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1、变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分复习迎考复习迎考一、基本概念一、基本概念1.1.微分方程及其分类微分方程及其分类 微分方程按未知函数为一元函数或多元函数分为微分方程按未知函数为一元函数或多元函数分为常微分方程和偏微分方程常微分方程和偏微分方程.微分方程按阶分为一阶微分方程和高阶微分方程微分方程按阶分为一阶微分方程和高阶微分方程. 微分方程按一次和高次分为线性微分方程和非线性微分方程按一次和高次分为线性微分方程和非线性微分方程微分方程. 本书主要研究常微分方程，通常也将常微分方程简本书主要研究
2、常微分方程，通常也将常微分方程简称为微分方程称为微分方程. 2.微分方程的解、通解，定解条件（初始条件和边界微分方程的解、通解，定解条件（初始条件和边界条件），定解问题（初值问题和边值问题）特解，积分条件），定解问题（初值问题和边值问题）特解，积分曲线（族）及方向场曲线（族）及方向场.变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分3.3.一阶微分方程的可积类型（见图一阶微分方程的可积类型（见图p.71p.71图图2.72.7）（1 1）变量分离方）变量分离方程程)()(yxfdxdy)(xygdxdy（2
3、）齐次方程）齐次方程)()(xQyxpdxdy(3) 线性方程线性方程（4 4）伯努利）伯努利( (Bernouli) )方程方程) 1 , 0()()(nyxQyxpdxdyn（5 5）黎卡提（）黎卡提（Riccati)Riccati)方程方程0)(),(),(),()()(2xQxRxQxRyxQyxpdxdy(6)(6)对称形式的一阶微分方程对称形式的一阶微分方程0),(),(dyyxNdxyxM0),(),(dyyxNdxyxM变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分).(xQyPxNyM恰
4、恰当当方方程程的的判判别别准准则则：,),(),(),( ),(: )(.10dyyxNdxyxMyxduyxu二元函数二元函数全微分方程全微分方程恰当方程恰当方程.)()(),( .20 xNyMyx函函数数二二元元，积积分分因因子子：非非恰恰当当方方程程，可可恰恰当当化化函函数数仅仅为为条条件件是是有有关关的的积积分分因因子子的的充充要要存存在在仅仅与与xxNyxa)M( .变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分.)()yM .的函数的函数仅为仅为（条件是条件是有关的积分因子的充要有关的积分因
5、子的充要存在仅与存在仅与yMxNyb).1ln(:. 0),(, 0),(),(),( )7(2yyyyFyxFyxfyyyfx如如解解最最后后一一种种情情形形要要防防止止漏漏方方程程导导数数未未解解出出的的一一阶阶隐隐式式.| ,|:|),( ,)(),(. 40000byyaxxRyxyxyyxfdxdy题题一阶微分方程的初值问一阶微分方程的初值问.10初值解的存在唯一性初值解的存在唯一性变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分| ),(),(|, 0:)(221210yyLyxfyxfLLip
6、schitz条条件件利利普普希希茨茨. 1 , 1,31 ),(),(:)(30条条件件满满足足中中关关于于在在如如验验证证样样的的条条件件来来替替代代，的的偏偏导导数数存存在在且且有有界界这这关关于于通通常常用用条条件件的的检检验验利利普普希希茨茨schitzLipyxeyxfyyxfLipschitzy. | ),(|max,min,|)(4),(00yxfMMbahhxxxyRyx其其中中的的存存在在区区间间为为解解的的局局部部存存在在性性：解解变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分xxhx
7、xdyfyy0.| ,)(,( 5000方程：方程：与初值问题等价的积分与初值问题等价的积分.)!1(| )()(|), 2 , 1()(,()()(61100000nnnxxnnhnMLxxnndfyxyx近似，误差估计式为近似，误差估计式为次次为为为初始近似，为初始近似，初值解的逐次逼近：初值解的逐次逼近： 5. 5.包络与奇解包络与奇解. .奇解通常为通解曲线族的包络，通解奇解通常为通解曲线族的包络，通解曲线族的包络必定为奇解曲线族的包络必定为奇解. .包络的检验：沿着包络的检验：沿着C-C-判别曲判别曲线有线有. 022yx变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连
