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1、第十一章第十一章 结构的稳定计算结构的稳定计算11-1 11-1 两类稳定问题概述两类稳定问题概述11-2 11-2 有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定 静力法和能量法静力法和能量法11-3 11-3 无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定 静力法静力法11-4 11-4 无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定 能量法能量法11-1 11-1 概述概述强度验算强度验算刚度验算刚度验算稳定验算稳定验算结构设计结构设计必不可少。必不可少。某些时候是必须的某些时候是必须的薄壁结构薄壁结构高强材料结构高强材料结构（如钢结构）（如钢结构）主要受压的结构等主要受压的结构等而稳定验算是在结构产生大
2、变形后的几何形状和位置上进行计算而稳定验算是在结构产生大变形后的几何形状和位置上进行计算 的，的，其方法已经属于几何非线性范畴，叠加原理不再适用。其方法已经属于几何非线性范畴，叠加原理不再适用。强度验算与刚度验算是在结构静力平衡的状态下、采用未变形的强度验算与刚度验算是在结构静力平衡的状态下、采用未变形的 结构的计算简图来分析的；结构的计算简图来分析的；一、结构平衡状态的分类一、结构平衡状态的分类稳定平衡状态稳定平衡状态不稳定平衡状态不稳定平衡状态随遇平衡状态随遇平衡状态11-1 11-1 两类稳定问题概述两类稳定问题概述二、失稳的概念及分类二、失稳的概念及分类11-1 11-1 两类稳定问题
3、概述两类稳定问题概述失稳失稳： 结构在荷载作用下其原始平衡状态可能由结构在荷载作用下其原始平衡状态可能由 稳定平衡状稳定平衡状 态过渡到不稳定平衡状态，称原始平衡状态丧失稳定态过渡到不稳定平衡状态，称原始平衡状态丧失稳定 性、简称性、简称“失稳失稳”。结构失稳的分类：结构失稳的分类：根据结构失稳前后变形性质是否改变，根据结构失稳前后变形性质是否改变， 可将失稳问题分为：可将失稳问题分为：分支点失稳分支点失稳失稳前后平衡状态所对应的变形性质发失稳前后平衡状态所对应的变形性质发 生改变。在分支点处，既可在初始位置处平衡，亦可在生改变。在分支点处，既可在初始位置处平衡，亦可在 偏离后新的位置平衡，即
4、平衡具有二重性。偏离后新的位置平衡，即平衡具有二重性。极值点失稳极值点失稳失稳前后变形性质没有发生变化，力失稳前后变形性质没有发生变化，力 位移关系曲线存在极值点，达到极值点的荷载使变形迅位移关系曲线存在极值点，达到极值点的荷载使变形迅 速增长，导致结构压溃。速增长，导致结构压溃。PPcr1.分支点失稳分支点失稳11-1 11-1 两类稳定问题概述两类稳定问题概述柱单纯受压、柱单纯受压、无弯曲变形无弯曲变形失稳前后平衡状态的变形性质发生变化失稳前后平衡状态的变形性质发生变化PPcrP=Pcr 柱可在偏离原始平柱可在偏离原始平衡位置附近的任一衡位置附近的任一位置上保持平衡。位置上保持平衡。柱的压
5、弯变柱的压弯变形继续增大形继续增大直至破坏。直至破坏。11-1 11-1 两类稳定问题概述两类稳定问题概述稳定平衡稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡 小挠度理论小挠度理论 P Pcr 大挠度理论大挠度理论分支点分支点分支点失稳的分支点失稳的P-曲线曲线 以分支点为界，原始平衡状态可分以分支点为界，原始平衡状态可分为稳定平衡状态和不稳定平衡状态。为稳定平衡状态和不稳定平衡状态。分支点上存在平衡形式的两重性分支点上存在平衡形式的两重性2.极值点失稳极值点失稳11-1 11-1 两类稳定问题概述两类稳定问题概述 PPPcr crPcr三、三、稳定自由度稳定自由度P EI1 1个自由度个自由度 EI2 2个
6、自由度个自由度无限无限自由度自由度11-1 11-1 两类稳定问题概述两类稳定问题概述稳定自由度稳定自由度体系产生弹性变形时，确定其体系产生弹性变形时，确定其变形状态变形状态所需的所需的 独立几何参数的数目独立几何参数的数目。PPEIy1y211-2 11-2 有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法完善体系分支点失稳分析有完善体系分支点失稳分析有静力法静力法和和能量法能量法。静力法静力法是从是从对新的平对新的平衡状态建立静力平衡条件衡状态建立静力平衡条件，能量法能量法是是新的平衡状态建立以能量形式表示的平衡条新的平衡状态建立以能量形式表示的平衡条件件，依据临界点系
