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1、第一章分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象 研究方法 研究桥梁函数与极限目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二、映射二、映射 三、函数三、函数 一、集合一、集合第一节映射与函数目录 上页 下页 返回 结束 元素 a 属于集合 M,记作元素 a 不属于集合 M,记作一、一、集合集合1.定义及表示法定义及表示法定义定义 1.具有某种特定性质的事物的总体称为集合集合.组成集合的事物称为元素元素.不含任何元素的集合称为空集空集,记作 .(或).注注:M 为数集 表示 M 中排除 0 的集;表示 M 中排除 0 与负数的集.简称集集简称元元目录 上页 下页 返回 结束 表示法表示法
2、：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例例:有限集合自然数集(2)描述法：x 所具有的特征例例:整数集合或有理数集 p 与 q 互质实数集合 x 为有理数或无理数开区间闭区间目录 上页 下页 返回 结束 无限区间点的 邻域邻域其中,a 称为邻域中心,称为邻域半径.半开区间去心 邻域邻域左左 邻域邻域:右右 邻域邻域:目录 上页 下页 返回 结束 是 B 的子集子集,或称 B 包含 A,2.集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算定义定义2.则称 A若且则称 A 与 B 相等相等,例如,显然有下列关系:,若设有集合记作记作必有目录 上页 下页 返回 结束 定义定义 3.给定两个集合 A
3、,B,并集交集且差集且定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集或目录 上页 下页 返回 结束 二、二、映射映射某校学生的集合某校学生的集合 学号的集合学号的集合 按一定规则查号某班学生的集合某班学生的集合 某教室座位某教室座位 的集合的集合按一定规则入座引例引例1.目录 上页 下页 返回 结束 引例引例2.引例引例3.(点集)(点集)向 y 轴投影目录 上页 下页 返回 结束 定义定义4.设 X,Y 是两个非空集合,若存在一个对应规则 f,使得有唯一确定的与之对应,则称 f 为从 X 到 Y 的映射映射,记作元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像像,记作元素 x 称为元素 y 在映
4、射 f 下的原像原像.集合 X 称为映射 f 的定义域定义域;Y 的子集称为 f 的 值域值域.注意注意:1)映射的三要素 定义域,对应规则,值域.2)元素 x 的像 y 是唯一的,但 y 的原像不一定唯一.目录 上页 下页 返回 结束 对映射若,则称 f 为满射满射;若有 则称 f 为单射单射;若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射双射 或一一映射一一映射.引例引例2,3引例引例2引例引例2目录 上页 下页 返回 结束 例例1.海伦公式例例2.如图所示,对应阴影部分的面积则在数集自身之间定义了一种映射(满射满射)例例3.如图所示,则有(满射满射)(满射满射)目录 上页 下页 返回 结束
5、X(数集 或点集)说明说明:在不同数学分支中有不同的惯用 X()Y(数集)f 称为X 上的泛函X()X f 称为X 上的变换 R f 称为定义在 X 上的函数映射又称为算子.名称.例如,目录 上页 下页 返回 结束 定义域三、函数三、函数1.函数的概念函数的概念 定义定义4.设数集则称映射为定义在D 上的函数,记为称为值域 函数图形函数图形:自变量因变量目录 上页 下页 返回 结束(对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值 定义域定义域 对应规律对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式或实际问题有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值 域对无实际背景的函数,书写时可
6、以省略定义域.对实际问题,书写函数时必须写出定义域；目录 上页 下页 返回 结束 例例4.已知函数解解:及写出 f(x)的定义域及值域,并求f(x)的定义域 值域 目录 上页 下页 返回 结束 2.函数的几种特性函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性有界性使称 使称 说明说明:还可定义有上界、有下界、无界.(2)单调性单调性为有界函数.在 I 上有界.使若对任意正数 M,均存在 则称 f(x)无界无界.称 为有上界有上界称 为有下界有下界当称 为 I 上的称 为 I 上的单调增函数;单调减函数.(见 P11)目录 上页 下页 返回 结束(3)奇偶性奇偶性且有若则称 f(x)为偶函数;若则称
7、f(x)为奇函数.说明说明:若在 x=0 有定义,为奇函数奇函数时,则当必有例如,偶函数双曲余弦 记目录 上页 下页 返回 结束 又如,奇函数双曲正弦 记再如,奇函数双曲正切 记说明:给定 则 偶函数偶函数 奇函数奇函数 目录 上页 下页 返回 结束(4)周期性周期性且则称为周期函数,若称 l 为周期(一般指最小正周期).周期为 周期为注注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄利克雷函数x 为有理数x 为无理数目录 上页 下页 返回 结束 3.反函数与复合函数反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在一新映射习惯上,的反函数记成称此映射为 f 的反函数.,其反函数(
8、减)(减).1)yf(x)单调递增且也单调递增 性质:使其中目录 上页 下页 返回 结束 2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数目录 上页 下页 返回 结束(2)复合函数 则设有函数链称为由,确定的复合函数,u 称为中间变量.注意:构成复合函数的条件 不可少.例如,函数链:但可定义复合函数时,虽不能在自然域 R下构成复合函数,可定义复合函数当改目录 上页 下页 返回 结束 两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:约定约定:为简单计,书写复合函数时不一定写出其定义域,默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.目录
9、 上页 下页 返回 结束 4.初等函数初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.(自学,P17 P20)目录 上页 下页 返回 结束 非初等函数举例:符号函数当 x 0当 x=0当 x 0取整函数当目录 上页 下页 返回 结束 设函数 x 换为 f(x)例例5.解解:目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求的反函数及其定义域.解解:当时,则当时,则当时,则反函数定义域为目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.集合及映射的概念定义域对应规律3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构 作业作业 P21 4(5),(8),(10);6;8;9;13;16;17;18 2.函数的定义及函数的二要素第二节 目录 上页 下页 返回 结束 且备用题备用题证明证证:令则由消去得时其中a,b,c 为常数,且为奇函数.为奇函数.1.设目录 上页 下页 返回 结束 2.设函数的图形与均对称,求证是周期函数.证证:由的对称性知于是故是周期函数,周期为