机构要求各社区供应以每小时多少加仑计的用水量以及每天所用的总水量。很多社区没有测量流入或流出水塔水量的装置，只能代之以每小时天所用的总水量。很多社区没有测量流入或流出水塔水量的装置，只能代之以每小时测量水塔中的水位，其误差不超过测量水塔中的水位，其误差不超过5%。须要留意的是，当水塔中的水位下降到最低。须要留意的是，当水塔中的水位下降到最低水位水位L时，水泵就自动向水塔输水直到最高水位时，水泵就自动向水塔输水直到最高水位H，此期间不能测量
10、水泵的供水量，此期间不能测量水泵的供水量，因此，当水泵正在输水时不简洁建立水塔中水位和用水量之间的关系。水泵每天输水因此，当水泵正在输水时不简洁建立水塔中水位和用水量之间的关系。水泵每天输水一次或两次，每次约一次或两次，每次约2小时。小时。水箱的水流问题水箱的水流问题 试估计任何时刻（包括水泵正在输水时间）从水塔流出的水流量试估计任何时刻（包括水泵正在输水时间）从水塔流出的水流量f(t)，并估计一天，并估计一天的总用水量。已知该水塔是一个高为的总用水量。已知该水塔是一个高为40ft（英尺），直径为（英尺），直径为57ft（英尺）的正圆柱，表（英尺）的正圆柱，表6-1给出了某个小镇一天水塔水位的
11、真实数据，水位降至约给出了某个小镇一天水塔水位的真实数据，水位降至约27.00ft水泵起先工作，水位水泵起先工作，水位升到升到35.50ft停止工作。（注：停止工作。（注：1ft（英尺）（英尺）=0.3024m（米）（米）表表6.1 某小镇某天水塔水位某小镇某天水塔水位2.2 问题分析问题分析 模型中所指流量可视为单位时间内流出水的体积。模型中所指流量可视为单位时间内流出水的体积。由于水塔是正圆柱形，横截面积是常数，所以在水泵由于水塔是正圆柱形，横截面积是常数，所以在水泵不工作时段，流量很简洁依据水位相对时间的变更算不工作时段，流量很简洁依据水位相对时间的变更算出。问题的难点在于如何估计水泵供
12、水时段的流量。出。问题的难点在于如何估计水泵供水时段的流量。水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量经水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量经插值或拟合得到。作为用于插值或拟合的原始数据，我插值或拟合得到。作为用于插值或拟合的原始数据，我们希望水泵不工作时段的流量越精确越好。这此流量大们希望水泵不工作时段的流量越精确越好。这此流量大体上可由两种方法计算，一是干脆对表体上可由两种方法计算，一是干脆对表6-1中的水量用中的水量用数值微分算出各时段的流量，用它们拟合其它时刻或连数值微分算出各时段的流量，用它们拟合其它时刻或连续时间的流量；二是先用表中数据拟合水位一时间函数，续时间的流量；二是先
13、用表中数据拟合水位一时间函数，求导数即可得到连续时间的流量。求导数即可得到连续时间的流量。有了任何时刻的流量，就不难计算一天的总用水有了任何时刻的流量，就不难计算一天的总用水量。其实，水泵不工作时段的用水量可以由测量记录量。其实，水泵不工作时段的用水量可以由测量记录干脆得到，由表干脆得到，由表6-1中下降水位乘以水搭的截面积就是中下降水位乘以水搭的截面积就是这一时段的用水量。这个数值可以用来检验数据插值这一时段的用水量。这个数值可以用来检验数据插值或拟合的结果。或拟合的结果。在具体给出本问题的解答之前，先介绍一个简洁在具体给出本问题的解答之前，先介绍一个简洁的数据插值方法。的数据插值方法。2.
