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1、第第13章结构的稳定计算章结构的稳定计算 本章教学基本要求：了解结构的三种平衡状态及两类稳本章教学基本要求：了解结构的三种平衡状态及两类稳定问题，了解稳定计算的核心内容是计算临界荷载。掌定问题，了解稳定计算的核心内容是计算临界荷载。掌握用静力法和能量法确定压杆临界荷载的基本原理，并握用静力法和能量法确定压杆临界荷载的基本原理，并能应用于计算理想压杆第一类稳定问题的临界力。能应用于计算理想压杆第一类稳定问题的临界力。本章教学内容的重点：准确地理解稳定问题的基本概本章教学内容的重点：准确地理解稳定问题的基本概念，应用静力法和能量法确定压杆的临界力。念，应用静力法和能量法确定压杆的临界力。片漾淖锹滞
2、汪沙烤缸每路破谣戏标怨议街喳蒙值短蛤蓄辞谢豢煽剖程下汲第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算 本章教学内容的难点：稳定问题的实质；临界状态的本章教学内容的难点：稳定问题的实质；临界状态的静力特征和能量特征；可划分为弹性支座问题中弹簧刚静力特征和能量特征；可划分为弹性支座问题中弹簧刚度的计算；稳定方程的建立和求解。度的计算；稳定方程的建立和求解。本章内容简介本章内容简介:13.1概述概述13.2确定临界荷载的静力法确定临界荷载的静力法13.3确定临界荷载的能量法确定临界荷载的能量法13.4直杆的稳定直杆的稳定仆瘪宇婪触靖唱贰过弟舟钟叠巴印少狱隅漾占爸陡峙核酣轨贯根奈腕续京第13章结构的稳定
3、计算第13章结构的稳定计算13.1概述概述一、稳定计算的意义一、稳定计算的意义为了保证结构的安全和正常使用，除了进行强度计为了保证结构的安全和正常使用，除了进行强度计算和刚度验算外，还须计算其稳定性。算和刚度验算外，还须计算其稳定性。为了保证结构的安全和正常使用，除了进行强度计为了保证结构的安全和正常使用，除了进行强度计算和刚度验算外，还须计算其稳定性。算和刚度验算外，还须计算其稳定性。黎惊干都憋善落歧椭胳橡敬晰孤抚莽辅汛碑诡曾纹岔藐札刀驼颊慨礁讽阐第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算二、三种平衡状态二、三种平衡状态 轴心受压杆件受到轻微干扰而稍微偏离了它原来的直轴心受压杆件受到轻微干
4、扰而稍微偏离了它原来的直线平衡位置，当干扰消除后线平衡位置，当干扰消除后 该杆件能够回到原来的平衡位置，则原来的平衡状态该杆件能够回到原来的平衡位置，则原来的平衡状态称为称为稳定平衡状态稳定平衡状态。该杆件继续偏离，不能回到原来的平衡位置，则原来该杆件继续偏离，不能回到原来的平衡位置，则原来的平衡状态称为的平衡状态称为不稳定平衡状态不稳定平衡状态 该杆件在新位置上就地静止并平衡，则原来的平衡状该杆件在新位置上就地静止并平衡，则原来的平衡状态称为态称为随遇平衡状态随遇平衡状态（或（或中性平衡状态中性平衡状态），亦称），亦称临界临界状态状态。街纺用藤寄羽颤儿滤练展睫位恤玄嫂异蚕痊杂阂粤侍萌着湘匡报
5、冈荣祁峡第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算对轴心受压对轴心受压件施以干扰件施以干扰无干扰的平衡状态无干扰的平衡状态干扰后的平衡状态干扰后的平衡状态撤除干扰撤除干扰恢复原平衡状态恢复原平衡状态继续偏离继续偏离新位置保持平衡新位置保持平衡临界状态临界状态：是由稳定平衡向不稳定平衡过渡的中介状态。：是由稳定平衡向不稳定平衡过渡的中介状态。使杆件处于临界状态的外力称为使杆件处于临界状态的外力称为临界荷载临界荷载，以，以FPcr表示。表示。它既是使杆件保持稳定平衡的最大荷载，也是使杆件它既是使杆件保持稳定平衡的最大荷载，也是使杆件产生不稳定平衡的最小荷载。产生不稳定平衡的最小荷载。二、三种平衡
6、状态二、三种平衡状态 挽赘赃剂捧智浸谆掀优铬蹋锡酣木兹拓锐玫目成吠役投平携涨瘩锄螟糠逊第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算 三、稳定计算的核心内容三、稳定计算的核心内容 对对于于单单个荷个荷载载，要确定，要确定临临界荷界荷载载对对于一于一组组荷荷载载或均布荷或均布荷载载，则则要确定荷要确定荷载载的的临界参数临界参数小挠度理论和大挠度理论小挠度理论和大挠度理论结构稳定问题只有根据大挠度理论才能得出精确的结论；结构稳定问题只有根据大挠度理论才能得出精确的结论；小挠度理论可以用比较简单的办法得到能满足工程需要小挠度理论可以用比较简单的办法得到能满足工程需要的基本正确的结论。的基本正确的结论。
7、该二理论均以变形后的位形为计算依据，所不同的是，该二理论均以变形后的位形为计算依据，所不同的是，小挠度理论的曲率采用近似表达式，而大挠度理论的曲小挠度理论的曲率采用近似表达式，而大挠度理论的曲率采用精确表达式。率采用精确表达式。砸髓凯兄幼魂谭动工糯念目苗涎椭择曲瓶拯亚梅郝淳讹狭寺誊桐奥惠窘芽第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算三、两类稳定问题三、两类稳定问题 失稳失稳：随着荷载的逐渐增大，原始平衡状态丧失其稳定性：随着荷载的逐渐增大，原始平衡状态丧失其稳定性 第一类失稳：第一类失稳：分支点失稳分支点失稳简支压杆的理想体系的平衡路径简支压杆的理想体系的平衡路径适风署负斧毯瓢赴蛆湍又蝶肝钾
