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1、隐函数的导数隐函数的导数定义定义称为称为隐函数隐函数.由方程由方程所确定的函数所确定的函数形如形如的函数称为的函数称为显函数显函数.隐函数的显化隐函数的显化存在问题存在问题(1)通常隐函数不易显化或不能显化通常隐函数不易显化或不能显化;(2)隐函数的求导方法隐函数的求导方法?隐函数求导法则隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.例例1 求由下列方程所确定的函数的导数求由下列方程所确定的函数的导数.解解得得整理得整理得解得解得在题设方程两边同时对自变量在题设方程两边同时对自变量求导求导,例例2解解方程两边对方程两边对求导求导,解得解得所以所以求由方
2、程求由方程所确定的隐函所确定的隐函数数的导数的导数由原方程知由原方程知例例3解解在题设方程两边同时对自变量在题设方程两边同时对自变量 求导求导,得得解得解得求由方程求由方程所确定的函数所确定的函数在点在点处的切线方程处的切线方程.在点在点处处例例3解解求由方程求由方程所确定的函数所确定的函数在点在点处的切线方程处的切线方程.在点在点处处例例3解解求由方程求由方程所确定的函数所确定的函数在点在点处的切线方程处的切线方程.在点在点处处于是于是,在点在点处的切线方程为处的切线方程为即即例例4解解设设求求在点在点处的值处的值.方程两边对方程两边对求导得求导得代入代入得得将方程将方程(1)两边再对两边再
3、对求导得求导得代入代入例例4解解设设求求在点在点处的值处的值.代入代入得得将方程将方程(1)两边再对两边再对求导得求导得代入代入例例4解解设设求求在点在点处的值处的值.代入代入得得将方程将方程(1)两边再对两边再对求导得求导得代入代入得得例例5求由下列方程所确定的函数的二阶导数求由下列方程所确定的函数的二阶导数.解解例例5求由下列方程所确定的函数的二阶导数求由下列方程所确定的函数的二阶导数.解解例例5求由下列方程所确定的函数的二阶导数求由下列方程所确定的函数的二阶导数.解解代入代入 y对数求导法对数求导法问题的提出问题的提出函数函数的求导问题的求导问题.对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先
4、在方程两边取对数,然后利用隐函然后利用隐函数的求导方法求出导数数的求导方法求出导数.适用于多个函数相乘适用于多个函数相乘设设两边取对数得两边取对数得的情形的情形.指函数指函数和幂和幂两边对两边对 求导得求导得对数求导法对数求导法两边对两边对 求导得求导得对数求导法对数求导法两边对两边对 求导得求导得从而从而例例6解解 等式两边取对数得等式两边取对数得设设求求两边对两边对求导得求导得例例7解解在题设等式两边取对数在题设等式两边取对数等式两边对等式两边对求导求导,得得解得解得设设求求例例8解解等式两边取对数得等式两边取对数得设设求求上式两边对上式两边对求导得求导得例例9解解求导数求导数由参数方程所
5、确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数若参数方程若参数方程确定确定 与与间的函数关系间的函数关系,称此称此函数关系所表达的函数为函数关系所表达的函数为例如例如,存在问题存在问题 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?一般地一般地,设设具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数由参数方程所确定的函数由参数方程所确定的函数.由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数存在问题存在问题 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?一般地一般地,设设具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数存在问题存在问题
6、 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?一般地一般地,设设具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数都可导都可导,且且则由则由复合函数及反函数的求导法则得复合函数及反函数的求导法则得则变量则变量 与与 构成复合函数关系构成复合函数关系即即由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数即即由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数即即若函数若函数二阶可导二阶可导,则则即即例例10所表示所表示解解求由参数方程求由参数方程的函数的函数的导数的导数.例例11解解求由摆线的参数方程求由摆线的参数方程所表示的函数所表示的函数的二阶导数的二阶导数.例例11解
