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1、第第1313章结构的动力计算章结构的动力计算13131 1 动力计算的特点和动力自由度动力计算的特点和动力自由度一动荷载及其分类一动荷载及其分类 动荷载动荷载是指其大小、方向和作用位置随是指其大小、方向和作用位置随时间变化的荷载由于荷载随时间变化较快，时间变化的荷载由于荷载随时间变化较快，所产生的惯性力不容忽视。因此，考虑惯性所产生的惯性力不容忽视。因此，考虑惯性力的影响是结构动力学的最主要特征。力的影响是结构动力学的最主要特征。静荷载只与作用位置有关，而动荷载静荷载只与作用位置有关，而动荷载是坐标和时间的函数。是坐标和时间的函数。动荷载按其随时间的变化规律进行分类：动荷载按其随时间的变化规律
2、进行分类：二二结构动力计算的内容和特点结构动力计算的内容和特点1.1.动力计算的主要内容动力计算的主要内容第一类问题：反应问题第一类问题：反应问题输入输入（动荷载）（动荷载）结构结构（系统）（系统）输出输出（动力反应）（动力反应）第二类问题：参数（或系统）的识别第二类问题：参数（或系统）的识别 输入输入（动荷载）（动荷载）结构结构（系统）（系统）输出输出（动力反应）（动力反应）第三类问题：荷载识别第三类问题：荷载识别输入输入（动荷载）（动荷载）结构结构（系统）（系统）输出输出（动力反应）（动力反应）第四类问题：控制问题第四类问题：控制问题输入输入（动荷载）（动荷载）结构结构（系统）（系统）输出
3、输出（动力反应）（动力反应）控制系统控制系统 （装置、能量）（装置、能量）2 2结构动力计算的目的结构动力计算的目的 研究结构在动荷载作用下的反应规研究结构在动荷载作用下的反应规律，找出动荷载作用下结构的最大动内律，找出动荷载作用下结构的最大动内力和最大动位移，为结构的动力可靠性力和最大动位移，为结构的动力可靠性设计提供依据。设计提供依据。3 3动力反应的特点动力反应的特点 在在动动荷荷载载作作用用下下，结结构构的的动动力力反反应应（动动内内力力、动动位位移移等等）都都随随时时间间变变化化，它它的的除除与与动动荷荷载载的的变变化化规规律律有有关关外外，还还与与结结构构的的固固有有特特性性（自自
4、振振频频率率、振振型型和和阻尼）有关。阻尼）有关。不同的结构，如果它们具有相同的不同的结构，如果它们具有相同的阻尼、频率和振型，则在相同的荷载下阻尼、频率和振型，则在相同的荷载下具有相同的反应。可见，结构的固有特具有相同的反应。可见，结构的固有特性能确定动荷载下的反应，故称之为性能确定动荷载下的反应，故称之为结结构的动力特性。构的动力特性。强强迫迫振振动动 结结构构在在动动荷荷载载作作用用下下产产生生得得振振动。动。研究强迫振动，可得到结构的动力研究强迫振动，可得到结构的动力反应。反应。三自由振动和强迫振动三自由振动和强迫振动自由振动自由振动 结构在没有动荷载作用时，由结构在没有动荷载作用时，
5、由 初速度、初位移所引起的振动。初速度、初位移所引起的振动。研究结构的自由振动，可得到结构的研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、振型和阻尼参数。自振频率、振型和阻尼参数。确定体系运动过程中任一时刻全部确定体系运动过程中任一时刻全部质量位置所需的独立几何参数数目，称为质量位置所需的独立几何参数数目，称为体系的体系的自由度自由度。根据自由度的数目，结构可分为单根据自由度的数目，结构可分为单自由度体系，多自由度体系和无限自由度自由度体系，多自由度体系和无限自由度体系。体系。四动力分析中的自由度四动力分析中的自由度1 1自由度的定义自由度的定义 将将连连续续分分布布的的结结构构质质量量按按一一定
6、定的的力力学学原原则则集集中中到到若若干干几几何何点点上上，使使结结构构只只在在这这些些点点上上有有质质量量。从从而而把把一一个个无无限限自自由由度度问问题题简简化化为为有有限限自自由由度度问题。问题。2.2.实际结构自由度的简化方法实际结构自由度的简化方法 为分析计算方便，往往将具有无限自由为分析计算方便，往往将具有无限自由度体系的实际结构简化为有限自由度。常用度体系的实际结构简化为有限自由度。常用的简化方法有：的简化方法有：（1 1）集中质量集中质量法法s平面平面:计轴向变形计轴向变形:W=2W=2不计轴向变形不计轴向变形:W=1:W=1(空间空间:不计轴向变形不计轴向变形:W=2:W=2