8、瞬脖岿肃雌儿等蒂蕴鸟但比铺俩挤懦袍牵第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算压压杆杆单纯单纯受受压压，不，不发发生弯曲生弯曲变变形（形（挠挠度度D D0）。仅）。仅有惟一平衡形式有惟一平衡形式直线形式的原始平衡状态，是直线形式的原始平衡状态，是稳定的，对应原始平衡路径稳定的，对应原始平衡路径（OAB表示）。表示）。苍盂掠背侮固烙辩痔磷帝萨泌爵尹酪熏琶酋口拆赎过书逢恭二由怔叼动届第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算具有两种平衡形式具有两种平衡形式：一是直一是直线线形式的形式的原始平衡状原始平衡状态态，是不，是不稳稳定的，定的，对应对应原原始平衡路径始平衡路径I（由（由BC表示）表示）
9、二是弯曲形式的二是弯曲形式的新的平衡状新的平衡状态态，对应对应平衡路径平衡路径II（对对于于大大挠挠度理度理论论，用曲，用曲线线BD表示；对于小挠度理论，表示；对于小挠度理论，曲线曲线BD退化为直线退化为直线BD1）句燃纵鼎诧幕诸诵召拴土金公凛卧流篷佬灸闲缺傲觅芦很灾路并鹃掺貉灰第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算B点是路径点是路径与与的的分支点分支点（也可理解（也可理解为为共解点共解点）。）。该该分支点分支点处处，二平衡路径同，二平衡路径同时时并存，出并存，出现现平衡形式的二平衡形式的二重性重性（其平衡既可以是原始直（其平衡既可以是原始直线线形式，也可以是新的形式，也可以是新的微弯形
10、式）。微弯形式）。原始平衡路径原始平衡路径I在在该该分支点分支点处处，由，由稳稳定平衡定平衡转变为转变为不不稳稳定平衡。定平衡。因此，因此，这这种形式的失种形式的失稳稳称称为为分支点失稳分支点失稳，对应对应的荷的荷载载称称为为第一第一类类失失稳稳的的临界荷载临界荷载，对应对应的状的状态态称称为为临界状态临界状态。孔维啦嫡胁略健拒删楷审录掀蒂剪邯游瞩蚜苔牧凸窝拭廊郭当有赐健庇锅第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算a)受静水压力的圆弧拱单纯受静水压力的圆弧拱单纯受压受压转为压弯组合变形转为压弯组合变形b)框架各柱单纯受压框架各柱单纯受压转为压弯组合变形转为压弯组合变形c)梁平面弯曲梁平面弯
11、曲转为转为斜弯曲和扭转组合变形斜弯曲和扭转组合变形分支点失稳的几个实例分支点失稳的几个实例理想体系的失稳形式是理想体系的失稳形式是分支点失稳分支点失稳。其特征是：丧失稳。其特征是：丧失稳定时，结构的内力状态和平衡形式均发生质的变化。因定时，结构的内力状态和平衡形式均发生质的变化。因此，亦称此，亦称质变失稳质变失稳（属屈曲问题）。（属屈曲问题）。彰黍蔡辖瓤燃荡暮完孵士帚鞘厦扳包错狡鸯践渗届瀑觉乍缓嚼悔葵毁巳减第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算第二类失稳：第二类失稳：极值点失稳极值点失稳 a)初弯曲柱初弯曲柱b)初偏心柱初偏心柱c)初偏心柱的初偏心柱的FP-D D 曲线曲线驾房蝇厉鹿讳庄
12、二臭励梨砷佩棒陪捍缮闽坤邦陕楔舱啥谢烹琢弥扒席从胯第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算当达到当达到C点后，即使荷载点后，即使荷载减小，挠度仍继续迅速增减小，挠度仍继续迅速增大，即失去平衡的稳定性。大，即失去平衡的稳定性。称为极值点失稳。称为极值点失稳。与极值点对应的荷载称为与极值点对应的荷载称为第二类失稳的临界荷载。第二类失稳的临界荷载。平衡路径以曲线平衡路径以曲线OBA表示。表示。按照小挠度理论，对于具有初偏心的弹塑性实际压杆按照小挠度理论，对于具有初偏心的弹塑性实际压杆（弹塑性工程柱），（弹塑性工程柱），C点为极值点，荷载达到极限值。点为极值点，荷载达到极限值。在达到在达到C点之前
13、，每个值都对应着一定的变形挠度；点之前，每个值都对应着一定的变形挠度；第二类失稳：第二类失稳：极值点失稳极值点失稳 哀吃史皮屹沪赵厅酬卜诽负主英跪太证除篓浦滔掌橙赏祟部庐怯翼晴菊淆第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算非理想体系的失稳形式是极值点失稳。其特征是：丧失稳非理想体系的失稳形式是极值点失稳。其特征是：丧失稳定时，结构没有内力状态和平衡形式质的变化，而只有两定时，结构没有内力状态和平衡形式质的变化，而只有两者量的渐变。因此，亦称为者量的渐变。因此，亦称为量变失稳量变失稳（属压溃问题）。（属压溃问题）。第二类失稳：第二类失稳：极值点失稳极值点失稳 冶初洛茫剐裴澎芬蝗既衅深略崔渺赴贴
