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1、第一章微积分基础微积分基础 函数函数 极限极限 研究对象研究对象 研究工具研究工具函数与极限微积分的主要包括：函数、极限、连续、微积分的主要包括：函数、极限、连续、导数（微分）、积分、级数导数（微分）、积分、级数 第一章 二、映射二、映射 三、函数三、函数 一、集合一、集合第一节映射与函数元素元素 a 属于集合属于集合 M,记作记作元素元素 a 不属于集合不属于集合 M,记作记作一、一、集合集合1.定义及表示法定义及表示法定义定义 1.具有某种特定性质的事物的总体称为具有某种特定性质的事物的总体称为集合集合.组成集合的事物称为组成集合的事物称为元素元素.不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合
2、称为空集空集,记作记作 .(或或).注注:M 为数集为数集 表示表示 M 中排除中排除 0 的集的集;表示表示 M 中排除中排除 0 与负数的集与负数的集.只含有限个元素的集合，称为只含有限个元素的集合，称为有限集有限集不是有限集的集合，称为不是有限集的集合，称为无限集无限集表元素表元素.表集合表集合.通常：通常：表示法：表示法：(1)列举法：列举法：按某种方式列出集合中的全体元素按某种方式列出集合中的全体元素.例例:有限集合有限集合自然数集自然数集(2)描述法：描述法：x 所具有的特征所具有的特征例例:整数集合整数集合或有理数集有理数集实数集合实数集合 x 为有理数或无理数为有理数或无理数开
3、区间开区间闭区间闭区间半开区间半开区间上述区间上述区间,称为称为有限区间有限区间.a与与b称为称为区间端点区间端点.两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为称为区间的长度区间的长度.无限区间无限区间负无穷大正无穷大点的点的 邻域邻域其中其中,a 称为邻域中心称为邻域中心,称为邻域半径称为邻域半径.去心去心 邻域邻域左左 邻域邻域:右右 邻域邻域:是是 B 的的子集子集,或称或称 B 包含包含 A,2.集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算定义2.则称则称 A若若且且则称则称 A 与与 B 相等相等,例如例如,若若设有集合设有集合记作记作记作记作必有必有若若但但则称则称 A是是
4、 B 的的真真子集子集,记作记作显然有下列关系显然有下列关系:定义定义 3.给定两个集合给定两个集合 A,B,并集并集交集交集且且差集差集且且定义下列运算定义下列运算:余集余集直积直积特例特例:记记为平面上的全体点集为平面上的全体点集或或全集全集or基本集基本集集合运算满足下列法则集合运算满足下列法则:设设A、B、C为任意三个集合，则为任意三个集合，则(1).交换律：交换律：(2).结合律：结合律：(3).分配律：分配律：(4).对偶律：对偶律：证明略证明略二、二、映射映射1.映射的概念映射的概念 某校学生的集合某校学生的集合学号的集合学号的集合按一定规则查号按一定规则查号某班学生的集合某班学
5、生的集合某教室座位某教室座位的集合的集合按一定规则入座按一定规则入座引例引例1.定义定义4.设设 X,Y 是两个非空集合是两个非空集合,若存在一个对应规若存在一个对应规则则 f,使得使得有唯一确定的有唯一确定的与之对应与之对应,则则称称 f 为从为从 X 到到 Y 的的映射映射,记作记作元素元素 y 称为元素称为元素 x 在映射在映射 f 下的下的 像像,记作记作元素元素 x 称为元素称为元素 y 在映射在映射 f 下的下的 原像原像.集合集合 X 称为映射称为映射 f 的的定义域定义域;Y 的子集的子集称为称为 f 的的 值域值域.注意注意:映射的三要素映射的三要素 定义域定义域,对应规则对
6、应规则,值域值域.任意任意对映射对映射若若,则称则称 f 为为满射满射;若若有有 则称则称 f 为为单射单射;若若 f 既是满射又是单射既是满射又是单射,则称则称 f 为为双射双射 或或一一映射一一映射.例例1 如图所示如图所示,对应阴影部分的面积对应阴影部分的面积则在数集则在数集自身之间定义了一种映射自身之间定义了一种映射(满射满射)如图所示如图所示,则有则有(满射满射)例例22.逆映射与复合映射逆映射与复合映射(1)逆映射的定义逆映射的定义 定义定义:若映射若映射为单射为单射,则存在一新映射则存在一新映射使使习惯上习惯上,的逆映射记成的逆映射记成其中其中称此映射称此映射为为 f 的逆映射的
7、逆映射.(2)复合映复合映射射手电筒手电筒D引例引例.复合映射复合映射 定义定义.则当则当由上述映射链可定义由由上述映射链可定义由 D 到到 Y 的的复复设有映射链设有映射链记作记作合映射合映射,时时,或或构成复合映射构成复合映射的条件不可少的条件不可少例例4,映射链映射链:可定义复合映射可定义复合映射以上定义也可推广到多个映射的情形以上定义也可推广到多个映射的情形.定义域定义域三、函数三、函数1.函数的概念函数的概念 定义定义4.设数集设数集则称映射则称映射为定义在为定义在D 上的函数上的函数,记为记为自变量自变量因变量因变量 f(D)称为值域称为值域(对应规则对应规则)(值域值域)(定义域
8、定义域)对应规律对应规律的表示方法的表示方法:解析法解析法、图象法、图象法、列表法、列表法 自然定义域自然定义域使表达式及实际问题都有意义的自使表达式及实际问题都有意义的自变量集合变量集合.如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数单值函数，否则叫与否则叫与多值函数多值函数 值域值域例例5 5 判别下列函数对是否相等：判别下列函数对是否相等：（1）（2）相等相等不相等不相等函数的两要素函数的两要素定义域定义域对应关系对应关系例例6,反正弦主值反正弦主值定义域定义域值域值域函数图形函
