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1、第二节第二节 连续型随机变量及其概连续型随机变量及其概率密度率密度n连续型随机变量连续型随机变量 取值是某个区间或整个实数集；取值是某个区间或整个实数集；取值不能一一列出；取值不能一一列出；对于这种变量，我们关心的是它的取值落对于这种变量，我们关心的是它的取值落在某个区间的概率。在某个区间的概率。n离散型随机变量离散型随机变量 取值是有限个或可列个，可一一列出；取值是有限个或可列个，可一一列出；变量的每一个可能取值都能计算出概率。变量的每一个可能取值都能计算出概率。随机变量的分布函数随机变量的分布函数 设设X X为一随机变量为一随机变量,则对任意实数则对任意实数x x，(Xx)(Xx)是一个随
2、机事件，称是一个随机事件，称为为随机变量随机变量随机变量随机变量X X X X的的的的分布函数分布函数定义域定义域为为（，）；）；值域值域为为，。，。F(x)F(x)是一个是一个普通的函数普通的函数！Distribution Functionn分布函数的定义分布函数的定义 引进分布函数引进分布函数引进分布函数引进分布函数F(x)F(x)F(x)F(x)后，事件的概率都可以用后，事件的概率都可以用后，事件的概率都可以用后，事件的概率都可以用F(x)F(x)F(x)F(x)的函数值来表示。的函数值来表示。的函数值来表示。的函数值来表示。分布函数表示事件的概率分布函数表示事件的概率nP（Xb）=F(
3、b)nP（aXb）=F(b)F(a)nP（Xb）=1 P（Xb）=1-F(b)P（aXb）=P(X b)-P(Xa)=F(b)-F(a)一般地，对离散型随机变量 XPX=xkpk,k1,2,其分布函数为 解解X012P0.1 0.60.3试求出X的分布函数。分布函数的性质分布函数的性质n F(x)是单调非减函数是单调非减函数n 0 F(x)1,且且 不可能事件不可能事件必然事件必然事件nF(x)在在 内是左连续的，即内是左连续的，即有有是不是某一随机变量的分布函数？是不是某一随机变量的分布函数？不是不是 因为因为 函数函数 可作为分布函数可作为分布函数分布函数分布函数 F(x)F(x)的的图形
4、图形概率密度函数概率密度函数n 定义定义 设设X为一随机变量，若存在非负实函数为一随机变量，若存在非负实函数 f(x),使对任意实数使对任意实数 a b，有，有 则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量，f(x)称为称为X 的的概概率密度函数率密度函数,简称简称概率密度或密度函数概率密度或密度函数.Probability density function p.d.f.n密度函数的区间上的积分密度函数的区间上的积分 =区间上的概率区间上的概率概率密度函数的性质概率密度函数的性质n非负性非负性n必然事件的概率必然事件的概率密度函数和分布函数的关系密度函数和分布函数的关系n积分关系积分关系n导数
5、关系导数关系概率密度函数的意义概率密度函数的意义由于在由于在f(x)的连续点处，有的连续点处，有 它表明了随机变量它表明了随机变量X在区间在区间 上的平均概上的平均概率，故称率，故称f(x)为密度函数。为密度函数。对于连续型随机变量对于连续型随机变量X,它取任意指定实数值它取任意指定实数值a的概率为的概率为0,即即:P(X=a)=0对于连续型随机变量对于连续型随机变量X,有有P(a X b)=P(aX b)=P(a X b)=P(aXb)X在某区间的概率等于密度函数在此区间的定积分在某区间的概率等于密度函数在此区间的定积分 用密度函数表示事件的概率用密度函数表示事件的概率解解:当当 x1 时时
6、01 2 3 4 5yxx当当1 x 5 时时例：已知密度函数求分布函数例：已知密度函数求分布函数已知连续型随机变量已知连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为求求 X 的分布函数的分布函数当当 x 5 时时所以所以0 1 51n Step1:利用密度函数的性质求出利用密度函数的性质求出 a例：已知密度函数求概率例：已知密度函数求概率n Step2:密度函数在区间的积分得到此区间的概率密度函数在区间的积分得到此区间的概率例：已知分布函数求密度函数例：已知分布函数求密度函数（2)2)X 的密度函数的密度函数（2 2）密度函数为）密度函数为均匀分布均匀分布若连续型随机变量若连续型随机变量X的概率密
7、度为的概率密度为则称则称X在区间在区间（a，b）上服从均匀分布记为）上服从均匀分布记为 X U(a,b)Uniform Distributionn定义定义n分布函数分布函数 0 a bx X“等可能等可能”地取区间（地取区间（a,b）中的值，这里的）中的值，这里的“等可等可能能”理解为：理解为：X落在区间（落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内的中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖于可能性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。子区间的长度而与子区间的位置无关。0 a bx（）c d n意义意义 102 102电车每电
8、车每5 5分钟发一班，在任一时刻分钟发一班，在任一时刻 某一乘客某一乘客到了车站。求乘客候车时间不超过到了车站。求乘客候车时间不超过2 2分钟的概率。分钟的概率。设随机变量设随机变量X X为候车时间，为候车时间，X X 服从（服从（0 0，5 5）上的）上的 均匀分布均匀分布解解例例X XU U（0 0，5 5）设设在在-1-1，55上服从均匀分布，求方程上服从均匀分布，求方程有实根的概率。有实根的概率。解解 方程有实数根方程有实数根 即即 而而 的密度函数为的密度函数为 所求概率为所求概率为 指数分布指数分布若连续型随机变量若连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为则称则称X 服从参数为服从参数为的指数分布的指数分布.Exponential Distributionn定义定义n分布函数分布函数例例设设X X服从参数为服从参数为3 3的指数分布，求它的概率密度的指数分布，求它的概率密度及及和和解解X X的概率密度的概率密度