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1、有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。绪论绪论9999221099)(xaxaxaaxP ),( ,),(10010011yxyx有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。 10099100992001200110199199212110yxaxaxaayxaxaxaa有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互
2、信任的合作环境。 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。第一章第一章 1 行列式的定义行列式的定义本节我们将讨论：本节我们将讨论： ，且，且的线性方程组的求的线性方程组的求解，从而得到行列式这个工具解，从而得到行列式这个工具.有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。本节结构本节结构 二阶行列式的引出二阶行列式的引出 三阶行列式的引出三阶行列式的引出 n阶行列式的引出阶行列式的引出 四类特殊行
3、列式计算四类特殊行列式计算 克拉默（克拉默（Cramer）法则）法则有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。我们从最简单的二元方程组出发，探索其解的规律我们从最简单的二元方程组出发，探索其解的规律 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 222(1)a 12(2)a 一、一、 二阶行列式的引出二阶行列式的引出) 112212211122122a aa axb aa b（）用高斯消元法求其解：用高斯消元法求其解：2112122122212a a xa a xb a 112211
4、2222122a a xa a xb a 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 1 211221221211 2121a aa axa bb a （）21 11122112211a a xa a xb a 1 211(2)a 21(1)a ) 1121112212121a a xa a xb a 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合
5、作环境。 .,22221211212111bxaxabxaxa11221221112212211221221211 2121a aa axb aa ba aa axa bb a （）（）时时，当当021122211 aaaa方程组有唯一解方程组有唯一解有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。，211222112122211aaaabaabx .211222112112112aaaaabbax )3(1、 分母相同，由方程组的四个系数确定分母相同，由方程组的四个系数确定.2、分子分母都是两数乘积
6、之差、分子分母都是两数乘积之差.有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表的数表)4(22211211aaaa11221221a aa a 数数称为数表（称为数表（4）所）所确确定的定的二阶行列式二阶行列式, 记为记为11122122aaaa有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。主对角线主对角线副对角线
7、副对角线2211aa .2112aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算11122122aaaa有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。11122122aaDaa .,22221211212111bxaxabxaxa系数行列式系数行列式122122111221221b aa bxa aa a 112121211221221a bb axa aa a 1121 222 12222babab aba 11111 221 1212aba ba bab 1D 2D11DxD 22DxD 有利于学习和创新
8、的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。于是于是 .,22221211212111bxaxabxaxa11221221112212211221221211 2121a aa axb aa ba aa axa bb a （）（）时时，当当021122211 aaaa方程组有唯一解方程组有唯一解时时当当0 D 2211DDxDDx DDxDDx22112211112222121122211211,babaDababDaaaaD 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追
9、求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。 .12,12232121xxxx1223 D)4(3 , 07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 求解二元线性方程组求解二元线性方程组有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。二、三阶行列式的引出二、三阶行列式的引出112233DxDDxDDxD 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa进行高斯消元可以得到：进行
10、高斯消元可以得到：112233122331132132112332122133132231Da a aa a aa a aa a aa a aa a a 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。1122331223313232123321223313223Db a aa a ba b ab a aa b aa a b 2112331233113213112331213313231Da b ab a aa a ba a bb a aa b a 31122312231121321123212213
11、12231Da a ba b ab a aa b aa a bb a a 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。1231230,DDDDxxxDDD 当当时时，三三元元线线性性方方程程组组的的解解为为：有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。三阶行列式定义三阶行列式定义333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的数表列的数表行行个数排成个数排成设有设有,312213
12、332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的. .有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa 112332a a a 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 三阶行列式的计算三阶行列式的计算 D有利于学习和创新的
13、组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。111122133121122223323113223333a xa xa xba xa xa xba xa xa xb 333231232221131211aaaaaaaaaD ,3332323222131211aabaabaabD ,3333123221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信
14、任的合作环境。例例2 2 解线性方程组解线性方程组 . 0, 132, 22321321321xxxxxxxxx由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式111312121 D 111 132 121 111 122 131 5 , 0 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。, 5 ,10 , 5 故方程组的解为故方程组的解为: :, 111 DDx, 222 DDx. 133 DDx1103111221 D1013121212 D0111122213 D有利于学习和创新的组织管理机制，创
15、造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。 二阶和三阶行列式是由解二元和三元二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的线性方程组引入的.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依
16、赖既开放又相互信任的合作环境。 使使求求一一个个二二次次多多项项式式,xf .283, 32, 01 fff设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为 ,2cbxaxxf 由题意得由题意得 , 01 cbaf , 3242 cbaf ,28393 cbaf有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。又又, 020139124111 D.20,60,401328123110321 DDD得得, 21 DDa, 32 DDb13 DDc 2231.f xxx故所求多项式为故所求多项式为有利于学习和创新的