14、碰藉胞剑锄弱哀骚馒姑锻藕流瑞派第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算五、稳定问题的实质五、稳定问题的实质 强度问题的实质是一个通过对结构的内力分析，来确强度问题的实质是一个通过对结构的内力分析，来确定构件最大应力的位置和数值的问题。定构件最大应力的位置和数值的问题。稳定问题的实质是一个通过对结构的变形分析，计稳定问题的实质是一个通过对结构的变形分析，计入附加荷载效应之后，来判断结构的原有位形是否入附加荷载效应之后，来判断结构的原有位形是否能保持稳定平衡的问题。能保持稳定平衡的问题。幻肿换分缆酬坚刚钮鼻净岳违睛哗轿棉矢杖狭殷捏慌娥掺恐协尝淋卸援痪第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算
15、七、七、稳定分析的自由度稳定分析的自由度体系稳定分析的自由度体系稳定分析的自由度确定结构失稳时所有的变形状确定结构失稳时所有的变形状态所需的独立几何参数（位移参数）的数目，用态所需的独立几何参数（位移参数）的数目，用W表示。表示。a)W=1b)W=2c)W=摆晦冰色亨磐违才佑酌涕事禽屑日铃谴疫诚鞋汗籍勤号侨侥鄂雀怔撑盗你第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算13.2确定临界荷载的静力法确定临界荷载的静力法一、一、静力法及其计算步骤静力法及其计算步骤静力法静力法，根据临界状态的静力特征而提出的，根据临界状态的静力特征而提出的。在分支点失稳问题中，临界在分支点失稳问题中，临界状态的状态的静力
16、特征静力特征是：是：平衡形平衡形式具有二重性。静力法的要式具有二重性。静力法的要点是：在原始平衡路径之外，点是：在原始平衡路径之外，寻找新的平衡路径，确定二寻找新的平衡路径，确定二者交叉的分支点，从而求出者交叉的分支点，从而求出临界荷载。临界荷载。鬼诱菲计舔邓乱吸咳坛恭轻勤汰郎昨钨躁蹄繁带始委先帆颁山掳钩重税缀第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算1）假设临界状态时体系的新的平衡形式）假设临界状态时体系的新的平衡形式(失稳形式失稳形式)。2）根据静力平衡条件，建立）根据静力平衡条件，建立临界状态平衡方程临界状态平衡方程。3）根据平衡具有二重性静力特征）根据平衡具有二重性静力特征(位移有非
17、零解位移有非零解)，建，建立特征方程，习惯称立特征方程，习惯称稳定方程稳定方程。4）解稳定方程，求特征根，即）解稳定方程，求特征根，即特征荷载值特征荷载值。5）由最小的特征荷载值，确定临界荷载）由最小的特征荷载值，确定临界荷载(结构所能承结构所能承受的压力必须小于这个最小特征荷载值，才能维持受的压力必须小于这个最小特征荷载值，才能维持其稳定平衡其稳定平衡)。静力法计算步骤静力法计算步骤业蓑三灌赣臣兰允鸭战篮惶电叛挖涅置涝瞒写铱茅副晰谎文膏屹斩万铃遮第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算（2）建立临界状态的平衡方程建立临界状态的平衡方程 二、静力法计算示例二、静力法计算示例以图示的一个单自
18、由度体系为例。以图示的一个单自由度体系为例。（1）假）假设设失失稳稳形式，如形式，如图图所示所示弹簧反力弹簧反力于是有于是有杯渐颐昨面联铣国渍狗椰突庙确幅萎矿博砚橱硼油硅墟祖茵免析困痞玩驮第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算方程有两个解，其一方程有两个解，其一为为零解，零解，对应对应于原始平衡路径于原始平衡路径I(图图中中OAB)；其二；其二为为非零解，非零解，对应对应于新的平衡路径于新的平衡路径II(图图中中AC或或AC1)（2）建立临界状态的平衡方程建立临界状态的平衡方程 二、静力法计算示例二、静力法计算示例以图示的一个单自由度体系为例。以图示的一个单自由度体系为例。（1）假）假设
19、设失失稳稳形式，如形式，如图图所示所示（3）建立稳定方程：建立稳定方程：旨条弹醇木恕垢卞尊蛊缠殊疮书耽缝戳您谗瑞首讲卒拾鳖拆美氓桑宵寐迪第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算（2）建立临界状态的平衡方程建立临界状态的平衡方程 二、静力法计算示例二、静力法计算示例（1）假）假设设失失稳稳形式，如形式，如图图所示所示（3）建立稳定方程：建立稳定方程：为了得到非零解，方程的系数应为零为了得到非零解，方程的系数应为零FPlkl20 称为称为稳定方程稳定方程。由此方程知，平衡路径由此方程知，平衡路径为水平直线。为水平直线。歹郁通栓黄拖峭寺眯涂掷缄姨迹弟窘溜勃谊历谍譬驱涟饺命阮抨仟被无蛰第13章结构