7、解求由摆线的参数方程求由摆线的参数方程所表示的函数所表示的函数的二阶导数的二阶导数.例例11解解求由摆线的参数方程求由摆线的参数方程所表示的函数所表示的函数的二阶导数的二阶导数.例例12表示的函数的表示的函数的二阶导数二阶导数.解解求由方程求由方程例例13 如果不计空气阻力如果不计空气阻力,则抛射体的运动轨迹的则抛射体的运动轨迹的抛射体初速度的水平、铅直分量抛射体初速度的水平、铅直分量,参数方程为参数方程为是重力加速度是重力加速度,是飞行时间是飞行时间.求抛射体在时刻求抛射体在时刻的运动速度的大的运动速度的大其中其中分别是分别是小和方向小和方向.解解因为速度的水平分量和铅直分量分别为因为速度的
8、水平分量和铅直分量分别为解解因为速度的水平分量和铅直分量分别为因为速度的水平分量和铅直分量分别为解解因为速度的水平分量和铅直分量分别为因为速度的水平分量和铅直分量分别为所以抛射体的运动速度的大小为所以抛射体的运动速度的大小为而速度的方向就是轨道的切线方向而速度的方向就是轨道的切线方向.若若是切线与是切线与则根据导数的几何意义则根据导数的几何意义,有有轴正向的夹角轴正向的夹角,或或例例14方程方程.解解 将极坐标方程化为参数方程将极坐标方程化为参数方程,得得于是于是求心形线求心形线在在处的切线处的切线例例14方程方程.解解于是于是求心形线求心形线在在处的切线处的切线例例14方程方程.解解于是于是
9、求心形线求心形线在在处的切线处的切线所以曲线上对应于参所以曲线上对应于参又当又当时时,数数的点处的切线方程为的点处的切线方程为即即例例15解解如图如图,得得求心形线求心形线的的和和由由于是于是相关变化率相关变化率设设都是可导函数都是可导函数,及及之间存在某种关系之间存在某种关系,而变量而变量 与与从而它们的变化率从而它们的变化率间也存在一定关系间也存在一定关系,这样两个相互依赖的变化率这样两个相互依赖的变化率称为称为相关变化率相关变化率.相关变化率问题相关变化率问题:与与之之研究这两个变化率之间的关系研究这两个变化率之间的关系,以便从其中一个变化率求出另一个变化率以便从其中一个变化率求出另一个
10、变化率.例例17 一长为一长为5米的梯子斜靠在墙上米的梯子斜靠在墙上.如果梯子下端如果梯子下端以以 0.5 米米/秒的速率滑离墙壁秒的速率滑离墙壁,试求梯子下端离墙试求梯子下端离墙 3米时米时,梯子上端向下滑落的速率梯子上端向下滑落的速率.解解 如图如图,的距离的距离,函数函数.于是于是 得得表示梯子下端离墙表示梯子下端离墙表示梯子上端到地面表示梯子上端到地面的的这里这里都是时间都是时间两边对两边对 求导求导,的距离的距离,墙墙地面地面解解 如图如图,于是于是 得得两边对两边对 求导求导,墙墙地面地面解解 如图如图,于是于是 得得两边对两边对 求导求导,墙墙地面地面代入得代入得即即注意到注意到
11、以及以及,(米米/秒秒)即梯子上端向下滑落的即梯子上端向下滑落的速率为速率为(米米/秒秒).例例18 河水以河水以8米米/秒的体流量流入水库中秒的体流量流入水库中,状是长为状是长为4000米米,问水深问水深20米米水面每小时上升几米水面每小时上升几米?解解如图如图,顶角为顶角为的水槽的水槽,求导得求导得上式两边对上式两边对水库形水库形时时,水槽横截面图水槽横截面图水面上升之速率水面上升之速率.米米/小时小时,米米/小时小时 当当米时米时,1.用对数求导法则求函数用对数求导法则求函数的导数的导数.2.水注入深水注入深8米，米，上顶直径上顶直径8米的圆锥形容器中，米的圆锥形容器中，其速率为每分钟其
12、速率为每分钟4立方米，立方米，当水深为当水深为5米时，米时，其表面其表面上升的速率为多少上升的速率为多少？课堂练习课堂练习1.用对数求导法则求函数用对数求导法则求函数的导数的导数.解解2.水注入深水注入深8米，米，上顶直径上顶直径8米的圆锥形容器中，米的圆锥形容器中，其速率为每分钟其速率为每分钟4立方米，立方米，当水深为当水深为5米时，米时，其表面其表面上升的速率为多少上升的速率为多少？解解 设水面高为设水面高为米时，米时，水面圆的水面圆的半径为半径为米，米，上顶半径上顶半径则则由由相似三角形得相似三角形得2.水注入深水注入深8米，米，上顶直径上顶直径8米的圆锥形容器中，米的圆锥形容器中，其速率为每分钟其速率为每分钟4立方米，立方米，当水深为当水深为5米时，米时，其表面其表面上升的速率为多少上升的速率为多少？解解2.水注入深水注入深8米，米，上顶直径上顶直径8米的圆锥形容器中，米的圆锥形容器中，其速率为每分钟其速率为每分钟4立方米，立方米，当水深为当水深为5米时，米时，其表面其表面上升的速率为多少上升的速率为多少？解解而而以以代入上式得代入上式得答答 表面上升的速度为表面上升的速度为