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1、24.3 24.3 正多边形和圆正多边形和圆 1.1.了解正多边形和圆的有关概念；了解正多边形和圆的有关概念；2.2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形你还能举出更多正多边形的例子吗？你还能举出更多正多边形的例子吗？正多边形：正多边形：_，_的多边形叫做正多边形的多边形叫做正多边形.正正n n边形：如果一个正多边形有边形：如果一个正多边形有n n条边，那么这个正多边条边，那么这个正多边形叫做正形叫做正n n边形边形.三条边相等，三个角也相三条边相等，
2、三个角也相等（等（6060度）度）.四条边都相等，四个角四条边都相等，四个角也相等（也相等（9090度）度）.各边相等各边相等各角也相等各角也相等菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？ABCDE求证：正五边形的对角线相等求证：正五边形的对角线相等想一想想一想怎样找圆的内接正三角形？怎样找圆的内接正三角形？怎样找圆的外切正三角形？怎样找圆的外切正三角形？怎样找圆的内接正方形？怎样找圆的内接正方形？怎样找圆的外切正方形？怎样找圆的外切正方形？怎样找圆的内接正怎样找圆的内接正n n边形？边形？怎样找圆的外切正怎样找圆的外切正n n边形？边形？EFGH
3、ABCD0ABCD【例例1 1】把圆分成把圆分成5 5等份，求证：等份，求证：依次连结各分点所得的五边形是这个圆的内接正五依次连结各分点所得的五边形是这个圆的内接正五边形；边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的五边形是这个圆的外切正五边形的五边形是这个圆的外切正五边形.例 题123ABCDE45证明证明:(1(1）AB=BC=CD=DE=EAAB=BC=CD=DE=EAAB=BC=CD=DE=EAAB=BC=CD=DE=EABCE=CDA=3ABBCE=CDA=3AB1=21=2同理同理2=3=4=52=3=4=5又又顶点顶点A A、B
4、 B、C C、D D、E E都在都在O O上，上，五边形五边形ABCDEABCDE是是O O的内接五边形的内接五边形.证明：证明：（2 2）连结连结OAOA、OBOB、OCOC，则，则OAB=OBA=OBC=OCB.OAB=OBA=OBC=OCB.TPTP、PQPQ、QRQR分别是以分别是以A A、B B、C C为切点的为切点的O O的切线，的切线，OAP=OBP=OBQ=OCQ.OAP=OBP=OBQ=OCQ.PAB=PBA=QBC=QCB.PAB=PBA=QBC=QCB.ABCDEPQRSTO又又AB=BCAB=BCAB=BCAB=BCPABPAB与与QBCQBC是全等的等腰三角形是全等的
5、等腰三角形.P=Q,PQ=2PAP=Q,PQ=2PA同理同理Q=R=S=TQ=R=S=T QR=RS=ST=TP=2PA QR=RS=ST=TP=2PA 五边形五边形PQRSTPQRST的各边都与的各边都与O O相切，相切，五边形五边形PQRSTPQRST是是O O的外切正五边形的外切正五边形.把圆把圆分成分成n n（n3n3）等份：等份：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n n边形；边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正形是这个圆的外切正n n边形边形.一个
6、正多边形是否一定有外接圆和内切圆？一个正多边形是否一定有外接圆和内切圆？定理定理正三角形正三角形有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？这两个圆有什么位置关系？这两个圆有什么位置关系？正方形正方形有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？这两个圆有什么位置关系？这两个圆有什么位置关系？那么，正那么，正n n边形呢？边形呢？类比联想类比联想定理定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆这两个圆是同心圆.以中心为圆心以中心为圆心,边心距为半径的圆与各边有何
7、位置关系边心距为半径的圆与各边有何位置关系?E EF FC CD D.O O O O中心角中心角半径半径R R边心距边心距r r正多边形的中心正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心一个正多边形的外接圆的圆心.正多边形的半径正多边形的半径:外接圆的半径外接圆的半径正多边形的中心角正多边形的中心角:正多边形的每一条边所对的圆心角正多边形的每一条边所对的圆心角.正多边形的边心距：正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离中心到正多边形的一边的距离.A AB B以中心为圆心以中心为圆心,边心距为半径的圆为正多边形的内切圆边心距为半径的圆为正多边形的内切圆E EF FC CD D.O OA AB