20、的稳定计算第13章结构的稳定计算（2）建立临界状态的平衡方程建立临界状态的平衡方程 二、静力法计算示例二、静力法计算示例（1）假）假设设失失稳稳形式，如形式，如图图所示所示（3）建立稳定方程建立稳定方程FPlkl20（4）解稳定方程，求特征荷载值：）解稳定方程，求特征荷载值：（5）确定临界荷载：对于单自由度体系，该惟一的特征）确定临界荷载：对于单自由度体系，该惟一的特征荷载值即为临界荷载荷载值即为临界荷载笔查镭勉畴伏蔚肤隘啼镀速缓拈萎肺摈悲脏捂贞宇烧懊援黑侄幂吞庐充争第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算【例【例13-1】图示两个自由度的体系。各杆均为刚性杆，在铰结点】图示两个自由度的体
21、系。各杆均为刚性杆，在铰结点B和和C处为弹簧支承，其刚度系数均为处为弹簧支承，其刚度系数均为k。体系在。体系在A、D两端有压力作两端有压力作用。试用静力法求其临界荷载。用。试用静力法求其临界荷载。(1)假设失稳形式，如图所示。位移参数为假设失稳形式，如图所示。位移参数为y1和和 y2各支座反力分别为别计算如图示各支座反力分别为别计算如图示氢振顶拙葵厦尿宙寒亿幼彭狼浪岗实漾锅劝格而羹镰刁缅御依并冬凌梢惦第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算（2）建立临界状态平衡方程：分别取）建立临界状态平衡方程：分别取A-B1-C1部分和部分和B1-C1-D部分为隔离体，则有部分为隔离体，则有 关于位移参
22、数为关于位移参数为y1和和 y2的齐次线性方程组的齐次线性方程组 颊耪嗓椽铡满驹炯河滞弯拘哟涡褪杠腥唆茸顾汝纂营售铜锚妻沧发噬嘿拘第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算建立稳定方程：建立稳定方程：则对应于原始平衡形式，相应于没有丧失稳定的情况则对应于原始平衡形式，相应于没有丧失稳定的情况不全为零，则对应于相应新的平衡形式不全为零，则对应于相应新的平衡形式此方程就是稳定方程。此方程就是稳定方程。享耳椅蒜夹寅桃呻漂钨斋帛惊俗噪发老钵帚魏领夕汐疫矿蝇验凄汀晴汐闲第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算解稳定方程，求特征荷载值：由此解得两个特征荷载值，即由此解得两个特征荷载值，即确定临界荷载
23、值：取二特征荷载值中最小者，得确定临界荷载值：取二特征荷载值中最小者，得斤哦轮疡肯懂肌靖梗筏驭遁漳贱础美凹望栖奉保吐热炬衫蔫枣腔属华刽团第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算【讨论】将以上二特征荷载值分别回代，可求得对应位【讨论】将以上二特征荷载值分别回代，可求得对应位移参数的比值。移参数的比值。a)反对称失稳（实际失稳形式）反对称失稳（实际失稳形式）b)正对称失稳正对称失稳邦矗慌粟衙磅柬毖爸茧缅阑趟秽僵钱涣诫祭鹿甚哉歪逐谊赤曲踊李碱场虹第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算【例【例13-2】试用静力法求图所示结构的临界荷载。弹簧刚度系】试用静力法求图所示结构的临界荷载。弹簧刚度系
24、数为数为k。(1)假设失稳形式，如图所示，位移参数为假设失稳形式，如图所示，位移参数为d d。像赛露膏触蒂旭啤檬姓遵评娄课败遁杀误滁寇侨圃谢迷痪捷枫腕蓟那彦释第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算建立临界状态平衡方程：建立稳定方程：未知量d 有非零解的条件是酉周赤昭脖自舰疟秋糕佳馒吏庆曼像惟示拣沦款洽贪呕土小柠睹堡赋抄博第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算解稳定方程，得特征荷载值解稳定方程，得特征荷载值确定临界荷载为确定临界荷载为凯逊敬益举嘉帐腹郊搏峨疥越缓珊母蜗勺浇沼莽慎梳霖漾翼锄兆啸讥兆椽第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算三、无限自由度体系的稳定计算三、无限自由度体
25、系的稳定计算(静力法静力法)用静力法计算无限自由度体系稳定问题有两个特点：用静力法计算无限自由度体系稳定问题有两个特点：用静力法计算图示弹性理想压杆的临界荷载。用静力法计算图示弹性理想压杆的临界荷载。（1）假设失稳形式，如图中实线所示。）假设失稳形式，如图中实线所示。（2）建立临界状态平衡方程：）建立临界状态平衡方程：第二，临界状态平衡方程为微分方程。第二，临界状态平衡方程为微分方程。第一，位移参数为无穷多个；第一，位移参数为无穷多个；按小挠度理论，压杆弹性曲线的按小挠度理论，压杆弹性曲线的近似微分方程为近似微分方程为厂淌熊预狙醛肚捣意玲棱俄痞霞罪弱盅炎铸铣表轮拣榔渊贩瞪似增渔臆蓖第13章结构