14、3 拉格朗日插值拉格朗日插值1、线性插值、线性插值假假设设已知已知在区在区间间上的两个上的两个结结点点和它和它们们的函数的函数值值 求一个一次多求一个一次多项项式式，使得多，使得多项项式式在在结结点上点上满满足条件足条件 这种插值方法称为线性插值方法（也称两点插值）。这种插值方法称为线性插值方法（也称两点插值）。可以求出：可以求出：2、抛物插值、抛物插值已知已知在区在区间间上的三个上的三个结结点点和它和它们们的函数的函数值值 求一个次数不超求一个次数不超过过2的多的多项项式式，使得它在，使得它在结结点上点上满满足条件足条件这种插值方法称为抛物线插值法，这种插值方法称为抛物线插值法，可求出：可求
15、出：3、n次拉格朗日插值次拉格朗日插值假假设设取区取区间间 上的上的个个结结点点，并且已知函数，并且已知函数在在这这此点的函数此点的函数值值 现现在求一个次数不超在求一个次数不超过过的多的多项项式式，使得，使得满满足条件足条件 这这种插种插值值方法称方法称为为次多次多项项式插式插值值（或称代数插（或称代数插值值），），利用拉格朗日插值插值方法可得利用拉格朗日插值插值方法可得上述多项式称为上述多项式称为 n次拉格朗日（次拉格朗日（Lagrange）插值多项式，）插值多项式，函数函数称称为为拉格朗日插拉格朗日插值值基函数。基函数。当当n=1,2时，时，n次拉格朗日（次拉格朗日（Lagrange）插
16、值多项式即）插值多项式即为线性插值多项式和抛物插值多项式。为线性插值多项式和抛物插值多项式。例例6.1 已知函数已知函数发发f(x)的函数表如下：的函数表如下：求其拉格朗日插求其拉格朗日插值值多多项项式，并求式，并求的近似的近似值值。解解 由于给出了由于给出了4个插值结点，所以可做出次数不超过个插值结点，所以可做出次数不超过3的拉格朗日插值多项式。的拉格朗日插值多项式。将上列将上列4式代入式代入n=3 的拉格朗日插值公式，可得所的拉格朗日插值公式，可得所要求的插值多项式为要求的插值多项式为将将x=2.5代入可得代入可得f(2.5)的近似值为的近似值为1.8496。拉格朗日插值法适合节点较少的状
17、况，当节点较多的拉格朗日插值法适合节点较少的状况，当节点较多的大范围高次插值的靠近效果往往并不志向且当插值结大范围高次插值的靠近效果往往并不志向且当插值结点增加时，计算越来越繁。为了提高精度和削减计算，点增加时，计算越来越繁。为了提高精度和削减计算，还有牛顿插值法下、三次样条插值等，具体可参阅有还有牛顿插值法下、三次样条插值等，具体可参阅有关书籍。关书籍。1一维插值吩咐一维插值吩咐interp1的具体运用格式的具体运用格式yy=interp1(x,y,xx,method)其中其中x,y是插值结点的数据向量，假如是插值结点的数据向量，假如y是矩阵，是矩阵，则对矩阵则对矩阵y的每一列相对的每一列相
18、对x进行插值，进行插值，xx是待求函数值是待求函数值的插值结点向量，可以缺省。的插值结点向量，可以缺省。method是可选项，是可选项，说明插值运用的方法。对于一维插值，说明插值运用的方法。对于一维插值，MATLAB供应供应可选的方法有：可选的方法有：nearest，linear，spline，cubic，它们分别表示最近插值、线性插值、三次样条插值和它们分别表示最近插值、线性插值、三次样条插值和三次插值。三次插值。2.4 MATLAB软件实现插值法软件实现插值法 MATLAB软件供应了特地做各种插值的吩咐：软件供应了特地做各种插值的吩咐：interp1（一维插值），（一维插值），interp
