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1、微分方程微分方程 复习课复习课基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.可化为齐次可化为齐次方程方程5.5.线性方程线性方程6.6.伯努利方程伯努利方程可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;定理定理4 4二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式高阶方程高阶方程待待定定系系数数法法特征方程法特征方程法一、主要内容一、主要内容1 1、基本概念、
2、基本概念微分方程微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程叫微分方程微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解式的函数称为微分方程的解 一、主要内容一、主要内容通解通解如果如果微分方程的解中含有任意常数，并且微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解解叫做微分方程
3、的通解特解特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解叫做微分方程的特解初始条件初始条件用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.初值问题初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题叫初值问题2 2、一阶微分方程及其解法、一阶微分方程及其解法(1)可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法(2)齐次型方程齐次型方程解法解法(分离变量法分离变量法)(变量代换法变量代换法)(3)一阶线性微分方程一阶线性微分方程齐次齐次非齐次非齐次.解法解法齐次方程的通解为齐次方程的通解为（使用分离变量法）（使用分
4、离变量法）非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为（常数变易法）（常数变易法）(4)伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程方程为线性微分方程方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程方程为非线性微分方程.解法解法 利用变量代换利用变量代换法法化为线性微分方程化为线性微分方程变量代换变量代换是解微分方程的重要思想和重要方法是解微分方程的重要思想和重要方法1 1、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法 型型解法解法接连积分接连积分n次，得通解次，得通解 型型特点特点解法解法代入原方程代入原方程,得得 型型特点特点解法解法代入原方程代入原方程,得得2 2、线性微分方程解的结构、
5、线性微分方程解的结构（1 1）二阶齐次方程解的结构）二阶齐次方程解的结构:（2 2）二阶非齐次线性方程的解的结构）二阶非齐次线性方程的解的结构:非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解非齐通解非齐通解=齐通解齐通解+非齐特解非齐特解3 3、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.特
6、征方程为特征方程为推广：推广：阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程为特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项4 4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法待定系数法待定系数法.(一一)、选择题、选择题B1.满足满足2.设函数设函数y1,y2 都是方程都是方程的解，的解，是此是此方程方程通解。则必有通解。则必有 .D3.微分微分方程方程的特解形式的特解形式是是 .(A)(B)(C)(D)DC4.满足满足5.设线性无关的函数设线性无关的函数y1,y2,y3都是方程都是方程的
7、解，的解，为任意常数，则其通解为为任意常数，则其通解为 .C6.以以为特解的三阶常系数为特解的三阶常系数的齐次线性微分方程是的齐次线性微分方程是 .(A)(B)(C)(D)D8.若若 y=f(x)是是 (A)x0的某邻域内单调增加；的某邻域内单调增加；(B)x0的某邻域内单调减少；的某邻域内单调减少；(C)x0处取极小值；处取极小值；(D)x0处取极大值处取极大值.C7.微分微分方程方程的一个特解的一个特解是是 .(A)(B)(C)(D)B9.设函数设函数p(x)在在 a,+）连续非负，连续非负，如果微分方如果微分方程程则必有则必有 .的每一个解的每一个解y(x)都满足都满足D(二二)、填空填