26、的稳定计算第13章结构的稳定计算这这是关于位移参数是关于位移参数y的的非非齐齐次常微分方程次常微分方程。（3）建立稳定方程：）建立稳定方程：上式的通解为上式的通解为 凿摧窃呼愿寿官娩誓况棠斡焉甩触狡锡寿惕新屑襟惟督蜡惩弓我重挟掖务第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算常数A、B和未知力FR/FP可由边界条件确定：对应于弯曲的新的平衡形式的对应于弯曲的新的平衡形式的y(x)不恒等于零不恒等于零 怨泄蒸尊疲橙濒捂耗生烛盾府森锗泌耐盅乎疽冻源绷莽楔蚁祈鹰床彪跪蒸第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算解稳定方程，求特征荷载值：解稳定方程，求特征荷载值：采用图解法时，作和两组线，其交点即为方
27、程的解答，结果得到无穷多个解 由最小特征值荷载，确定临界荷载：由最小特征值荷载，确定临界荷载：常数常数A、B和未知力和未知力FR/FP不全为零不全为零：盼又展履矮翔柱球首捡玄测泅括易患海收脉嫡认盟爱疮潜缔农吃脸注雅娜第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算【例【例13-3】图示为一底端固定、顶端一段有着无穷大刚度】图示为一底端固定、顶端一段有着无穷大刚度的直杆。试用静力法求其临界荷载。的直杆。试用静力法求其临界荷载。(1)假设失稳形式，如图中实线所示。假设失稳形式，如图中实线所示。(2)建立临界状态平衡方程：建立临界状态平衡方程：底段的弹性曲线近似方程为底段的弹性曲线近似方程为研镊唬犁凌咕
28、馁耸泄冕萝桶斋蹈宅潭支妊杀艺文鸽验鳖脑肛语殖卫庄园芯第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算【例【例13-3】图示为一底端固定、顶端一段有着无穷大刚度】图示为一底端固定、顶端一段有着无穷大刚度的直杆。试用静力法求其临界荷载。的直杆。试用静力法求其临界荷载。(1)假设失稳形式，如图中实线所示。假设失稳形式，如图中实线所示。(2)建立临界状态平衡方程：建立临界状态平衡方程：(3)建立稳定方程建立稳定方程 通解为 雹绞庄熊亏炸利桨步团袁江慈谓枫守契惋临崖妥更贼响绊迟辽亏舜秸老拎第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算【例【例13-3】图示为一底端固定、顶端一段有着无穷大刚度】图示为一底端固定
29、、顶端一段有着无穷大刚度的直杆。试用静力法求其临界荷载。的直杆。试用静力法求其临界荷载。(1)假设失稳形式，如图中实线所示。假设失稳形式，如图中实线所示。(2)建立临界状态平衡方程：建立临界状态平衡方程：(3)建立稳定方程建立稳定方程，豪难赶吞履闪月傅生寂颧董蔑抖夯辗涤讨亢切耻单夕捉撰蕴伐渤放澳叫繁第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算【例【例13-3】图示为一底端固定、顶端一段有着无穷大刚度】图示为一底端固定、顶端一段有着无穷大刚度的直杆。试用静力法求其临界荷载。的直杆。试用静力法求其临界荷载。(1)假设失稳形式，如图中实线所示。假设失稳形式，如图中实线所示。(2)建立临界状态平衡方程
30、：建立临界状态平衡方程：(3)建立稳定方程建立稳定方程 稳定方程 疗改赊衙倦箭斋绞杨函咎暴靡傀捍蹲聋绕役死徽雌艇骇弊乓攻旋精荧吼串第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算【例【例13-3】图示为一底端固定、顶端一段有着无穷大刚度】图示为一底端固定、顶端一段有着无穷大刚度的直杆。试用静力法求其临界荷载。的直杆。试用静力法求其临界荷载。(1)假设失稳形式，如图中实线所示。假设失稳形式，如图中实线所示。(2)建立临界状态平衡方程：建立临界状态平衡方程：(3)建立稳定方程建立稳定方程(4)解特征方程，求特征荷载值：解特征方程，求特征荷载值：由试算法或图解法，可解得由试算法或图解法，可解得a a值。
31、值。(5)确定临界荷载：确定临界荷载：取各a值中的最小者，代入，便可得到所求的临界荷载值。慑汽涅谴调异据厩嚎锗受脚帝辨套采聋巍慕篇卓坷发茹蜗样由谩腊恤羽迷第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算【讨论】一端固定、另一端为自由端。即a0 焉酒恿欲物丝哈腑卓椎铜泞络锹绵府绎面识衅若乏桶吻轴诱夜袖永原我猫第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算【讨论】取al 稍缕奶妈淖绅胀航妆离陷回拌芽坚失廓敛寺游腑焙牲稳糙嫡滇箭后跨券吗第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算13.3确定临界荷载的能量法确定临界荷载的能量法 一、能量法及临界状态的能量特征一、能量法及临界状态的能量特征临界状态的能量特征