7、统总势能为驻值，依据临界点系统总势能为驻值，稳定计算的中心问题是确定稳定计算的中心问题是确定临界荷载临界荷载。一、静力法一、静力法11-2 11-2 有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法例例11.1 求失稳时的临界荷载。求失稳时的临界荷载。k1 1抗转弹簧抗转弹簧(刚度系数刚度系数k)AkP P EIlB 0AM0sin kPl小挠度、小位移情况下：小挠度、小位移情况下： sin()0Plk 对应新的平衡状态对应新的平衡状态对应原始平衡状态对应原始平衡状态两个解两个解0 . 20 . 1: 0 Plk-稳定方程稳定方程( (特征方程特征方程) )lkPcr/ -
8、临界荷载临界荷载 kMA 解：解： P P 大挠度理论大挠度理论C 小挠度理论小挠度理论P k/lP-曲线曲线 ABO11-2 11-2 有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法讨论：讨论：1.1.小挠度理论计算结果：小挠度理论计算结果：lkPcr/ 2.2.大挠度理论计算：大挠度理论计算：0sin kPl由由 sinlkPcr 临界荷载与临界荷载与是一一对应的是一一对应的11-2 11-2 有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法1ky2ky例例11.2 求失稳时的临界荷载。求失稳时的临界荷载。kkC PB EIAll EI解：解： 0
9、BM0)(121 yyPlky 0CM02211 lkylkyPy1y2yP研究体系整体：研究体系整体：研究研究AB ：P1ky2kyABHBVB0)(21 PyyPkl0)2(21 klyyPlk整理得整理得 ：为使为使y1、y2 不同时为零，令：不同时为零，令：-稳定方程稳定方程02 PPklklPkl-临界荷载临界荷载03:222 lkklPP即即 klklklP382. 0618. 2253:特特征征值值klPcr382. 0 618. 1121 yy-失稳形式失稳形式11-2 11-2 有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法11.618kC PBA失稳形
10、式失稳形式例例11.3 求失稳时的临界荷载。求失稳时的临界荷载。PP取取BC为隔离体，为隔离体，解：解： 0,BM0)(1112 lykyyP由整体平衡由整体平衡 MA=0，得：，得：0212211 Pylyklyky1、y2不能全为零，故：不能全为零，故：02211 lkPlkPPlk稳定方程稳定方程0)( 3522 klklPPklPklP303. 4 ,697. 021 klPcr697. 0 11-2 11-2 有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法11-2 11-2 有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法1 1、设定一种满足
11、约束条件的可能的失稳变形状态（新的平衡、设定一种满足约束条件的可能的失稳变形状态（新的平衡 状态）；状态）；对新的平衡状态建立静力对新的平衡状态建立静力 平衡方程，由位移为非零解得平衡方程，由位移为非零解得“特征方程特征方程”，也称，也称“稳定稳定方方 程程11-2 11-2 有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法弹性结构的稳定能量准则弹性结构的稳定能量准则解：解：体系应变能：体系应变能：11-2 11-2 有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法例例11.4 能量法求结构失稳时的临界荷载。能量法求结构失稳时的临界荷载。lkP EIyk
12、yU 21ky PUP 势能：势能：22 lPUP y P)cos1( l2)2(sin2 l22 l lyPUP22 ly 体系总势能：体系总势能：2)221(ylPkUUEPP 0)( ylPkdydEP由势能驻值原理：由势能驻值原理：lkPcr 故临界荷载：故临界荷载：能量形式的平衡方程能量形式的平衡方程0, lPky令令不为零不为零为使为使22212121kykyU 11-2 11-2 有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法kkC PB EIAll EI例例11.5 能量法求例能量法求例11.2的临界荷载。的临界荷载。解：解：体系应变能：体系应变能：1ky