8、接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分为任意常数，为任意常数，它的通解为它的通解为方程方程关于克莱罗关于克莱罗CCfxCydxdyfdxdyxyClairaut),(),( ., 0)(, 0)(为为参参数数奇奇解解为为ppfxpfxpy与与系系数数之之间间的的关关系系微微分分方方程程还还有有如如下下的的解解线线性性构构，基基本本解解组组，关关于于齐齐朗朗斯斯基基行行列列式式，通通解解结结性性无无关关、函函数数组组的的线线性性相相关关、线线的的线线性性组组合合仍仍为为解解）若若干干个个解解叠叠加加原原理理齐齐次次线线性性微微分分方方程程：高高阶阶线线性性微微
9、分分方方程程,(, 0)() 1 ()()()(. 6)1(1)(tftfxtaxtaxnnn变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分阶齐次线性微分方程为阶齐次线性微分方程为个函数为基本解组的个函数为基本解组的则以这则以这基行列式基行列式时，它们的朗斯时，它们的朗斯当当函数函数阶导数的阶导数的上的具有上的具有个定义在个定义在设有设有定理定理nntWbattxtxtxnbann , 0)(,)(,),(),(, 210)()()()()()()()()()()()()()()(2)(11()1()1(
10、2)1(12121nnnnnnnnnnnnxtxtxtxxtxtxtxxtxtxtxxtxtxtx变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分, 0)()()(1)1(1)(xtpxtpxtpxnnnn即即,)(1)()()(1)(2)(1)1()1(1)1(2)1(11211211nnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxtwtp.)() 1()()()(1)(2)(1)1()1(1)1(2)1(1121121nnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxt
11、wtp 其中其中变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分叠叠加加原原理理，通通解解结结构构非非齐齐次次线线性性微微分分方方程程, 0)(:)2(tf.),( , 0 , 0. 7)1(1)(1)1(11)()1(1)(特殊方程的特解形式特殊方程的特解形式方程方程常系数非齐次线性微分常系数非齐次线性微分本解组形式，欧拉方程本解组形式，欧拉方程特征方程，特征根，基特征方程，特征根，基程程常系数齐次线性微分方常系数齐次线性微分方tfxaxaxyayxayxayxxaxaxnnnnnnnnnnnn.3, 0
12、),(2),1 (0),(1. 80)(0)()(0方程方程阶变系数齐次线性微分阶变系数齐次线性微分个线性无关特解的个线性无关特解的已知已知阶方程：阶方程：可降阶的三种类型的高可降阶的三种类型的高nkxxxFnkxxtFnnk变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分9.9.线性微分方程组的向量形式，化高阶线性微分方程为线性微分方程组的向量形式，化高阶线性微分方程为一阶线性微分方程组，向量函数与矩阵函数的连续性、一阶线性微分方程组，向量函数与矩阵函数的连续性、可微性与可积性，向量与矩阵的范数及性质，向
13、量与可微性与可积性，向量与矩阵的范数及性质，向量与矩阵序列、向量与矩阵函数序列、向量与矩阵函数级数矩阵序列、向量与矩阵函数序列、向量与矩阵函数级数的收敛性和一致收敛性的收敛性和一致收敛性. .10.10.齐次线性微分方程组的解的叠加原理，向量函数组齐次线性微分方程组的解的叠加原理，向量函数组的线性相关、线性无关及朗斯基行列式，通解结构，基的线性相关、线性无关及朗斯基行列式，通解结构，基本解组，解矩阵，基解矩阵，非齐次线性微分方程组，本解组，解矩阵，基解矩阵，非齐次线性微分方程组，叠加原理叠加原理. .常系数线性微分方程组常系数线性微分方程组, ,矩阵指数矩阵指数expA,expAt,expA,
