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1、2.2.1 综合法和分析法例已知例已知a0,b0,求证求证a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc因为因为b2+c22bc,a0所以所以a(b2+c2)2abc.又因为又因为c2+b22bc,b0所以所以b(c2+a2)2abc.因此因此a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc.证明证明:变式练习变式练习例例2 2：在：在中，三个内角、对应的中，三个内角、对应的边分别为边分别为a a、b b、c c，且、成等差数列，且、成等差数列，a a、b b、c c成等比数列，求证成等比数列，求证为等边三角形为等边三角形证明：证明：A,B,CA,B,C成等差数列，成等差数列，2B=A+C2B=A+C又
2、又A+B+C=A+B+C=，B=B=a,b,ca,b,c成等比数列，成等比数列，根据余弦定理：根据余弦定理：运用上面两个结论得：运用上面两个结论得：又又B=B=为等边三角形为等边三角形变式练习变式练习在锐角三角形中，在锐角三角形中，求证求证sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC特点特点:“由因导果由因导果”由已知条件出发由已知条件出发，运用某些数学定义、，运用某些数学定义、公理、定理等公理、定理等,经过一系列的推理论证经过一系列的推理论证,最后推导最后推导出所要证明的结论出所要证明的结论的证明方法的证明方法综合法用框图表示为综合法用框图表示为:其中其中P P表示已知条件、已有
3、的定义、公理、定理等表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q,Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论.综合法：综合法：证法证法1 1:对于正数对于正数a,b,有有证法证法2 2:要证要证只要证只要证只要证只要证只要证只要证因为最后一个不等式成因为最后一个不等式成立，故结论成立。立，故结论成立。综合法综合法分析法分析法表达简洁表达简洁!目的性强目的性强,易于探索易于探索!问题问题3:(3:(试用两种方法证明试用两种方法证明)设设a、b是两个正实数，且是两个正实数，且ab，求证：，求证：a3 3+b3 3a2 2b+ab2 2 证明：证明：(用分析法思路书写用分析法思路书写)要证要证 a3 3+
4、b3 3a2 2b+ab2 2成立，成立，只需证只需证(a+b)()(a2 2-ab+b2 2)ab(a+b)成立，成立，即证即证a2 2-ab+b2 2ab成立。成立。(a+b0)0)只需证只需证a2 2-2-2ab+b2 20 0成立，成立，也就是要证也就是要证(a-b)2 20 0成立。成立。而由已知条件可知，而由已知条件可知，ab，有，有a-b00，所以所以(a-b)2 20 0显然成立，由此命题得证。显然成立，由此命题得证。问题问题3:(3:(试用两种方法证明试用两种方法证明)设设a、b是两个正实数，且是两个正实数，且ab，求证：，求证：a3 3+b3 3a2 2b+ab2 2 证明
5、：证明：(用综合法思路书写用综合法思路书写)a0,b0,a3 3+ab2 22 2a2 2b,b3 3+ba2 22 2ab2成立，成立，a3 3+ab2+b3 3+2 2ba2 2 2 2a2 2b+2 2ab2 2成立，成立，命题得证。命题得证。a3 3+b3 3a2 2b+ab2 2例例3求证求证证明证明:因为因为和和都是正数都是正数,所以要证所以要证只需证只需证展开得展开得只需证只需证只需证只需证因为因为成立成立,所以所以成立成立.v例4求证证明证明:要证要证只需证只需证只需证只需证即证即证因为因为成立成立所以所以成立成立.显然显然证法证法2要证要证只需证只需证只需证只需证只需证只需证上式显然成立上式显然成立.所以所以成立成立.因为因为 成立成立.所以所以 成立成立.证明证明:要证要证只需证只需证只需证只需证只需证只需证练一练练一练再见