19、2（二维插值），（二维插值），interp3（三维插值），（三维插值），interpn（n维插值），维插值），spline（样条插值）等。（样条插值）等。2二维插值吩咐二维插值吩咐interp2的具体运用格式的具体运用格式zz=interp2(x,y,z,xx,yy,method)该指令的意思是依据数据向量该指令的意思是依据数据向量x，y，z按按method指定的方法来做插值，然后将指定的方法来做插值，然后将xx，yy处插值处插值函数的插值结点向量，假如函数的插值结点向量，假如xx，yy在插值范围之内，在插值范围之内，则返回值在则返回值在zz中，否则返回值为空中，否则返回值为空NaN。meth
20、od是插值方法可选项，具体要求同一维插值是插值方法可选项，具体要求同一维插值的状况。的状况。该吩咐还有以下几种省略格式：该吩咐还有以下几种省略格式：zz=interp2(z,xx,yy)zz=interp2(x,y,z,xx,yy)zz=interp2(z,ntimes)3三维插值吩咐三维插值吩咐interp3的具体运用格式的具体运用格式vi=interp3(x,y,z,v,xi,yi,zi,method)它的具体含义跟前面的一、二维插值是相像的，在它的具体含义跟前面的一、二维插值是相像的，在此不作说明，读者可在此不作说明，读者可在MATLAB工作空间中用工作空间中用help interp3吩
21、咐获得。吩咐获得。4样条插值吩咐样条插值吩咐spline的具体运用格式的具体运用格式yy=spline(x,y,xx)它的意思等同于吩咐它的意思等同于吩咐yy=interp1(x,y,xx,spline)例例6.2 在用外接电源给电容器充电时，电容器两端在用外接电源给电容器充电时，电容器两端的电压的电压V将会随着充电时间将会随着充电时间t发生变更，已知在某一次发生变更，已知在某一次试验时，通过测量得到下列观测值，分别用拉格朗日试验时，通过测量得到下列观测值，分别用拉格朗日插值法、分段线性插值法、三次样条插值法画出插值法、分段线性插值法、三次样条插值法画出V随随着时间着时间t变更的曲线图，分别计
22、算当时间变更的曲线图，分别计算当时间t=7s时，三种时，三种插值法各自算得电容器两端电压的近似值。插值法各自算得电容器两端电压的近似值。解解:由于由于MATLAB没有供应现成的拉格朗日插值吩咐，没有供应现成的拉格朗日插值吩咐，我们可以编写一个函数我们可以编写一个函数lglrcz.m来完成，其他两种插值来完成，其他两种插值法可用现成的吩咐。法可用现成的吩咐。用用MATLAB软件进行三种插值计算的程序为软件进行三种插值计算的程序为Three_interpmethods.m。程序程序lagrange.m：function y=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0)；m=lengt
23、h(x)；for i=1:m z=x(i)；s=0.0；for k=1:n p=1.0；for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j)；end end s=p*y0(k)+s；end y(i)=s；end程序为程序为Three_interpmethods.mt=1,2,3,4,6.5,9,12；v=6.2,7.3,8.2,9.0,9.6,10.1,10.4；t0=0.2:0.1:12.5；lglr=lagrange(t,v,t0)；laglr=lagrange(t,v,7)；fdxx=interp1(t,v,t0)；fendxx=interp1(t,v,7
24、)；scyt=interp1(t,v,t0,spline)；sancyt=interp1(t,v,7,spline)plot(t,v,*,t0,lglr,r,t0,fdxx,g,t0,scyt,b)gtext(lglr)gtext(fdxx)gtext(scyt)执行结果是执行结果是laglr=9.52988980716254fendxx=9.70000000000000图形如图图形如图6.1所示。所示。图中曲线图中曲线lglr表示拉格朗日插值曲线，表示拉格朗日插值曲线，scyt表示三次样表示三次样条插值曲线，条插值曲线，fdxx表示分段线性插值曲线。表示分段线性插值曲线。2.5 问题求解问题