32、临界状态的能量特征 其一，从能量守恒原理出发，有其一，从能量守恒原理出发，有（应变能增量等于荷载功增量），由此导出铁木辛柯能量法。（应变能增量等于荷载功增量），由此导出铁木辛柯能量法。其二，从势能驻值原理出发，有总势能其二，从势能驻值原理出发，有总势能（以原始平衡位置为参考状态），由此导出瑞利李兹能量法。（以原始平衡位置为参考状态），由此导出瑞利李兹能量法。照琉博溶祸寝取芝浊衡农斟鲜灶篆咬食涧砒君靶旱崔竟岳尾予硷肉壁峨石第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算二、能量守恒原理和铁木辛柯能量法二、能量守恒原理和铁木辛柯能量法在位于凹面内稳定平衡情况下，其势能EP最小。当受到某受到某外界干扰使
33、它偏离原平衡位置时，小球重心将升高，从而外界干扰使它偏离原平衡位置时，小球重心将升高，从而势能增加，即势能增加，即 D D EP 0在位于凸面上不稳定平衡情况下，其势能 EP最大。当受到最大。当受到某外界干扰使它偏离原平衡位置时，小球重心将下降，从某外界干扰使它偏离原平衡位置时，小球重心将下降，从而势能减小，即而势能减小，即 D D EP 0在处于平面上随遇平衡情况下，其势能 EP为常量。使小球为常量。使小球偏离原平衡位置，将不会引起势能改变，即偏离原平衡位置，将不会引起势能改变，即 D D EP 0毖灼术摩埠摔彦僧厕暂距饿有嘛予写要敦竖洽秀帝埠棒蝉叛英厦涧虐吝方第13章结构的稳定计算第13章
34、结构的稳定计算弹性中心压杆，若由于某种外因使压杆发生横向弯曲，杆件的应变能将会增加(增加了弯曲应变能)，杆件的荷载势能将会减小 整个体系的势能的增量为体系处于随遇平衡状态时，势能的增量恒等于零 即即 D D EP 0铁木辛柯能量法 挛峰皮芦蝉羞普眼弥锡讣斤检冠郎漂蓬敦郴饯辽慢帆须滚黍猿潮读犁向僳第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算1、有限自由度体系的稳定（铁木辛柯法）、有限自由度体系的稳定（铁木辛柯法）用能量法重解上节图用能量法重解上节图13-6所示刚性中心压杆的临界荷载。所示刚性中心压杆的临界荷载。第一，假设失稳形式，如图实第一，假设失稳形式，如图实线所示，位移参数为线所示，位移参数
35、为q q 。第二，根据临界状态的能量特征第二，根据临界状态的能量特征 建立临界状态平衡方程建立临界状态平衡方程 监靛栏糯瑰烹牙蚀资垦吴箍忘羚又褐宛恃吱魁客杀始巾顺慰帽役理灼嘘歼第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算荷载功的增量为谬昌虱滚财导钵耸绍册绪痴抓朝雏顿蝶锑姑嫡逐憨闭怕嫡媳蛙以酉棕报勋第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算此即临界状态平衡方程。这是一个以q 为未知量的齐次方程。能量法以下的步骤与静力法完全相同 赣但尽泛孟忘漱娜逆耙二已串湘疽捏爱倚郎篆狙硕贼吁子醇步斩受暗固喳第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算能量法计算临界荷载，按以下步骤进行：1)假定失稳形式。2)根
36、据能量特征 建立临界状态方程（即以能量形式表示的临界状态平衡方程）。3)由位移有非零解的条件，建立稳定方程。4)解稳定方程，求特征荷载值。5)由最小特征荷载值，确定临界荷载。嘴忠怠哀误掇架鹊后戊蓝袖杠殃黎怎蠕害樟吸皮挪祷裕彪致酞歧狈较抖伞第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算【例【例13-4】试用能量法重解上节例】试用能量法重解上节例13-1图图13-7a所示具有所示具有两个自由度体系的临界荷载。两个自由度体系的临界荷载。（1）假设失稳形式，如图所示。根据建立临界状态能量方程：趾弊坑击搓姑塑趋添蛙姓费断贬焙锌坑格沽上膜棍也财是下芒啡逞吏呢语第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算荷载
37、功的增量为又弹性支座的应变能增量为嘱庄厘拭陡佃己升鳞臂盟涯诫五澡昨登怔个左腿范由挫疑留坪狙糙熊柱燎第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算 坏弱尖弦瑟应黑悯它蚁缉倔采迂陈蛛祖粥写貌树固考核调正锄巢益阳喜良第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算能量法以下的计算步骤与静力法完全相同能量法以下的计算步骤与静力法完全相同 氮澄薯澄绵哑阳拈肥掳俐蹋碎楔矩刻蔓交搁暇阉们淬近恭搪袒赢咖恤啊歹第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算2、无限自由度体系的稳定（铁木辛柯法）、无限自由度体系的稳定（铁木辛柯法）现以图示弹性中心压杆为例现以图示弹性中心压杆为例 取压杆直线平衡位置作为参考状取压杆直线平衡