13、2ky1y2yP 1 12 2)(21 PPUP势能：势能： lylyyPUP22)(2221222iil 体系总势能：体系总势能：PPUUE lylyyPkyky22)(2121222122221 2122212)2()(21yPyyPklyPkll 11-2 11-2 有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法 02)(221211 PyyPkllyEP 0)2(2221212 yPklPylyEP02 PklPPPkl03222 lkklPP由势能驻值原理：由势能驻值原理：能量形式的平衡方程能量形式的平衡方程为使为使y1、y2 不同时为零，令：不同时为零，令：-
14、临界荷载临界荷载 klklklP382. 0618. 2253:特特征征值值klPcr382. 0 11-2 11-2 有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法设定一种满足约束条件的可能的失稳变形状态（新的平设定一种满足约束条件的可能的失稳变形状态（新的平 衡状态）；衡状态）；3. 由由总势能的驻值条件总势能的驻值条件建立以建立以能量形式表示的平衡方程能量形式表示的平衡方程；由位移为非零解得由位移为非零解得“特征方程特征方程”，也称，也称“稳定方程稳定方程三、结构失稳问题转化为具有弹性支座压杆的失稳问题三、结构失稳问题转化为具有弹性支座压杆的失稳问题11-2 11-
15、2 有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法例例11.6 求体系的临界荷载求体系的临界荷载Pcr 。 PlaaEI= EIEIABCPyABCaEI 3ABaEI 3AClkPcr/ 由由alEIPcr6 解：解：PyP隔离体隔离体受力图受力图aEI /3aEI /3AkP P EIaEIk6 Py11-3 11-3 无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定静力法静力法HA例例11.7 求体系的临界荷载求体系的临界荷载Pcr 。xyEI Plyx解：解：My PHA规定：规定：M正向与杆件纤维凸起方向一致。正向与杆件纤维凸起方向一致。xHPyMA 挠曲线近似微分方程
16、：挠曲线近似微分方程：)()(xMxyEI 曲率曲率 的正号规定：的正号规定：若曲率中心位于所设定的若曲率中心位于所设定的y轴正向的一侧，则轴正向的一侧，则 为正；反之为负。为正；反之为负。y y 挠曲线近似微分方程中的挠曲线近似微分方程中的“ ”“ ”规定：规定： 若所设定的弯矩正向引起正值的曲率若所设定的弯矩正向引起正值的曲率 ，则公式中取，则公式中取“+”； 反之取反之取“”。y )()( xMxyEI 在在此此为为)()( xMxyEI 11-3 11-3 无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定静力法静力法HAxyEI PlyxMy PHAxHPyMA )()( xHPyxyEIA
17、EIP 2 令令xEIHyyA 2 通解为：通解为：xEIHxBxAxyA2sincos)( 由边界条件：由边界条件：0)(, 0)(, 0)0( lylyy0 A0sin2 lEIHlBA 0cos2 EIHlBA 得：得：稳定方程稳定方程01cossin22 EIlEIll 为使为使B、HA不全为零不全为零(即即y(x)不恒为零不恒为零)：ll tan11-3 11-3 无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定静力法静力法稳定方程稳定方程l y2 23 25 lly )(lly tan)( 经试算：经试算：493. 4)(min l EIPcr2min 2219.20)493. 4(lEI
18、EIl 11-3 11-3 无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定静力法静力法例例11.8 求体系的临界荷载求体系的临界荷载Pcr 。解：解：转化为有弹性支座的单根压杆。转化为有弹性支座的单根压杆。EIlEI PlHkEI PAlEIk3 抗转弹簧刚度系数：抗转弹簧刚度系数：在新的平衡状态，在新的平衡状态， kMA kMA 抗转弹簧的约束反力矩：抗转弹簧的约束反力矩： 0AM0 kHllkH )()(xllkPyMxyEI 挠曲线近似微分方程：挠曲线近似微分方程：11-3 11-3 无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定静力法静力法M PyxyyxkEI PA kMA lkH lk EIP