25、求解 为了表示便利，我们将为了表示便利，我们将2.1节问题中所给表节问题中所给表6-1中的数据全部化为国际标准单位中的数据全部化为国际标准单位（表（表6-2），时间用小时（），时间用小时（h），高度用米（），高度用米（m）：）：表表6-2 一天内水塔水位记录一天内水塔水位记录(单位：米单位：米)1模型假设模型假设（1）流量只取决于水位差，与水位本身无关，故由物）流量只取决于水位差，与水位本身无关，故由物理学中理学中Torriceli定律：小孔流出的液体的流速正比于水定律：小孔流出的液体的流速正比于水面高度的平方根。面高度的平方根。问题问题中中给给出水塔的最低和最高水位出水塔的最低和最高水位分分
26、别别是是8.1648m和和10.7352m（设设出口的水位出口的水位为为零），因零），因为为sqrt，约为约为1，所以可忽，所以可忽视视水位水位对对流速的影响。流速的影响。（2）将流量看作是）将流量看作是时间时间的的连续连续函数，函数，为计为计算算简洁简洁，不妨将流量定不妨将流量定义义成成单单位位时间时间流出水的高度，即水位流出水的高度，即水位对对时间变时间变更率的确定更率的确定值值（水位是下降的），水塔截面（水位是下降的），水塔截面积积为为（m2），得到），得到结结果果后乘以后乘以s即可得真实的流量。即可得真实的流量。2流量估计方法流量估计方法 首先依照表首先依照表6-2所给数据，用所给数据
27、，用MATLAB作出时间作出时间水水位散点图（图位散点图（图6.2）。）。下面来计算水箱下面来计算水箱流量流量与与时间时间的关系。的关系。依据图依据图6.2，一种简洁的处理方法为，将表，一种简洁的处理方法为，将表6-2中的数据分为三段，然后对每一中的数据分为三段，然后对每一段的数据做如下处理：段的数据做如下处理：设设某段数据某段数据，相，相邻邻数据中点的平均流速用下面的公式（流速数据中点的平均流速用下面的公式（流速=（左（左端点的水位右端点的水位）端点的水位右端点的水位）/区区间长间长度）：度）：每段数据首尾点的流速用下面的公式计算：每段数据首尾点的流速用下面的公式计算：用以上公式求得时间与流
28、速之间的数据如表用以上公式求得时间与流速之间的数据如表6-3。由表由表6-3作出时间作出时间流速散点图如图流速散点图如图6.3。1）插值法）插值法 由表由表6-3，对水泵不工作时段，对水泵不工作时段1，2实行插值方法，可以得到随意时刻的流速，从而可以实行插值方法，可以得到随意时刻的流速，从而可以知道随意时刻的流量。知道随意时刻的流量。我们分别实行拉格朗日插值法，分段线性插值法及我们分别实行拉格朗日插值法，分段线性插值法及三次样条插值法；对于水泵工作时段三次样条插值法；对于水泵工作时段1应用前后时期的应用前后时期的流速进行插值，由于最终一段水泵不工作时段数据太流速进行插值，由于最终一段水泵不工作
29、时段数据太少，我们将它与水泵工作时段少，我们将它与水泵工作时段2合并一同进行插值处理合并一同进行插值处理（该段简称混合时段）。（该段简称混合时段）。我们总共须要对四段数据（第我们总共须要对四段数据（第1，2未供水时段，第未供水时段，第1供水时段，混合时段）进行供水时段，混合时段）进行插值处理，下面以第插值处理，下面以第1未供水时段数据为例分别用三种方法算出流量函数和用水量未供水时段数据为例分别用三种方法算出流量函数和用水量（用水高度）。（用水高度）。下面是用下面是用MATLAB实现该过程的程序实现该过程的程序(第第1未供水时段未供水时段)。t=0,0.46,1.38,2.395,3.41,4.