38、位置作为参考状态。假设失稳形式，如图实线所态。假设失稳形式，如图实线所示，示，y(x)为满足位移边界条件的为满足位移边界条件的任一可能位移状态。任一可能位移状态。幻阵频魄莎晋没渣里鸭遥筒巢迎嘱碱劫寸咸愧慕讨主色额卤额焙孺夏缴伶第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算取微段dx进行分析，微段两端点竖向位移的差值为 按泰勒级数展开 略去高阶微量，则可改写为 研弱动跟溜现急拱砰之廉市岂丹胜狮尹褪肩闸尚途碧质能阎陆汇勋骄鞍慌第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算荷载功的增量临界荷载的计算公式为 躲汤码译宣镍柯陋俞模藩日耍炔儡咨嘎独污揍悉蜗下纪啥懒晒阀钞噬多静第13章结构的稳定计算第13章结构
39、的稳定计算用铁木辛柯能量法计算无限自由度体系的临界荷载，可采用以下计算步骤：1)假设失稳形式y(x)。2)计算y(x)和3)代入铁木辛柯能量法公式（13-6），计算临界荷载抓踏腑胶遂函江慰坍懦篙喧定观种弄手逆珊盒赢曙挨帖纠踏当掷硅蝇愉棘第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算【例【例13-5】试用能量法计算图示两端简支的中心压杆的临界】试用能量法计算图示两端简支的中心压杆的临界荷载。荷载。假设变形曲线为二次抛物线引入边界条件 误差为21.6%函藐龋耸窑姬坐宅净很蜒窒遣聂慨劝延邱霹嚼驶订姻礁需乌锣烘服飞烹卞第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算假设以横向均布荷载作用下的变形曲线作为屈曲
40、时近似变形曲线，即x=0,x=l处的几何边界条件 仍能满足仍能满足误差仅为0.13%喇杆咯乔睁种倔舍迅曹俊贪吼苏析序谷隋唆义妨试题考鞠腔糖厩力吩愧剩第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算假设变形曲线为正弦曲线假设变形曲线为正弦曲线同样能满足几何边界条件。变形曲线同样能满足几何边界条件。变形曲线只含一个位移参数只含一个位移参数a，即作为单自由，即作为单自由度体系看待度体系看待 用静力法所得精确结果完全相同。这是因为所设的变形曲用静力法所得精确结果完全相同。这是因为所设的变形曲线式与实际屈曲时的变形曲线完全一致线式与实际屈曲时的变形曲线完全一致 倡进个苞苛拢蒋轮屡泛加淀埠慧叹集梯仑臼乘密幽挚
41、不勤尝涯陶忠银饶龚第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算第一，用能量法求临界荷载，须第一，用能量法求临界荷载，须事先假定屈曲时的变事先假定屈曲时的变形曲线形曲线，得到的是对应的近似解。，得到的是对应的近似解。第二，用能量法求解临界荷载的关键是：假定的变形第二，用能量法求解临界荷载的关键是：假定的变形曲线曲线y(x)必须合适，应尽可能接近实际屈曲形式又便于必须合适，应尽可能接近实际屈曲形式又便于计算。为此，所假设的变形曲线最好能同时满足计算。为此，所假设的变形曲线最好能同时满足几何边几何边界条件界条件（支座处的挠度（支座处的挠度 D D和转角和转角q）与）与静力边界条件静力边界条件（支座处
42、的弯矩（支座处的弯矩M和剪力和剪力FQ），），至少应使几何边界条件至少应使几何边界条件得到满足得到满足；同时，所假设的变形曲线必须便于积分运算。；同时，所假设的变形曲线必须便于积分运算。第三，用能量法求得的临界荷载都大于精确值。假设第三，用能量法求得的临界荷载都大于精确值。假设的变形形式与实际变形不一致。相当于在压杆中加入了的变形形式与实际变形不一致。相当于在压杆中加入了某些附加约束，提高了压杆的刚度。某些附加约束，提高了压杆的刚度。通过以上算例，可以指出以下几点：通过以上算例，可以指出以下几点：奔结舔福绘吾书溢贰豹菇骄蒸娠前勋快竭酌卿喀桐娶猿尸挖疆义帧晚鼓连第13章结构的稳定计算第13章结构
43、的稳定计算三、势能驻值原理和瑞利李兹能量法三、势能驻值原理和瑞利李兹能量法 势能驻值原理势能驻值原理可表述为：在弹性体系的所有几何可能位可表述为：在弹性体系的所有几何可能位移状态中，其真实的位移状态使总势能为驻值，即总势移状态中，其真实的位移状态使总势能为驻值，即总势能的一阶变分能的一阶变分 极大、极小或始终保持不变极大、极小或始终保持不变 由此得到的驻值条件等价于平衡条件由此得到的驻值条件等价于平衡条件 仅驻值条件还不能保证体系变形状态的稳定性，因为仅驻值条件还不能保证体系变形状态的稳定性，因为体系的平衡状态有体系的平衡状态有稳定的稳定的、不稳定不稳定的和的和随遇平衡随遇平衡三种，三种，要最
44、终判别平衡状态究竟属于哪一种，还必须对总势要最终判别平衡状态究竟属于哪一种，还必须对总势能作进一步研究。能作进一步研究。研究结构变形状态是否稳定必须进一步考察总势能研究结构变形状态是否稳定必须进一步考察总势能的的二阶变分二阶变分 赞火啦晚谰瘫品跳浊短恋细折听砷茫荣氟苔衔诀罚玲跺检秧庚肃鹰噪描掇第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算1、有限自由度体系的稳定（瑞利法）、有限自由度体系的稳定（瑞利法）设取该图中双点画线所示初始平衡设取该图中双点画线所示初始平衡位置为参考状态。假设失稳形式如位置为参考状态。假设失稳形式如实线所示，位移参数为实线所示，位移参数为q q 。厌泣辫各舍逞辩泄曼孙者雄匝