7、)不计轴向变形：不计轴向变形：W=1W=1（3 3）W=2W=2（3 3）W=3W=3（5 5）W=3W=3W=1W=1结论：结论：结构自由度数目与质点的个数无关结构自由度数目与质点的个数无关结构自由度数目与超静定次数无关结构自由度数目与超静定次数无关思考：思考：考虑轴向变形后各计算简图的动力自考虑轴向变形后各计算简图的动力自由度数是多少？由度数是多少？（2 2）广义坐标法）广义坐标法 假定梁的挠度曲线为假定梁的挠度曲线为 式中式中 满足位移边界条件的形状函数满足位移边界条件的形状函数 广义坐标广义坐标 广义坐标的个数为体系的自由度数广义坐标的个数为体系的自由度数（3）有限单元法）有限单元法综
8、合了集中质量法和广义坐标法的特点。综合了集中质量法和广义坐标法的特点。将实际结构离散为有限个单元的集合，将实际结构离散为有限个单元的集合，以结点位移作为广义坐标，将无限自由以结点位移作为广义坐标，将无限自由度问题化为有限自由度问题。度问题化为有限自由度问题。结点位移的数目等于体系的自由度数。结点位移的数目等于体系的自由度数。本章主要讨论集中质量法。本章主要讨论集中质量法。13-213-2 单自由度体系的运动方程单自由度体系的运动方程 实际上，工程中很多问题可化成实际上，工程中很多问题可化成单自由度体系进行动力分析或进行初单自由度体系进行动力分析或进行初步估算。要掌握其动力反应的规律，步估算。要
9、掌握其动力反应的规律，必须首先建立其运动方程。下面介绍必须首先建立其运动方程。下面介绍建立在达朗伯原理基础上的建立在达朗伯原理基础上的“动静法动静法”。一一.按平衡条件建立运动方程按平衡条件建立运动方程刚度法刚度法惯性力惯性力 弹性力弹性力 对隔离体列平衡方程对隔离体列平衡方程：k k刚度系数刚度系数 刚度法步骤：刚度法步骤：（1）在质点上沿位移正向加惯性力）在质点上沿位移正向加惯性力;（2）取质点为隔离体并作受力图）取质点为隔离体并作受力图;（3）根据达朗伯原理对质量）根据达朗伯原理对质量m列瞬时列瞬时 动力平衡方程，此即体系的运动方程。动力平衡方程，此即体系的运动方程。二二.按位移法协调建
10、立方程按位移法协调建立方程柔度法柔度法1 对质量对质量 m m 列位移方程列位移方程：柔度系数柔度系数 柔度法步骤柔度法步骤：（1 1）在质量上沿位移正方向加惯性力；）在质量上沿位移正方向加惯性力；（2 2）求动荷载和惯性力引起的位移；）求动荷载和惯性力引起的位移；（3 3）令该位移与质量）令该位移与质量 m m 的位移相等，的位移相等，即得到体系的位移方程（运动方程）。即得到体系的位移方程（运动方程）。三三.建立运动方程例题建立运动方程例题例例1 1 试建立图示刚架试建立图示刚架（a a）的运动方程的运动方程 解：（解：（1 1）刚度法）刚度法（a a）（b b）由由于于横横梁梁刚刚度度无无
11、限限大大，刚刚架架只只产产生生水水平平位位移移。设设横横梁梁在在某某一一时时刻刻 t t 的的水水平平位位移移为为 y(t),y(t),向向右右为为正正。在在柱柱顶顶设设置置附附加加链链杆杆（图图b b），以以 y(t)y(t)作作为为基基本本未未知知量量，用用位位移法列动平衡方程：移法列动平衡方程：令令 作作 图（图图（图c c），求得），求得 (c)(d)考虑动荷载考虑动荷载 F(t)F(t)和惯性力和惯性力 作作 M MP P 图，求得图，求得（2）柔度法）柔度法 设横梁在任一时刻设横梁在任一时刻 的位移的位移 是由是由动荷载动荷载 和惯性力和惯性力 共同作用产共同作用产生的（图生的（图
12、e），），所以，运动方程为所以，运动方程为：因此，横梁的位移为因此，横梁的位移为：作 图（图f）(e)(f)求得求得所以，运动方程为所以，运动方程为可见，用两种方法求解后运动方程相同。可见，用两种方法求解后运动方程相同。例例2试建立图（试建立图（a）所示刚架的运动方程）所示刚架的运动方程（不计轴向变形）（不计轴向变形）。(a)(b)解：解：用柔度法求解用柔度法求解 图示结构质量图示结构质量 m只产生水平位移只产生水平位移。设质量设质量 m 在任一在任一时时刻刻t的水平位移为的水平位移为 ，它是由动荷载它是由动荷载 (c)质量质量m的位移为的位移为 和惯性力和惯性力作用产生的，作用产生的，共同共
13、同向右为正。向右为正。作作 图，图，求得求得 所以，运动方程成为所以，运动方程成为例例3试建立图（试建立图（a）所示刚架的运动方程）所示刚架的运动方程 （不计轴向变形）（不计轴向变形）。解：解：仍用柔度法求解仍用柔度法求解(a)（b）分析同例分析同例2，质量，质量m的位移为的位移为 作作 图、图、图图求得求得(c)(d)所以，运动方程为所以，运动方程为 由此可见，动静法建立单自由度体由此可见，动静法建立单自由度体系的运动方程通常是以质量的静平衡位置系的运动方程通常是以质量的静平衡位置作为计算动位移的起点，采用刚度法还是作为计算动位移的起点，采用刚度法还是柔度法要视具体问题是求刚度系数方便，柔度