19、 2 令令)( 2xllEIkyy 通解为：通解为：)(sincos)(2xlEIlkxBxAxy 边界条件：边界条件：0)(,)0(, 0)0( lyyy 02 EIkA0)1(2 EIlkB0sincos lBlA 得：得：00sincos)1/(0/0122 llEIlkEIk 稳定方程稳定方程11-3 11-3 无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定静力法静力法2)(1tanlklEIll 稳定方程稳定方程将将 代回方程，由试算法可代回方程，由试算法可得得 ，再由，再由 ，可得，可得临界荷载。临界荷载。EIP 2 lEIk3 min)( l kEI PA 讨论讨论 , 0. 1 k若
20、若, 0tan l 则则, 0sin l 即即 min)( l222lEIEIPcr EI P2219.20lEIEIPcr ,. 2 k若若,tanll 则则493. 4)(min l EI PPcrPcrP根据形常数根据形常数lEIk31 EI，lPEI11-3 11-3 无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定静力法静力法1P, 0 0kFyyx ylx PPcrPcrEI，lEI，lEA=33lEIk 11-3 11-3 无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定静力法静力法对称体系的失稳问题对称体系的失稳问题例例11.9 求图示刚架的临界荷载。求图示刚架的临界荷载。lII21 IIl
21、P P P P P P解：解：正对称正对称失稳失稳反对称反对称失稳失稳正对称失稳时：正对称失稳时： Pk PlEIlEIk/42/2 2)(1tanlklEIll 4/)(12ll 83. 3)(min l 22/67.14lEIEIPcr 11-3 11-3 无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定静力法静力法正对称失稳时正对称失稳时22/67.14lEIEIPcr 11-3 11-3 无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定静力法静力法lII21 IIl P P P P P P正对称正对称失稳失稳反对称反对称失稳失稳反对称失稳时：反对称失稳时： Pk PlEIlEIk/122/23 12t
22、an EIklll 45. 1)(min l 22/10. 2lEIEIPcr 故原结构的临界荷载为：故原结构的临界荷载为：2/10. 2lEIPcr 11-4 11-4 无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定能量法能量法xyyxdxEI Pl体系应变能：体系应变能： dMdUU21 ldxyEI02)(21 ldxEIM0221 PddUUPP外力势能：外力势能： ldxyP02)(2 )2(2 dxP2)(2 dxdydxPds ddxydy体系总势能：体系总势能：)()()()(2211xaxaxaxynn 设设)(1xaiini 将无限自由度问题转化为有限自由度问题。将无限自由度问题
23、转化为有限自由度问题。由总势能驻值条件及位移为非零值的条件即可求得临界荷载。由总势能驻值条件及位移为非零值的条件即可求得临界荷载。. .11-4 11-4 无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定能量法能量法 llPPdxyPdxyEIUUE0202)(21)(21瑞利瑞利里兹法：里兹法：)(xi 满足位移边界条件的已知函数；满足位移边界条件的已知函数；ia任意参数。任意参数。例例11.10 求临界荷载。求临界荷载。11-4 11-4 无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定能量法能量法xyyxdxEI Pllxaxy sin)( 解：解：1.1.设设 ldxyEIU02)(21 lPdxyP
24、U02)(2 ldxlxlaEI0222)sin(2 2344alEI ldxlxlaP02)cos(2 224Pal 2234)44(aPllEIUUEPP 22lEIPcr 02)22(234 aPllEIdadEP 022234 PllEI 精确解精确解11-4 11-4 无限自由度体系的稳定无限自由度体系的稳定能量法能量法例例11.11 求临界荷载。求临界荷载。 lxay2cos1 解：解：1.1.设设 llaEIxyEIU0324264d21 laPxyPUlP16d22202 laPlaEIUUEPP166422324 lEIyxPcr0832234 alPlEIaEP 由由a 0 则：则：22cr4lEIP