8、BG G G GRa.中心角中心角边心距把边心距把AOBAOB分成分成2 2个全等的直角三角形个全等的直角三角形设正多边形的边长为设正多边形的边长为a,a,边数为边数为n n，圆的半径为圆的半径为R,R,它的周长为它的周长为L=L=nana.正多边形是轴对称图形，正正多边形是轴对称图形，正n n边形有边形有n n条对称轴条对称轴.若若n n为偶数，则其为中心对称图形为偶数，则其为中心对称图形.1.1.各边相等，各角相等各边相等，各角相等.2.2.圆的内接正圆的内接正n n边形的各个顶点把圆分成边形的各个顶点把圆分成n n等份等份.3.3.圆的外切正圆的外切正n n边形的各边与圆的边形的各边与圆
9、的n n个切点把圆分成个切点把圆分成n n等份等份.4.4.每个正多边形都有一个内切圆和外接圆，这两个圆是同每个正多边形都有一个内切圆和外接圆，这两个圆是同心圆，圆心就是正多边形的中心心圆，圆心就是正多边形的中心.正多边形的性质正多边形的性质归纳归纳5.5.正多边形都是轴对称图形，如果边数是偶数那么它还正多边形都是轴对称图形，如果边数是偶数那么它还是中心对称图形是中心对称图形.6.6.正正n n边形的中心角和它的每个外角都等于边形的中心角和它的每个外角都等于360360/n/n，每，每个内角都等于个内角都等于(n-2)(n-2)180180/n./n.7.7.边数相同的正多边形相似，周长比、边
10、长比、半径比、边数相同的正多边形相似，周长比、边长比、半径比、边心距比、对应对角线比都等于相似比，面积比等于相边心距比、对应对角线比都等于相似比，面积比等于相似比的平方似比的平方.在在RtOPCRtOPC中中,OC=4,PC=2.,OC=4,PC=2.利用勾股定理利用勾股定理,可可得边心距得边心距【例例2 2】有一个亭子有一个亭子,它的地基为半径它的地基为半径4m4m的正的正六边形六边形,求地基的周长和面积求地基的周长和面积(精确到精确到0.1m0.1m2 2).).【解析解析】正六边形正六边形ABCDEFABCDEF的中心角为的中心角为6060，OBCOBC是等边三是等边三角形，从而正六边形
11、的边长等于它的半径角形，从而正六边形的边长等于它的半径.因此因此,亭子地基的周长亭子地基的周长 l=46=24(m).=46=24(m).亭子地基的面积亭子地基的面积OABCDEFRPr例 题分别求出半径为分别求出半径为R R的圆内接正三角形、的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积正方形的边长、边心距和面积.【解析解析】作等边作等边ABCABC的的BCBC边上的高边上的高AD,AD,垂足为垂足为D D连接连接OBOB，则，则OB=ROB=R在在RtOBDRtOBD中中,OBD=30,OBD=30,在在RtABDRtABD中中,BAD=30,BAD=30,ABCDOAB=AB=SSABCA
12、BC=边心距边心距OD=OD=跟踪训练【解析解析】连接连接OBOB，OC OC 作作OEBCOEBC，垂足为，垂足为E E，OEB=90 OEB=90 OBE=BOE=45OBE=BOE=45RtOBERtOBE为等腰直角三角形为等腰直角三角形ABCDOE1 1、下列图形中：、下列图形中：正五边形；正五边形；等腰三角形；等腰三角形；正八正八边形；边形；正正2n2n（n n为自然数）边形；为自然数）边形；任意的平行四边任意的平行四边形形.是轴对称图形的有是轴对称图形的有_,_,是中心对称图形的是中心对称图形的有有_,_,既是中心对称图形，又是轴对称图形的既是中心对称图形，又是轴对称图形的有有_.
13、_.2 2、两个正七边形的边心距之比为、两个正七边形的边心距之比为3:43:4，则它们的边长比，则它们的边长比为为_，面积比为，面积比为_，外接圆周长比是，外接圆周长比是_，中，中心角度数比是心角度数比是_._.3:43:49:169:163:43:41:11:13 3、正方形、正方形ABCDABCD的外接圆圆心的外接圆圆心O O叫做正方形叫做正方形ABCDABCD的的_4 4、正方形、正方形ABCDABCD的内切圆的内切圆O O的半径的半径OEOE叫做正方形叫做正方形ABCDABCD的的_5 5、若正六边形的边长为、若正六边形的边长为1,1,那么正六边形的中心角是那么正六边形的中心角是_度，
14、度，半径是半径是_，边心距是，边心距是 ，它的每一个内角是，它的每一个内角是_6 6、正、正n n边形的一个外角度数与它的边形的一个外角度数与它的_角的度数相等角的度数相等中心中心边心距边心距60601 1120120中心中心7 7、将一个正五边形绕它的中心旋转、将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要旋转至少要旋转 度度,才能与原来的图形位置重合才能与原来的图形位置重合.72721 1正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距正多边形的中心角，正多边形的边心距2 2正多边形的半径、正多边形的中心角、边长，正多边形正多边形的半径、正多边形的中心角、边长，正多边形的边心距之间的等量关系的边心距之间的等量关系通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：