14、法要视具体问题是求刚度系数方便，还是求柔度系数方便来定。对同一体系，还是求柔度系数方便来定。对同一体系，两种方程都是一样的，对于单自由度体系两种方程都是一样的，对于单自由度体系：。13-313-3 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动 （不计阻尼（不计阻尼）自由振动由初位移或初速度引起的，自由振动由初位移或初速度引起的，在运动中无动荷载作用的振动。在运动中无动荷载作用的振动。分析自由振动的目的确定结构的动力分析自由振动的目的确定结构的动力特性，自振频率，自振周期。特性，自振频率，自振周期。一一.自由振动运动方程自由振动运动方程 单单自自由由度度体体系系的的自自由由振振动动及及相相应应的
15、的弹弹簧簧质质量量模模型型如如图图示示。以以静静平平衡衡位位置置为为坐坐标标原原点点，在在 t t 时时刻刻，质质量量 m m 的位移为的位移为 y(t)y(t)。取质量取质量 m m 为隔离体，作用在隔离体上的力：为隔离体，作用在隔离体上的力：弹性力弹性力 ky(t)ky(t)与位移方向相反；与位移方向相反；惯性力惯性力 与加速度与加速度 方向相反。方向相反。动平衡方程：动平衡方程：刚度法建立平衡方程：刚度法建立平衡方程：（13131 1）柔度法建立位移方程：柔度法建立位移方程：质质量量 m m 在在 t t 时时刻刻的的位位移移y(t)y(t)是是由由此此时时作作用在质量上的惯性力产生的，
16、位移方程为：用在质量上的惯性力产生的，位移方程为：整理，整理，(a)单自由度体系：单自由度体系：(b)式式（13131 1）或或（a a）称称为为单单自自由由度度体体系系自由振动运动方程（微分方程）自由振动运动方程（微分方程）二二.自由振动运动方程的解自由振动运动方程的解单自由度体系自由振动微分方程写为：单自由度体系自由振动微分方程写为：（13132 2）式中式中 其通解为其通解为 当初始条件当初始条件 二阶齐次线性常微分方程二阶齐次线性常微分方程式（式（13133 3）还可写成）还可写成（13134 4）式中式中：（13135 5）不计阻尼时，单自由度体系的自由振不计阻尼时，单自由度体系的自
17、由振动是由初位移和初速度引起的简谐振动。动是由初位移和初速度引起的简谐振动。方程的解：方程的解：（13133 3）三三.结构的自振周期和自振频率结构的自振周期和自振频率由式（由式（13134 4）y(t)y(t)是周期函数是周期函数自振周期（固有周期）自振周期（固有周期）自振频率（自振频率（固有固有频率）频率）1.1.结构自振周期结构自振周期 和自振频率和自振频率 的各种等的各种等 价计算公式价计算公式 理理解解这这些些公公式式各各符符号号的的含含义义，由由其其中中一个公式便可得到其他公式。一个公式便可得到其他公式。2.2.结构自振频率结构自振频率（或自振周期（或自振周期T T）的性质）的性质
18、 自振频率只与结构的质量和刚度有自振频率只与结构的质量和刚度有关，与外部干扰因素无关，它是结构本关，与外部干扰因素无关，它是结构本身固有的特性；改变结构的质量或刚度身固有的特性；改变结构的质量或刚度可改变其固有频率，不管实际结构如何，可改变其固有频率，不管实际结构如何，在同样的干扰力下，固有频率相同的结在同样的干扰力下，固有频率相同的结构的动力反应相同构的动力反应相同 3.3.简谐自由振动的特性简谐自由振动的特性位移位移 加速度加速度 惯性力惯性力 位移与惯性力作同频同步振动。位移与惯性力作同频同步振动。4.4.算例算例例例1 1 求图示体系的自振频率和自振周期。求图示体系的自振频率和自振周期
19、。解解 图示结构体系虽有两个质量，但它们图示结构体系虽有两个质量，但它们沿同一直线（水平方向）运动，故仍为沿同一直线（水平方向）运动，故仍为单自由度体系。如图（单自由度体系。如图（b b）示，作）示，作 图图 柔度系数柔度系数 自振频率自振频率 自振周期自振周期 例例2求图示体系的自振频率求图示体系的自振频率解解 设该体系转动时，转角的幅值为设该体系转动时，转角的幅值为 。当位移达到幅值时，质量。当位移达到幅值时，质量 2m 和和 m 上上的惯性力也同时达到幅值。的惯性力也同时达到幅值。在幅值处列出动平衡方程：在幅值处列出动平衡方程：由此求得由此求得例例3图示排架的横梁为刚性杆，质量为图示排架