30、425,12.44,6.45,7.465,8.45,8.97；v=29.89,21.74,18.48,16.22,16.30,15.32,13.04,15.45,13.98,16.35,19.29；t0=0:0.1:8.97；lglr=lagrange(t,v,t0);/*注：注：lagrange为一函数，程序同为一函数，程序同 lagrange.m*/lglrjf=trapz(t0,lglr)fdxx=interpl(t,v,t0)；fdxxjf=trapz(t0,fdxx)scyt=interpl(t,v,t0,spline)；sancytjf=trapz(t0,scyt)plot(t,v
31、,o,t0,lglr,r,t0,fdxx,g,t0,scyt,b)gtext(lglr)gtext(fdxx)gtext(spline)运行结果lglrjf=145.6231；fdxxjf=147.1430；sancytjf=145.6870 图图6.4是对第是对第1未供水段数据用三种不同方法得到的未供水段数据用三种不同方法得到的插值函数图，插值函数图，图中曲线图中曲线lglr、fdxx和和spline分别表示用拉格朗日插分别表示用拉格朗日插值法，分段线性插值法及三次样条插值法得到的曲线。值法，分段线性插值法及三次样条插值法得到的曲线。由表由表6-2知，第知，第1未供水时段的总用水高度为未供水
32、时段的总用水高度为146(=968822)，可见上述三种插，可见上述三种插值方法计算的结果与实际值（值方法计算的结果与实际值（146）相比都比较接近。考虑到三次样条插值方法具有）相比都比较接近。考虑到三次样条插值方法具有更加良好的性质，建议实行该方法。更加良好的性质，建议实行该方法。其他三段的处理方法与第其他三段的处理方法与第1未供水时段的处理方法类似，这里不再具体叙述，未供水时段的处理方法类似，这里不再具体叙述，只给出数值结果和函数图像（图只给出数值结果和函数图像（图6.5图图6.7），图中曲线标记同图），图中曲线标记同图6.4。图图6.5 第一供水段时间第一供水段时间流速示意图流速示意图图
33、图12.6 第第2未供水段时间未供水段时间流速示意图流速示意图图图6.7 混合时段时间混合时段时间流速示意图流速示意图图图6.8是用分段线性及三次样条插值方法得到的整个过是用分段线性及三次样条插值方法得到的整个过程的时间程的时间流速函数示意图。流速函数示意图。表表6-4 各时段及一天的总用水量（用水高度）各时段及一天的总用水量（用水高度）表表6-5是对一天中任取的是对一天中任取的4个时刻分别用个时刻分别用3种方法得到种方法得到的水塔水流量近似值。的水塔水流量近似值。注：注：拉格朗日插拉格朗日插值值法法分段分段线线性插性插值值法法三次三次样样条插条插值值法法2）拟合法）拟合法（1）拟合水位）拟合
34、水位时间函数时间函数 从表从表6-2中的测量记录看，一天有两次供水时段和三次未供水时段，分别对第中的测量记录看，一天有两次供水时段和三次未供水时段，分别对第1，2未供水时段的测量数据干脆作多项式拟合，可得到水位函数（留意，依据多项式拟未供水时段的测量数据干脆作多项式拟合，可得到水位函数（留意，依据多项式拟合的特点，此处拟合多项式的次数不宜过高，一般以合的特点，此处拟合多项式的次数不宜过高，一般以36次为宜）。对第次为宜）。对第3未供水未供水时段来说，数据过少不能得到很好的拟合。时段来说，数据过少不能得到很好的拟合。设设t，h分别为已输入的时刻和水位测量记录（由表分别为已输入的时刻和水位测量记录
35、（由表6.2供应，水泵启动的供应，水泵启动的4个时刻不输入），这样第个时刻不输入），这样第1未未供水时段各时刻的水位可由如下供水时段各时刻的水位可由如下MATLAB程序完成：程序完成：t=0,0.92,1.84,2.95,3.87,4.98,5.90,7.00,7.93,8.97,10.95,12.03,12.95,13.88,14.98,15.90,16.83,17.93,19.04,19.96,20.84,23.88,24.99,25.91h=9.68,9.45,9.31,9.13,8.98,8.81,8.69,8.52,8.39,8.22,10.82,10.50,10.21,9.94,9