14、expAt,标准基解矩阵，特征值，特征向量，空间分解等标准基解矩阵，特征值，特征向量，空间分解等. .变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分二、基本理论二、基本理论1.1.一阶微分方程、高阶线性微分方程以及一阶线性微一阶微分方程、高阶线性微分方程以及一阶线性微分方程组的初值问题的解的存在唯一性定理分方程组的初值问题的解的存在唯一性定理. .2.2.齐次线性微分方程（组）的解的性质和通解结构定齐次线性微分方程（组）的解的性质和通解结构定理，非齐次线性微分方程（组）理，非齐次线性微分方程（组）的解的性
15、质和通解结的解的性质和通解结构定理构定理.三、基本计算三、基本计算2. 1xyxydxdy如如：的的是是防防止止漏漏解解量量分分离离方方程程，需需要要注注意意分分离离变变量量法法：适适用用于于变变变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分莱布尼兹）：适用于莱布尼兹）：适用于变量变换法变量变换法 Leibnitz(. 2,2321yxyxdxdy）齐次方程，如：）齐次方程，如：（,132)2(yxyxdxdy准准齐齐次次方方程程，如如：.33yxydxdy）伯努利方程，如：）伯努利方程，如：（3.3.常
16、数变易法常数变易法( (实际上也是一种变量变换法实际上也是一种变量变换法) )，适用于，适用于,31xydxdy，如：，如：）一阶非齐次线性方程）一阶非齐次线性方程（,sec232txxx ，如：，如：）高阶非齐次线性方程）高阶非齐次线性方程（变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分,14251 3texx方程组，如：方程组，如：）一阶非齐次线性微分）一阶非齐次线性微分（, 0)()()(1dyyxdxyx，如如：全全微微分分方方程程）恰恰当当方方程程（. 0)(22 xxx）恰当导数方程，如：）恰
17、当导数方程，如：（4.4.分项组合凑微分法分项组合凑微分法5.5.积分因子法积分因子法. 02 xdyydx微分方程，如：微分方程，如：对称形式的一阶非恰当对称形式的一阶非恰当变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分6.6.参数表示法参数表示法 适用于四种特殊类型的一阶隐方程中的两种，如适用于四种特殊类型的一阶隐方程中的两种，如1, 12222yyyxyyyxyyxysin)(,)(227.7.微分法微分法适用于四种特殊类型的一阶隐方程中的两种，如适用于四种特殊类型的一阶隐方程中的两种，如8.8.欧
18、拉待定指数函数法（特征根法）欧拉待定指数函数法（特征根法）适用于常系数齐线性方程，如适用于常系数齐线性方程，如034 yyy9.9.待定系数法，适用于待定系数法，适用于（1 1）具有特殊右端函数的常系数非齐线性微分方程）具有特殊右端函数的常系数非齐线性微分方程变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分xxeyyyxxyy 2,cos如如：., 2 , 1,)(,)()()(,:)2(1)()2()1(21nitttptptptpxAxxnAAxxjjnnijijijijnjjjjjj解：解：应有如下形
19、状的特应有如下形状的特方程组方程组重特征根重特征根的的对应于对应于程组程组常系数齐次线性微分方常系数齐次线性微分方10.10.降阶法，适用于降阶法，适用于变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分. 01,)2()4()5()1(ytyyyyyk的方程，如：的方程，如：或更一般地不显含有或更一般地不显含有不显含有未知函数不显含有未知函数. 0)() 1 (2 xxxt的方程，如：的方程，如：不显含有自变量不显含有自变量. 0) 1()3( xtx txn方方程程，如如：阶阶变变系系数数齐齐线线性性解解的的已已知知若若干干个个线线性性无无关关特特变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分11.11.矩阵指数法，适用于常系数齐次线性微分方程组矩阵指数法，适用于常系数齐次线性微分方程组的解空间。的解空间。的解的公式的解的公式）（满足条件满足条件求求0)( :,)(!()(021110uEAUvvvvvEAitetAxxjjjnjjjkjijkjniitiniinEAitAteteAteAtAtAt)(!exp)A(exp,)(exp,)(expexpexp01021的公式：的公式：求求