20、的横梁为刚性杆，质量为m，柱质量不计，柱质量不计,求其自振频率。求其自振频率。解解 不考虑轴向变形，故为一单自由度体系。不考虑轴向变形，故为一单自由度体系。作作 图，求出图，求出自振频率自振频率作业作业 思考题思考题 P.286.134.135习题习题 P.294.133.134.136.137刚度系数刚度系数单自由度体系的强迫振动单自由度体系的强迫振动（不计阻尼）（不计阻尼）13134 4强迫振动强迫振动结构在动荷载作用下的振动结构在动荷载作用下的振动 单自由度体系在动荷载下的振动单自由度体系在动荷载下的振动及相应的振动模型如图示及相应的振动模型如图示:弹性力弹性力惯性力惯性力 平衡方程平衡
21、方程 不同的动荷载作用，体系的动力反应不同。不同的动荷载作用，体系的动力反应不同。常见的几种动荷载作用下体系的动力反应：常见的几种动荷载作用下体系的动力反应：或或 （136）式中式中 结构的自振频率结构的自振频率 式（式（136)为单自由度体系强迫振动方程为单自由度体系强迫振动方程 一一.简谐荷载简谐荷载 荷载幅值荷载幅值 荷载的圆频率荷载的圆频率1.运动方程及其解运动方程及其解 二阶线性非齐次常微分方程二阶线性非齐次常微分方程 通解：通解：齐次解：齐次解：设特解：设特解：运动方程的通解为：运动方程的通解为：由初始条件确定由初始条件确定 后，运动方程的解后，运动方程的解 特解为特解为代入方程，
22、求得代入方程，求得（137）式（式（13-7）中前两项为初始条件引起的）中前两项为初始条件引起的自由振动自由振动;第三项为荷载（干扰力）引第三项为荷载（干扰力）引起的自由振动，称为起的自由振动，称为伴生自由振动伴生自由振动。实际上，由于阻尼的存在，自由振动实际上，由于阻尼的存在，自由振动部分都很快衰减掉。自由振动消失前部分都很快衰减掉。自由振动消失前的振动阶段称为的振动阶段称为过渡阶段过渡阶段。第四项为。第四项为按荷载频率按荷载频率 进行的振动，此阶段为进行的振动，此阶段为 振动的振动的平稳阶段平稳阶段，称为，称为纯受迫振动纯受迫振动或或稳态振动稳态振动。2稳态振动分析稳态振动分析（1）稳态振
23、动解）稳态振动解令令荷载幅值作为静荷载作用时结构产荷载幅值作为静荷载作用时结构产生的静位移生的静位移 最大动位移最大动位移令令（138）动力系数动力系数最大动位移（振幅）最大动位移（振幅）（139）最大动位移最大动位移 与静位移之比与静位移之比动力系数动力系数 是频率比是频率比 的函数的函数（2）动位移的讨论）动位移的讨论它反映了干扰力它反映了干扰力 对结构的动力作用。对结构的动力作用。当当 时，时，即动位移与干即动位移与干扰力指向一致；扰力指向一致；当当 时，时，即动位移与干扰力指向相反。即动位移与干扰力指向相反。（a）时，时，干扰力产生的动力作用不明显，干扰力产生的动力作用不明显，因此可当
24、作静荷载处理；因此可当作静荷载处理；极限情况，即极限情况，即 或或 ，则则 。意味着结构为刚体或。意味着结构为刚体或荷载不随时间变化，因此不存在荷载不随时间变化，因此不存在振动问题。振动问题。当当 时，时，为增函数。为增函数。（b）当）当 时，时，共振，共振 为避开共振，可改变干扰力频率为避开共振，可改变干扰力频率 或改变结构的自振频率或改变结构的自振频率 使使 或或 。（c）当）当 时，时，为减函数为减函数当当 时，时，体系处于静止状态。体系处于静止状态。（3）降低振幅的措施）降低振幅的措施 频率比，频率比，应使频率比减小，增加结应使频率比减小，增加结构的构的 自振频率，增大刚自振频率，增大
25、刚度，减小质量；度，减小质量；应使频率比增大，减小结应使频率比增大，减小结构的自振频率，减小刚度，构的自振频率，减小刚度，增大质量。增大质量。3.动位移幅值（振幅）和动内力幅值的计算动位移幅值（振幅）和动内力幅值的计算 计算步骤计算步骤4.（1）计算动力系数；）计算动力系数；（2）计算动荷载幅值作为）计算动荷载幅值作为 静荷载作用时引起的静荷载作用时引起的 位移和内力；位移和内力；（3）将位移和内力分别乘）将位移和内力分别乘 以动力系数得以动力系数得 动位移动位移 幅值和动内力幅值。幅值和动内力幅值。例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩.已知已知解解(1)计算动