36、.65,9.41,9.18,8.92,8.66,8.43,8.22,10.59,10.35,10.18；c1=polyfit(t(1:10),h(1:10),3)；%用用3次多项式拟合次多项式拟合tp1=0:0.1:8.9；x1=polyval(c1,tp1)；plot(tp1,x1)图图6.9给出的是第给出的是第1未供水时段的时间未供水时段的时间水位拟合水位拟合函数图形。函数图形。变量变量x1中存放了以中存放了以0.1为步长算出的各个时刻的水位高为步长算出的各个时刻的水位高度。同样地，第度。同样地，第2未供水时段时间未供水时段时间水位图可由如下水位图可由如下MATLAB程序完成，读者可自己上
37、机运行查看。程序完成，读者可自己上机运行查看。c2=polyfit(t(11:21),h(11:21),3)；tp2=10.9:0.1:20.9；x2=-polyval(c2,tp2)；plot(tp2,x2)（2）确定流量）确定流量时间函数时间函数对于第对于第1，2未供水时段的流量可干脆对水位函数求导未供水时段的流量可干脆对水位函数求导，程序如下：，程序如下：c1=polyfit(t(1:10),h(1:10),3)；c2=polyfit(t(11:21),h(11:21),3)；a1=polyder(c1)；a2=polyder(c2)；%对拟合得到的水位函数求导，得流量对拟合得到的水位函
38、数求导，得流量tp1=0:0.01:8.97；tp2=10.95:0.01:20.84；x13=-polyval(a1,tp1)；%Water_total1=100*trapz(tp1,x13);%计算第计算第1未供水时段的总用水量未供水时段的总用水量x14=-polyval(a1,7.93,8.97)；%求某些点的流量求某些点的流量 x23=-polyval(a2,tp2)；Water_total2=100*trapz(tp2,x114);%计算第计算第2未供水时段的总用水量未供水时段的总用水量x24=-polyval(a2,10.95,12.03)；x25=-polyval(a2,19.9
39、6,20.84)；subplot(1,2,1)plot(tp1,x13*100)%与图与图6.10单位保持一样单位保持一样%倍数倍数100是使单位由米变成厘米是使单位由米变成厘米subplot(1,2,2)plot(tp2,x23*100)%与图与图6.10单位保持一样单位保持一样 程序运行得到第程序运行得到第1，2未供水时段的时间未供水时段的时间流量图如图流量图如图6.10，可以看到与图，可以看到与图6.8中用插值给出的曲线比较吻合。中用插值给出的曲线比较吻合。假如用假如用5次多项式拟合则得图次多项式拟合则得图6.11的图形，明显较的图形，明显较三次拟合的效果好。三次拟合的效果好。而第而第1
40、供水时段的流量则用前后时期的流量进行拟供水时段的流量则用前后时期的流量进行拟合得到。为使流量函数在合得到。为使流量函数在t=9和和t=11连续，我们只取连续，我们只取4个点，用三次多项式拟合得到第个点，用三次多项式拟合得到第1供水时段的时间供水时段的时间流量图形如图流量图形如图6.12，可以看到与图，可以看到与图6.8中的相应部分中的相应部分比较吻合。比较吻合。图图6.12图图6.8程序如下：程序如下：在第在第2供水供水时时段之前取段之前取t=19.96,20.84两点的流量，两点的流量，用第用第3未供水未供水时时段的段的3个个记录记录做差分得到两个流量数做差分得到两个流量数据据21.62，1