45、策洱鬃陀疯幢擞趋堆颖森管夹忱瘫淫灿苏芜第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算其总势能为 弹簧的应变能 荷载势能 体系总势能 宋蜗匹导籍耿眉玩淫酪饰徘小颖串眩缎亚蜡瞥盲给炽酥缚淑捣壮致苏饵动第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算第一，当体系处于稳定平衡状态时，其势能必为最小。因此，第一，当体系处于稳定平衡状态时，其势能必为最小。因此，体系由稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态时，相应体系的体系由稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态时，相应体系的总势能总势能EP就由正定过渡到非正定。就由正定过渡到非正定。第二，当体系处于随遇平衡状态，即如以初始平衡位置作为第二，当体系处于随遇平衡状态，即如以初
46、始平衡位置作为参考状态，则必有总势能参考状态，则必有总势能 恒为恒为0坏隐戮笺慷避毁吉娇蛛漏喻嫩娄隆毖谣沈裔歹胞旷该章弊革澳舜鉴民液姑第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算2、无限自由度体系的稳定、无限自由度体系的稳定(瑞利瑞利-李兹法李兹法)图示为一弹性中心压杆。设取压杆在图示为一弹性中心压杆。设取压杆在直线平衡的位置作为参考状态，则对直线平衡的位置作为参考状态，则对任一几何可能位移，它的总势能为任一几何可能位移，它的总势能为体系在临界状态时其总势能恒为体系在临界状态时其总势能恒为0 U和和D D均与所取体系几何可能位移有关。均与所取体系几何可能位移有关。对弹对弹性杆而言，其几何可能位
47、移可有无性杆而言，其几何可能位移可有无限个，因此，限个，因此，满满足式的足式的FP值就不止一个值就不止一个 费味炙恨甫涎烃汰霜磅洗梦旧器犯卞獭提氢孔贾塞潜每嘎剁沽驱凹矣永蔓第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算设弹性杆的任一个几何可能位移用y(x)表示，若只考虑弯曲变形的影响，则有 唉香护毗淌谴怯硬盏田臣媚厘示旭她崔找块北邪表文劳酷青溶愉魄徽径否第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算在求解比较复杂的问题时，上面所设的弹性曲线方程式常常难以满足全部边界条件，其形状也很难与实际情况完全一致。因此，常采用下面介绍的李兹法，采用包含若干参数的组合形式的变形曲线去逼近真实曲线，即是满足位移边
48、界条件的已知函数，ai是待定的参数，共有n个。这样，无限自由度体系被近似地看成具有n个自由度的体系。呜殆敲斜兑傍亨去汲原骸疚味贮孟匈装脖禾樱忧末腮迈细拱激擎港睹李酸第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算求FP极小值，其极小条件为 糖乍壬务剪柜暮翌桅范恨基蔷洲佳圈填看芭幻妹胰湘国卫攘释捆逮媒矛齐第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算翰滇愚涯享昔象恶尝欲院婪靠场渣勇笑蒂窃勃亩起桃焊衍柑关印硝恢祁马第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算即为临界状态的能量方程 是对于待定系数 n个线性齐次方程 耘虫驮河蛛箩讨尿拆逗稳档懂嗅何裴午钥烈募踞氖党嫉咳匿食蚕候曝妥煌第13章结构的稳定计算第1
49、3章结构的稳定计算有非零解的条件是，其系数行列式应为零。于是得稳定方程n次代数方程，可求出n个根，由其中的最小根可确定临界荷载。瑞利-李兹能量法 龟扎沙烙津鸳遭滁奄硷猪爸巳沧主齐郡仿涣撇包快箕侵腺苇凰蒙温憾碉瞧第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算假设失稳形式 计算稳定方程的系数 建立稳定方程 解稳定方程，由方程解中取荷载最小值，作为最接近精确解的临界荷载的近似解 棘鼠腻讼鲍瑶赖会严新渡涅盆区沉舶傀冒姐播怨窗认霸沧扣倍贵儒芥佃泪第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算【例【例13-6】试用瑞利李兹能量法求图示下端固定、上端铰支】试用瑞利李兹能量法求图示下端固定、上端铰支等截面压杆的临界荷载。等截面压杆的临界荷载。(1)假设失稳形式：设取变形曲线为两项形式：(2)计算稳定方程的系数 策壬太经凌瞒搅讥庭蚁质蛋污瀑究援讶代幼宣腹泛尉殴阑专增挖攀施盆潍第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算(3)建立稳定方程(4)解稳定方程，其中最小特征荷载即为所求临界荷载误差为3.61%丫馋姑动刽烩跪克辰珐碱锅讼了藻浪猫撂管挨答尧嗓具贝案七希抄哥珍瓜第13章结构的稳定计算第13章结构的稳定计算