26、力系数计算动力系数梁的自振频率：梁的自振频率：荷载频率荷载频率动力系数动力系数 (2)动荷载幅值作为静荷载动荷载幅值作为静荷载 作用时的位移和内力作用时的位移和内力M图(3)振幅和动弯矩幅值振幅和动弯矩幅值 振幅 动弯矩幅值动弯矩幅值(4)最大位移和最大弯矩最大位移和最大弯矩简支梁的最大位移和最大弯矩均在梁跨中点简支梁的最大位移和最大弯矩均在梁跨中点跨中重量跨中重量G产生的静位移产生的静位移跨中的最大位移跨中的最大位移跨中重量跨中重量G产生的静弯矩产生的静弯矩跨中的最大弯矩跨中的最大弯矩4.动荷载不作用在质点上时的动计算动荷载不作用在质点上时的动计算振动方程振动方程令令(a)(b)则则稳态解稳
27、态解(c)(d)(e)（1）、振幅）、振幅结论结论:仍是位移的动力系数仍是位移的动力系数.思考思考:是否内力的动力系数是否内力的动力系数？（2）、动内力幅值）、动内力幅值、三者三者同时达到幅值。同时达到幅值。、作同频同步运动，作同频同步运动，根据稳态振动的振幅，算出惯性力。根据稳态振动的振幅，算出惯性力。然后，将惯性力幅值和干扰力幅值同时然后，将惯性力幅值和干扰力幅值同时作用在体系上，按静力学计算方法便可作用在体系上，按静力学计算方法便可求得动内力幅值。求得动内力幅值。例：求图示简支梁的振幅，作动弯矩幅值图例：求图示简支梁的振幅，作动弯矩幅值图.已知已知：解解(a)(b)(1)计算动力系计算动
28、力系数数(2)简支梁的振幅简支梁的振幅(c)(d)(e)(3)作动弯矩的幅值图作动弯矩的幅值图惯性力幅值惯性力幅值动弯矩幅弯矩幅值图(f)将动荷载幅值将动荷载幅值 F 和和惯性力惯性力 幅值幅值 I 作用在梁作用在梁上，按静力学方法作出上，按静力学方法作出弯矩图弯矩图-动弯矩幅值动弯矩幅值图。图。作业：作业：295页页13-8,296 页页13-10,297页页13-16结结 论论 对于单自由度体系，当干扰力作用在对于单自由度体系，当干扰力作用在质量上时，位移的动力系数和内力的动力质量上时，位移的动力系数和内力的动力系数是相同的；当干扰力不作用在质量上系数是相同的；当干扰力不作用在质量上时，位
29、移和内力各自的动力系数通常是不时，位移和内力各自的动力系数通常是不同的。对于位移和内力动力系数相同的情同的。对于位移和内力动力系数相同的情况，求结构的最大动力反应时，可将干扰况，求结构的最大动力反应时，可将干扰力幅值当作静荷载作用计算结构的位移和力幅值当作静荷载作用计算结构的位移和内力，然后再乘以动力系数，便可得到稳态内力，然后再乘以动力系数，便可得到稳态振动时结构的最大动位移和最大动内力。对振动时结构的最大动位移和最大动内力。对于位移和内力动力系数不同的情况，则要从于位移和内力动力系数不同的情况，则要从体系的运动方程出发，先求出稳态振动的位体系的运动方程出发，先求出稳态振动的位移幅值，再算出
30、惯性力。最后，按静力计算移幅值，再算出惯性力。最后，按静力计算方法求出结构在干扰力幅值和惯性力幅值共方法求出结构在干扰力幅值和惯性力幅值共同作用下的内力，此即结构的最大动内力。同作用下的内力，此即结构的最大动内力。二二.一般动荷载一般动荷载 体系在一般动荷载作用下的动力反应，体系在一般动荷载作用下的动力反应，可看成是连续作用的一系列冲量对体系产可看成是连续作用的一系列冲量对体系产生的动力反应之和。生的动力反应之和。1.瞬时冲量下体系的动力反应瞬时冲量下体系的动力反应（1）t=0 时瞬时冲量作用时瞬时冲量作用设体系设体系时静止时静止,瞬时冲量瞬时冲量体系产生的初速度体系产生的初速度初位移初位移
31、体系的动力反应体系的动力反应（13-10）（2）.时瞬时冲量作用时瞬时冲量作用位移位移任一时刻任一时刻的的2.一般动荷载下体系的动力反应一般动荷载下体系的动力反应微分冲量微分冲量微分冲量下体系的动力反应微分冲量下体系的动力反应一般动荷载下体系的动力反应一般动荷载下体系的动力反应（13 11)Duhamel积分积分,若若时时,则则 体系的动力反应体系的动力反应（1312）例例 求突加荷载作用下质量求突加荷载作用下质量 m m 的位移。的位移。初始条件为零，不计阻尼。初始条件为零，不计阻尼。解解 将将代入式代入式（1311），得），得（1313）动力系数动力系数作业：作业：296页页1312，29