41、8.48，然后用，然后用这这4个数据做三次多个数据做三次多项项式式拟拟合得到第合得到第2供水供水时时段与第段与第3未供水未供水时时段的段的时间时间流量流量图图如如图图6.13，可以看到与，可以看到与图图6.8中的相中的相应应部分也比部分也比较较吻合吻合。图图6.13，图图6.8程序如下：程序如下：t3=19.96,20.84,t(22),t(23)；x3=x25*100,21.62,18.48；x_flow3=polyfit(t3,x3,3)；tp3=19.96:0.01:25.91；xx3=polyval(x_flow3,tp3)；tp4=20.84:0.01:23.88；gs2=polyv
42、al(x_flow3,tp4)；gsysl2=trapz(tp4,gs2);%该语句计算第该语句计算第2供水时段的总用水量供水时段的总用水量figure;plot(tp3,xx3)（3）一天总用水量的估计）一天总用水量的估计 分别对供水的两个时段和不供水的两个时段积分（流分别对供水的两个时段和不供水的两个时段积分（流量对时间）并求和得到一天的总用水量约为量对时间）并求和得到一天的总用水量约为526.8935（此数据是总用水高度，单位为（此数据是总用水高度，单位为cm）。表）。表6-6列出各段用水量，与插值法算得的表列出各段用水量，与插值法算得的表6-4相比，二相比，二者较为吻合。者较为吻合。表
43、表6-6（4）流量及总用水量的检验）流量及总用水量的检验 计算出各时刻的流量可用水位记录的数值微分来检计算出各时刻的流量可用水位记录的数值微分来检验，各时段的用水高度可以用实际记录的水位下降高验，各时段的用水高度可以用实际记录的水位下降高度来检验。度来检验。例如，算得第例如，算得第1未供水段的用水量高度是未供水段的用水量高度是145.67，而实际记录的水位下降高度为而实际记录的水位下降高度为968822=146cm，两，两者是吻合的；者是吻合的；算得第算得第2未供水段的用水量高度是未供水段的用水量高度是260.66cm，而，而实际记录的水位下降高度为实际记录的水位下降高度为1082822=26
44、0cm，两，两者也是吻合的。者也是吻合的。从算法设计和分析可知，计算结果与各时段所用的从算法设计和分析可知，计算结果与各时段所用的拟合多项式的次数有关。表拟合多项式的次数有关。表6-7给出的是对第给出的是对第1，2未供未供水时段分别用五、六多项式拟合后得到的用水量结果。水时段分别用五、六多项式拟合后得到的用水量结果。表表6-73）结果分析）结果分析由表由表6-4可以看出，运用三次可以看出，运用三次样样条插条插值值法得到的法得到的结结果果260cm相差不大，相差不大，说说明插明插值结值结果与原始数据比果与原始数据比较较吻合。吻合。与表与表6-2中记录的下降高度中记录的下降高度 146cm，按三次
45、样条插值法估计出全天的用水量约为按三次样条插值法估计出全天的用水量约为 由表由表6-7可以得全天的用水量约为可以得全天的用水量约为 2.5 内容小结内容小结 本模型主要进行水塔水流量的估算。第一种估算方法为插值方法，我们用了三种不同本模型主要进行水塔水流量的估算。第一种估算方法为插值方法，我们用了三种不同的插值法进行估计，在求解的过程中，可以熟悉数据插值的理论和方法；其次种估算的插值法进行估计，在求解的过程中，可以熟悉数据插值的理论和方法；其次种估算方法为数据拟合法，用多项式进行拟合，得到水塔水流量的估计。方法为数据拟合法，用多项式进行拟合，得到水塔水流量的估计。精品课件精品课件！精品课件精品课件！练习：练习：试试将水箱水流量将水箱水流量问题问题的建模方法的建模方法推广到推广到闭闭路路电视电视的普及的普及预预料模型，料模型，下表列出了美国自下表列出了美国自19521952年至年至19781978年年闭闭路路电视电视的的统计统计数据。数据。依据上表中的数据可以依据上表中的数据可以绘绘制制美国家庭接受美国家庭接受闭闭路路电视电视的增的增长长曲曲线线。请请利用已有利用已有历历史史资资料来料来预预料将来料将来闭闭路路电视电视在家庭接受在家庭接受的百分比。的百分比。