17、组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。三、三、n 阶行列式的引出阶行列式的引出由二元方程组（两个变量、两个方程）由二元方程组（两个变量、两个方程）求解得二阶行列式求解得二阶行列式由三元方程组（三个变量、三个方程）由三元方程组（三个变量、三个方程）求解得三阶行列式求解得三阶行列式由由n 元方程组（元方程组（n 个变量、个变量、n 个方程）个方程）求解得求解得n 阶行列式阶行列式有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作
18、环境。 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2211122221211121211101111 nnnnaaaaD大胆猜测大胆猜测当当时时, DDxDDxnn11有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。iD是用是用nbbb21替换替换Dniiiaaa21 而得而得.中中的第的第i列列有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。但是但是- 观察二阶与三阶行列式的计算观察二阶
19、与三阶行列式的计算n阶行列式的计算原则阶行列式的计算原则共同特性之一是对角线法则；共同特性之一是对角线法则；并试图推广到并试图推广到n阶行列式，阶行列式，且能正确求解方程组且能正确求解方程组.于是寻找二阶和三阶行列式计算的于是寻找二阶和三阶行列式计算的其它共性其它共性,有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。预备知识预备知识-全排列及其逆序数全排列及其逆序数元素的元素的全排列全排列把把n个不同的元素排成一列，个不同的元素排成一列，叫做这叫做这n个个标准次序：由小到大的次序标准次序：由小到大的次
20、序时，时，就说有一个就说有一个。当某两个元素的先后次序与当某两个元素的先后次序与标准次序不同标准次序不同一个排列中的所有逆序的总数一个排列中的所有逆序的总数叫做这个叫做这个排列的逆序数排列的逆序数.有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。 例如排列例如排列 54231 t=95前面比前面比5大的数有大的数有0个；个；4前面比前面比4大的数有大的数有1个；个；2前面比前面比2大的数有大的数有2个；个；3前面比前面比3大的数有大的数有2个；个；1前面比前面比1大的数有大的数有4个个.t=0+1+2
21、+2+4=95 4 2 3 1有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。自然排列自然排列若一个排列中的所有元素若一个排列中的所有元素按标准次序按标准次序排列，则称之为排列，则称之为标准排列标准排列或或自然排列自然排列.逆序数为奇数的排列叫做逆序数为奇数的排列叫做奇排列奇排列；逆序数为偶数的排列叫做逆序数为偶数的排列叫做偶排列偶排列.有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。观察二阶行列式观察二阶行
22、列式11a12a22a12a2211aa .2112aa 不同行不同列不同行不同列2个元素的乘积；个元素的乘积； 1项为正项为正,1项为负；项为负； 2！项的代数和；！项的代数和；有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。观察二阶行列式观察二阶行列式11a12a22a21a2211aa .2112aa 当行标调成标准排列时当行标调成标准排列时列标排列列标排列逆序数逆序数tt)1( 1 22 10+-1有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的
23、企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。332211aaa .322311aaa 观察三阶行列式观察三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 3!项代数和项代数和 不同行不同列不同行不同列三个元素的乘积三个元素的乘积 三项为正三项为正,三三 项为负项为负.333231232221131211aaaaaaaaa D有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。332211aaa .322311aaa 观察三阶行列式观察三阶行列式322113aaa
24、312312aaa 312213aaa 332112aaa 当行标调成标准排列时当行标调成标准排列时列标排列列标排列逆序数逆序数tt)1( 1230+2312+3122+3213-2131-1321-有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。n 阶行列式定义阶行列式定义将将n2个数排成个数排成n行行n列的数表，列的数表，按下列规按下列规 !21111121)1(nnppptnnnnnaaaaaaaD称为称为n阶行列式阶行列式, 其中其中t为列标排列的逆序数。为列标排列的逆序数。则计算出的数，即则
25、计算出的数，即有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。n 阶行列式定义的三个要点阶行列式定义的三个要点（1）是）是n!项的代数和；项的代数和； 如果一个行列式有一行（或一列）的元素如果一个行列式有一行（或一列）的元素全为零，则此行列式的值必为零。全为零，则此行列式的值必为零。（2）每一项的符号由逆序数的奇偶性确定；）每一项的符号由逆序数的奇偶性确定； （3）每一项是取自不同行不同列的）每一项是取自不同行不同列的n个元素个元素的乘积（这样的项恰有的乘积（这样的项恰有n!项）项）.由行列式的定义不
26、难看出：由行列式的定义不难看出：有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。四、思考与讨论四、思考与讨论1000120053304794 0004003002001000= -24or 24 ?24 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。五、四类特殊行列式计算五、四类特殊行列式计算121000000000000nnD L LL LL LL LL LL LL LL LL L1）主对角行列式）主对角
27、行列式121nn L L有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2）副对角行列式）副对角行列式12,11,21000000000000nnnnaaDaa L LL LL LL LL LL LL LL LL L(1)212,11( 1)n nnnna aa L L的逆序数为的逆序数为11 nn(1)2n n 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。11212212000nnnnaaaDaaa L
28、 LL LLLLLLLLLL L3）下三角行列式）下三角行列式1122nna aa L L有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。11121222000nnnnaaaaaDa L LL LLLLLLLLLL L4）上三角行列式）上三角行列式1122nna aa L L有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。n 阶行列式也可以定义为：阶行列式也可以定义为：1212( 1)ntppp nDaaa
29、K K K K有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。六、关于克拉默（六、关于克拉默（Cramer）法则）法则非齐次线性方程组非齐次线性方程组1111111nnnnnnna xa xba xa xb （），（）， 非齐次线性方程组（），当非齐次线性方程组（），当 11110nnnnaaDaa ,有唯一解有唯一解 11nnDxDDxD 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。 非齐次线性方程组非
30、齐次线性方程组i0,0DD 非齐次线性方程组（）非齐次线性方程组（）, 0D 1111111nnnnnnna xa xba xa xb （），（）， 可能无解，可能有无穷多解可能无解，可能有无穷多解时时有无穷多解有无穷多解120nDDDD 无解无解有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。齐次线性方程组齐次线性方程组 11111100nnnnnna xa xa xa x （）（） 0D 0D 齐次线性方程组（），齐次线性方程组（）， 齐次线性方程组（），齐次线性方程组（），时有非零解时有非零解时
31、只有零解时只有零解有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。思考题：思考题： 111111113D3223(2)(1)0 D21 且且有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。练习：判断下面各方程组解的存在情况练习：判断下面各方程组解的存在情况有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。小结小结 二阶行列式二阶行列式 三阶行列式三阶行列式 n阶行列式阶行列式 四类特殊行列式计算四类特殊行列式计算 克拉默（克拉默（Cramer）法则）法则