32、7页页131313135 5阻尼阻尼：体系在振动过程中使其能量耗散的：体系在振动过程中使其能量耗散的 各种因素的统称。各种因素的统称。产生阻尼的原因：结构变形中材料的内摩产生阻尼的原因：结构变形中材料的内摩擦，支撑及结点等构件联结处摩擦及周围擦，支撑及结点等构件联结处摩擦及周围介质阻力等。介质阻力等。阻尼力阻尼力：在振动分析中用于替代阻尼作用：在振动分析中用于替代阻尼作用的阻碍振动的力。的阻碍振动的力。阻尼对振动的影响阻尼对振动的影响采用阻尼模型：粘滞阻尼力采用阻尼模型：粘滞阻尼力假定阻假定阻尼力的大小与体系振动时的速度成正比，尼力的大小与体系振动时的速度成正比，与速度方向相反，用与速度方向相
33、反，用 表示。表示。阻尼常数。阻尼常数。具有阻尼的单自由度体系的振动模型如图具有阻尼的单自由度体系的振动模型如图（a）示。）示。弹性力弹性力阻尼力阻尼力惯性力惯性力质量质量 m 的动平衡方程为的动平衡方程为：（131414）一一.有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动 自由振动方程自由振动方程（131515）令令 阻尼比阻尼比 则则（1316）设设 解为解为 特征方程特征方程（131717）特征根特征根1.1.三种运动形态三种运动形态(1).(小阻尼情小阻尼情况况)有阻尼频率有阻尼频率（131919）方程（方程（131616）的解）的解（132020）由初始条件由初始条件式中或方程的解写为或方程的解
34、写为（1320）振幅振幅小阻尼情况下的自由振动是按指数规律衰小阻尼情况下的自由振动是按指数规律衰减的简谐运动。减的简谐运动。相位角相位角（1322）（1321）方程（方程（1316）解）解不振动不振动（3）（超阻尼情况）（超阻尼情况）不振动不振动（2）（临界阻尼情况）（临界阻尼情况）临界阻尼常数临界阻尼常数（1323）（1324）2.2.小阻尼时自由振动分析小阻尼时自由振动分析 振动方程振动方程频率频率 周期周期(1)(1)小阻尼的自由振动是一个衰减振动；小阻尼的自由振动是一个衰减振动；(2)(2)在在 时，阻尼对自振频率的影响时，阻尼对自振频率的影响可忽略；可忽略；钢筋混凝土结构：钢筋混凝土
35、结构：钢结构：钢结构：左右左右(3)(3)阻尼比的确定阻尼比的确定 振幅对数衰减率振幅对数衰减率还可表示为还可表示为（1325）阻尼比阻尼比（1326）（1327）利用上式，通过实验可确定体系的阻尼比。利用上式，通过实验可确定体系的阻尼比。例：例：对图示刚架作自由振动实验。设刚架对图示刚架作自由振动实验。设刚架的质量的质量 m m 均集中在横梁处，横梁均集中在横梁处，横梁 。在刚架横梁处加一水平力。在刚架横梁处加一水平力 ，测得侧移测得侧移 。然后突然卸载，刚。然后突然卸载，刚架产生自由振动，测得周期架产生自由振动，测得周期 ，及，及一个周期后刚架的侧移为一个周期后刚架的侧移为 。求刚。求刚架
36、的阻尼比架的阻尼比 和阻尼系数和阻尼系数 。解解阻尼比阻尼比 阻尼系数阻尼系数二有阻尼的强迫振动二有阻尼的强迫振动式（式（13131414）有阻尼强迫振动方程中，）有阻尼强迫振动方程中，不同，结构的动力反应不同。不同，结构的动力反应不同。1.1.简谐荷载简谐荷载 运动方程及其解运动方程及其解 或或（13132828）通解通解齐次解齐次解（1 1）（13132929）设设 特解特解运动方程的全解：运动方程的全解：式中式中 由初始条件确定。由于阻尼的作由初始条件确定。由于阻尼的作用，含有用，含有 的第一部分的振动将逐渐的第一部分的振动将逐渐（13133030）（13133131）（13133232
37、）（13133333）(2)(2)稳态振动分析稳态振动分析稳态振动方程可写为稳态振动方程可写为振幅振幅（13133535）衰减消失；与动荷载频率衰减消失；与动荷载频率 相同的第二部分相同的第二部分振动不衰减，称为稳态振动（纯受迫振动）。振动不衰减，称为稳态振动（纯受迫振动）。（13133434）相位角相位角当当 时，时，动力系数动力系数（13133636）阻尼对振幅的影响：阻尼对振幅的影响：随随 增大而减小；增大而减小；当当 时，时，当当 时，共振，时，共振，；与频率比与频率比 动力系数动力系数和阻尼和阻尼 有关有关。阻尼在共振区阻尼在共振区内影响显著，内影响显著，不能忽略；在不能忽略；在共振
38、区外，为共振区外，为简化，偏安全简化，偏安全考虑可不计阻考虑可不计阻尼的影响。尼的影响。并不发生在并不发生在 处。处。通常情况下，通常情况下，很小，很小，阻尼体系的位移反应比荷载滞后一相位阻尼体系的位移反应比荷载滞后一相位 。，弹性力主要与动荷载平衡，弹性力主要与动荷载平衡，位移与荷载同向；位移与荷载同向；，阻尼力主要与动荷载平衡，阻尼力主要与动荷载平衡，共振时阻尼的作用不可忽视；共振时阻尼的作用不可忽视；，惯性力主要与动荷载平衡，惯性力主要与动荷载平衡，位移与动荷载反向。位移与动荷载反向。（13133737）2.2.一般动荷载一般动荷载 运动方程运动方程或或（13133838）当当 时，运动