9、数图形:例例7,绝对值函数绝对值函数定义域定义域值值 域域例例8.已知函数已知函数求求 及及解解:函数无定义函数无定义并写出定义域及值域并写出定义域及值域 .定义域定义域 值值 域域 分段函数分段函数2.函数的几种特性函数的几种特性设函数设函数且有区间且有区间(1)有界性有界性有有称称 在在 I 上有界上有界.M-Myxoy=f(x)I有界有界无界无界M-MyxoX否则否则,称称 在在 I 上无界上无界.说明说明:还可定义有上界、有下界还可定义有上界、有下界(见上册见上册 P11)使使若对任意正数若对任意正数 M,均存在均存在 则称则称 f(x)在在 I上无界上无界.称称 为为有上界有上界称称
10、 为为有下界有下界存在存在 例例9 9 是有界的函数。是有界的函数。在在而在而在 内有界。内有界。函数函数 无界，无上界无界，无上界.(2)单调性单调性当当时时,称称 为为 I 上的上的单调增函数单调增函数;称称 为为 I 上的上的单调减函数单调减函数.例例 函数函数 (3)奇偶性奇偶性且有且有若若则称则称 f(x)为为偶函数偶函数;若若则称则称 f(x)为为奇函数奇函数.偶函数偶函数yxox-x奇函数奇函数yxox-x偶函数的图形是关于偶函数的图形是关于y 轴对称；轴对称；奇函数的图形是关于原点对称。奇函数的图形是关于原点对称。例如例如,偶函数偶函数双曲余弦双曲余弦 记记说明说明:在在 x=
11、0 有定义有定义,为奇函数时为奇函数时,则当则当必有必有若若又如又如,奇函数奇函数双曲正弦双曲正弦 记记再如再如,奇函数奇函数双曲正切双曲正切 记记例例1010 设函数设函数f(x)定义在定义在则则f(x)可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和。可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和。易知易知是一个偶函数，而是一个偶函数，而是一个奇函数，而且是一个奇函数，而且 命题为真。命题为真。解解 记记(4)周期性周期性且且则称则称为为周期函数周期函数,若若称称 l 为为周期周期(一般指一般指最小正周期最小正周期).周期为周期为 周期为周期为例例 求求y=cos4x 的周期。的周期。解解 函数的周期为函数的周
12、期为注注:周期函数不一定存在最小正周期周期函数不一定存在最小正周期.例如例如,常量函数常量函数狄里克雷函数狄里克雷函数x 为有理数为有理数x 为无理数为无理数例例 指出指出的周期。的周期。(作为练习作为练习)有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo3.反函数与复合函数反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质反函数的概念及性质若函数若函数为单射为单射,则存在逆映射则存在逆映射习惯上习惯上,的反函数记成的反函数记成称此映射为为 f 的的反函数反函数.例例1111 求求 的反函数。的反函数。解解 我们把原式变形成我们把原式变形成即即2)函数函数与其反函数与其反函数的图形关于直线的图形关于直线对称对称
13、.例如例如,对数函数对数函数互为反函数互为反函数,它们都单调递增它们都单调递增,其图形关于直线其图形关于直线对称对称.指数函数指数函数其反函数其反函数(减减)(减减).1)yf(x)单调递增单调递增且也单调递增且也单调递增 性质性质:例如例如,函函数数其反函数为其反函数为(2)复合函数复合函数 则则设有函数链设有函数链称为由称为由,确定的确定的复合函数复合函数,复合映射的特例复合映射的特例 u 称为称为中间变量中间变量.注意注意:构成复合函数的条件构成复合函数的条件 不可少不可少.外函数外函数内函数内函数例例12,函数链函数链:但函数链但函数链不能构成复合函数不能构成复合函数.可定义复合函数可
14、定义复合函数两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:4.初等函数初等函数(1)基本初等函数基本初等函数幂函数、幂函数、指数函数、指数函数、对数函数、对数函数、三角函数、三角函数、反三角函数反三角函数1.1.幂函数幂函数1.1.幂函数幂函数2.指数函数指数函数3.对数函数对数函数4.三角函数三角函数正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数余切函数余切函数正割函数正割函数余割函数余割函数5.反三角函数反三角函数(2)初等函数初等函数由常数及基本初等函数由常数及基本初等函数否则称为否则称为非初等函数非初等函数.例如例如,并可用并可用一个式子一个式子表示的函数表示的函数,经过经过有
15、限次有限次四则运算和复合步四则运算和复合步骤所构成骤所构成,称为称为初等函数初等函数.可表为可表为故为初等函数故为初等函数.又如又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数双曲函数与反双曲函数也是初等函数.(自学自学,P17 P21)非初等函数举例非初等函数举例:符号函数符号函数当当 x 0当当 x=0当当 x 0取整函数取整函数当当阶梯曲线阶梯曲线内容小结内容小结1.集合及映射的概念集合及映射的概念定义域定义域对应规律对应规律3.函数的特性函数的特性有界性有界性,单调性单调性,奇偶性奇偶性,周期性周期性4.初等函数的结构初等函数的结构2.函数的定义及函数的二要素函数的定义及函数的二要素作业作业 P21 6(4),(7),(9);7;8;9(2);10;11(2);15;18;191.1.课堂练习课堂练习的反函数及其定义域.3.3.2.求求1.1.解解故故课堂练习参考答案课堂练习参考答案2.求求的反函数及其定义域.解解:当当时时,则则当当时时,则则当当时时,则则反函数反函数定义域为定义域为3.3.解解综上所述综上所述