8、空题题1.微分微分方程方程的通解是的通解是_2.微分微分方程方程满足满足y(1)=1的一个特解的一个特解是是 _3.微分微分方程方程的通解是的通解是_4.微分微分方程方程有两个解有两个解则5.以以为特解的最低阶常系数齐次线性为特解的最低阶常系数齐次线性微分方程微分方程_切于该点的积分曲线切于该点的积分曲线 6.方程方程7.y =x的经过点的经过点M(0,1),且与直且与直线线 8.通解为通解为 y=C1ex+C2e-2x 的最低阶的齐次线性方程的最低阶的齐次线性方程 9.已知已知是是例例 1 求微分方程求微分方程记记 两边积分得两边积分得 解解 分离变量得分离变量得三、典型例题三、典型例题例例
9、 2 求微分方程求微分方程积分得积分得即原方程化为即原方程化为解解 设设的通解的通解.代入代入x=1,y=2，得得 C=-1,于是积分曲线是于是积分曲线是两边积分得两边积分得解解 设设u=xy,则则 du=yd x+xd y,于是于是且过点（且过点（1，2）的积分曲线）的积分曲线.例例 3 求满足方程求满足方程例例 4 求求积分得积分得 解解 原方程化为原方程化为 的通解的通解.例例5 若若y=ex是方程是方程这是一个一元线性非齐次方程这是一个一元线性非齐次方程，于是，于是于是有于是有程有程有解解 首先，求出未知函数首先，求出未知函数p(x),把把y=ex 代入原方代入原方求满足求满足 y(l
10、n2)=0 的特解的特解.的一个解，的一个解，例例6 若若 解解 设设 ux=t,则则当当 u=0,t=0;当当u=1,t=x.例例 7 设设 f(x)在在0，+）上连续，且）上连续，且解解 方程方程的解为的解为证明方程证明方程例例 8 解方程解方程解解例例9 解方程解方程 解解 设设积分得积分得 再积分得原方程的通解为再积分得原方程的通解为则原方程可化为则原方程可化为例例 10 求微分方程求微分方程适合条件适合条件的特解的特解.解解 设设则原方程化为则原方程化为解之解之由于由于积分两次有积分两次有例例 11 求方程求方程解解 设设原方程可化为原方程可化为当当p=0时，时，y=C是方程的解，当
11、是方程的解，当p 0时，有时，有积分得积分得例例 13 求方程求方程解解 不难求出特征根为不难求出特征根为1，6，对应的齐次方程的，对应的齐次方程的 可以判断出其特解为可以判断出其特解为代入初始条件解得代入初始条件解得通解为通解为例例 14 解方程解方程解解 不难求出方程的特征根为不难求出方程的特征根为2，2.方程方程的特解的特解方程方程的特解的特解方程方程的特解的特解原方程的特解原方程的特解代入初始条件，并解方程组，求得代入初始条件，并解方程组，求得解解 由于由于是原方程的解，故是原方程的解，故例例15 设设y1=(x)是方程是方程的一个解的一个解,若若求出此方程的另一个与求出此方程的另一个
12、与 y1线性线性无关的解无关的解,并写出所给方程的通解并写出所给方程的通解.令令原方程的通解为原方程的通解为例例 16 设设 y(x)是是 x的连续可微函数的连续可微函数,且满足且满足解解 两边对两边对 x 求导求导,得到得到整理即整理即再求导，并整理得到微分方程再求导，并整理得到微分方程解之得解之得 即即例例 17求方程求方程解解代入原方程得代入原方程得 解这个微分方程，得其通解为解这个微分方程，得其通解为的通解的通解.例例 18 若可微函数若可微函数f(x)满足方程满足方程解解 由所给方程可知由所给方程可知 f(1)=1,两边对两边对 x 求导求导,得得记记 y=f(x),则上述方程化为则
13、上述方程化为这是关于这是关于 n=3 的伯努力方程的伯努力方程.则则整理即整理即 例例 19 设函数设函数f(x)满足满足 xf (x)3 xf(x)=6x2求由曲线求由曲线y=f(x),x=1与与x轴所围成的平面图形绕轴所围成的平面图形绕x轴轴旋转一周的旋转体的体积最小旋转一周的旋转体的体积最小.解解 原方程可化为原方程可化为旋转体的体积为旋转体的体积为令令又又所以所以V(C)在此唯一驻点处取最小值，所求函数为在此唯一驻点处取最小值，所求函数为例例 20 若若f(x)可微可微,解解 令令 y=0,则则 对任何对任何x,y,有有解方程解方程得通解得通解代入条件代入条件 f(0)=0,则则 C=
14、0,所以所以例例 21 若若 解解 由线性方程的理论可知由线性方程的理论可知是对应齐次方程的解，是对应齐次方程的解，也是对应齐次方程的解，也是对应齐次方程的解，所以所以也是对应齐次方程的解，也是对应齐次方程的解，于是于是都是对应的齐次方程的解，都是对应的齐次方程的解，是某二阶非齐次线性方程的三个解，求这个微分方程是某二阶非齐次线性方程的三个解，求这个微分方程.不难写出这个齐次方程为（因为特征根是不难写出这个齐次方程为（因为特征根是-1和和2）设所求的非齐次方程为设所求的非齐次方程为代入代入则则 所以所求线性非齐次方程为所以所求线性非齐次方程为例例22 设函数设函数 f(x)在正实轴上连续，且等式在正实轴上连续，且等式 解解 固定固定 x,对对 y 求导，求导，对任何正数对任何正数x,y 都成立，又都成立，又f(1)=3,求求 f(x).两边再对两边再对x求导求导,整理得整理得令令