39、方程的通解时，运动方程的通解 齐次解齐次解 特解特解 用用DuhamelDuhamel积分表示积分表示 （13133939）通解为通解为式中式中 由初始条件由初始条件:总位移为总位移为作业：思考题作业：思考题 P288 13-14 P288 13-14，13-1513-15 习题习题 P297 13-14 13-15 P297 13-14 13-15（13134040）确定确定13-6 13-6 多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动 工工程程中中，很很多多实实际际结结构构可可简简化化为为单单自自由由度度体体系系进进行行计计算算，但但要要进进行行更更加加精精确确地地分分析析，以以及及对对
40、于于绝绝大大多多数数实实际际结结构构必须作为多自由度体系进行计算。必须作为多自由度体系进行计算。多多自自由由度度体体系系自自由由振振动动分分析析的的目目的的是是确确定定体体系系的的动动力力特特性性自自振振频频率率和和振型。振型。多自由度体系自由振动的求解方法：多自由度体系自由振动的求解方法：刚度法，柔度法。刚度法，柔度法。一一.刚度法刚度法1.1.两个自由度体系两个自由度体系（1 1）自由振动微分方程）自由振动微分方程惯性力惯性力 ，（13-4113-41）弹性力弹性力（2 2）频率方程和自振频率）频率方程和自振频率 设方程的特解：设方程的特解：即两质量作简谐振动即两质量作简谐振动代入方程（代
41、入方程（13-4113-41），得位移幅值方程），得位移幅值方程 两质量的动平衡方程两质量的动平衡方程 （13-4213-42）频率方程频率方程 解频率方程得解频率方程得 两个根：两个根：，规定，规定第一频率或基本频率，第一频率或基本频率，第二频率第二频率 （13-4313-43）（3 3）主振型）主振型将将 代入式（代入式（13-4213-42），得），得 质点质点 的振动方程为的振动方程为 （13-4413-44）体系按体系按 振动有如下特点：振动有如下特点：两质量同频同步两质量同频同步任意时刻，两质量的位移比值，速度比任意时刻，两质量的位移比值，速度比值保持不变且相等值保持不变且相等 这
42、说明体系的变形形式不变，此振动这说明体系的变形形式不变，此振动形式称为形式称为主振型主振型，简称，简称振型振型。为与为与 相对应的振型，称为第一振型相对应的振型，称为第一振型或基本振型。或基本振型。定义：定义：体系上所有质量按相同频率作自由体系上所有质量按相同频率作自由振动时的振动形状称体系的主振型。振动时的振动形状称体系的主振型。按第一振型自由振动的条件按第一振型自由振动的条件 振型与频率一样是体系本身固有的属性，振型与频率一样是体系本身固有的属性，与外界因素无关。与外界因素无关。同理，将同理，将 代入式（代入式（13-4213-42），得到），得到 （13-4513-45）即第二振型即第二
43、振型 图示两个振型图示两个振型第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型2 2n n个自由度体系个自由度体系自由振动微分方程组：自由振动微分方程组：其矩阵表达式：其矩阵表达式：（13-13-4747）（13-4613-46）频率方程频率方程 （13-13-4848）解频率方程，得解频率方程，得 的的n n个根：且，个根：且，从小到大得排列，依次称为第一频率（或，从小到大得排列，依次称为第一频率（或基本频率）、第二频率基本频率）、第二频率 。将自振频率代入将自振频率代入 得出得出 对应的主振型向量对应的主振型向量 。这。这 n n 个主振型线性无关。个主振型线性无关。惯性力惯性力 ，作用下产生的静
44、位作用下产生的静位移。移。二二.柔度法柔度法1.1.两个自由度体系两个自由度体系（1 1）自由振动微分方程）自由振动微分方程质量质量 在任意时刻的位移在任意时刻的位移 为此时为此时 （13-13-4949）（2 2）频率方程和频率）频率方程和频率 （13-13-5050）方程的特解同刚度法；设两质量作简谐振动，方程的特解同刚度法；设两质量作简谐振动，代入方程（代入方程（13-4913-49），整理得位移幅值方程），整理得位移幅值方程0 02 2 （13-13-5151）频率方程频率方程 解频率方程同样得到解频率方程同样得到 的两个根：的两个根：（3 3）主振型）主振型与刚度法求振型相似，得到用
45、柔度法与刚度法求振型相似，得到用柔度法表示的主振型为：表示的主振型为：第一主振型：第一主振型：（13-13-5252）第二主振型：第二主振型：（13135353）2.n2.n个自由度体系个自由度体系 体系振动时，任一质量体系振动时，任一质量 m mi i 任的位移任的位移 y yi i（i=1,2,ni=1,2,n）为该时刻作用在体系各质量）为该时刻作用在体系各质量上的惯性力上的惯性力 （i=1,2,ni=1,2,n）作用下）作用下所产生的静位移：所产生的静位移：（13135454）其矩阵表达式其矩阵表达式 频率方程频率方程 式中式中 解解频频率率方方程程，得得的的n n个个根根，1 1，2
46、2，n n，并可得到，并可得到n n个频率：个频率：1 1，2 2 ，n n将频率代入将频率代入 得出得出i i将对应的主振型向量：将对应的主振型向量：，这，这n n个主振型线性无关。个主振型线性无关。（13135656）（13135555）三举例三举例例例1 1 已知图示两层刚架，横梁已知图示两层刚架，横梁为无限刚性。该质量集中在楼为无限刚性。该质量集中在楼层上，分别为层上，分别为m m1 1，m m2 2。层间侧。层间侧移刚度（层间产生单位相对侧移刚度（层间产生单位相对侧移时所需施加得力）分别为移时所需施加得力）分别为k k1 1，k k2 2。求刚架水平振动时自振。求刚架水平振动时自振频
47、率和主振型。频率和主振型。解：解：（1 1）求解构得刚度系数）求解构得刚度系数 （2 2）求自振频率）求自振频率由频率方程由频率方程 当当 时，时，有有所以所以 （3 3）求主振型）求主振型 两个主振型图：两个主振型图：第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型 第一主振型第一主振型 第二主振型第二主振型 例例2 2 求等截面简支梁的自振频率和主振型求等截面简支梁的自振频率和主振型 解：方法一解：方法一 （1 1）求柔度系数）求柔度系数 由由 图图图图 图图 利用图乘法求得利用图乘法求得 （2 2）求自振频率）求自振频率 由频率方程由频率方程 求得求得（3 3）求主振型）求主振型 两个主振型图：
48、两个主振型图：第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型由本例得出结论：由本例得出结论：当结构本身和质量分布都是对称的，当结构本身和质量分布都是对称的，则其振型或为正对称振型，或为反对称则其振型或为正对称振型，或为反对称振型。振型。解：方法二解：方法二 利用振型的正、反对称特点，取半利用振型的正、反对称特点，取半结构计算体系的自振频率结构计算体系的自振频率 图图 （1 1）体系按对称振型振动）体系按对称振型振动 半结构为单自由度体系半结构为单自由度体系 (2)(2)体系按反对称振型振动体系按反对称振型振动 半结构为单自由度体系半结构为单自由度体系 比较，得
49、出比较，得出 图图 作业作业 思考题：思考题：P288 13-17 13-19 P288 13-17 13-19 习题习题:P289 13:P289 1320 1320 1319 1319 13232313137 7多自由度体系主振型的多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵正交性和主振型矩阵 具有具有n n个自由度的体系，必有个自由度的体系，必有n n个主个主振型。振型。主振型的正交性主振型的正交性在多自由度体系在多自由度体系中，任意两个不同的主振型之间存在着中，任意两个不同的主振型之间存在着相互正交的性质。相互正交的性质。用功的互等定理证明如下：用功的互等定理证明如下：一、主振型的正交性一、
50、主振型的正交性第i主振型第 j主振型i 主振型上的惯性力主振型上的惯性力 同样，同样，j 主振型上的惯性力主振型上的惯性力i i 振型上的惯性力在振型上的惯性力在 j 振型上作虚功振型上作虚功：j 振型上的惯性力在振型上的惯性力在 i i 振型上作虚功振型上作虚功：根据功的互等定理根据功的互等定理有（13135757）（13135858）即即主主振振型型关关于于质质量量矩矩阵阵的的正正交交性性第一正交性。第一正交性。物理意义：体系按某一振型振动物理意义：体系按某一振型振动时时,其惯性力不会在其它振型上作功。其惯性力不会在其它振型上作功。由第由第 i 阶振型幅值方程阶振型幅值方程上式左乘上式左乘