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1、第二章推理与证明第二章推理与证明 复习小结复习小结推推理理与与证证明明推理推理证明证明合情推理合情推理演绎推理演绎推理直接证明直接证明数学归纳法数学归纳法间接证明间接证明 比较法比较法类比推理类比推理归纳推理归纳推理 分析法分析法 综合法综合法 反证法反证法知识结构知识结构一.合情推理与演绎推理归纳是由特殊到一般的推理;类比是由特殊到特殊的推理;演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;演绎推理得到的结论一定正确(前提为真).“完全归纳推理”与“归纳推理”的区别3.方法一：累差叠加法方法一：累差叠加法4.证证为为数数为为数数证证二二.综合法综合法证证为
2、为数数为为数数证证证证证明证明:要证要证只需证只需证只需证只需证只需证只需证只需证只需证因为因为 成立成立.所以所以 成立成立.三三.分析法分析法适用范围1.唯一性问题2.命题中涉及量词的问题3.结论否定型问题4.难以判断、计算、或证明的问题四四:反证法反证法练习练习1.例例2证明证明 不是有理数。不是有理数。证明：假定证明：假定 是有理数，则可设是有理数，则可设 ,其中其中p，q为互为互质的正整数，质的正整数，2q2=p2，式表明式表明p2是偶数，所以是偶数，所以p也是偶数，于是令也是偶数，于是令p=2l，l是是正整数，代入正整数，代入式，式，得得q2=2l2，这样这样p，q都有公因数都有公
3、因数2，这与，这与p，q互质矛盾，互质矛盾，因此因此 是有理数不成立，于是是有理数不成立，于是 是无理是无理数数.例例3、设、设0 a,b,c ,(1 b)c ,(1 c)a ,则三式相乘：则三式相乘：(1 a)b(1 b)c(1 c)a 又又0 a,b,c 1 所以所以同理：同理：以上三式相乘以上三式相乘：(1 a)a(1 b)b(1 c)c 与与矛盾矛盾原式成立。原式成立。五.数学归纳法1.证明“恒等式”2.证明“几何问题”3.证明“不等式”4.证明“整除问题”5.证明“猜想类问题”例例1用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：证明：（证明：（1）当）当n=1时，左边时，左边=4，右边，右边=
4、4，因为左边，因为左边=右右边，所以等式是成立的；边，所以等式是成立的；（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，即时，等式成立，即 这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立，时，等式也成立，由（由（1）和（）和（2）可以断定，等式对任何）可以断定，等式对任何nN+都成立。都成立。例例2.2.求证求证:(n+1)(n+2)n+1)(n+2)(n+n)=2(n+n)=2n n 1 1 3 3 (2n-1)(2n-1)证明：证明：n=1n=1时：左边时：左边=1+1=2=1+1=2，右边，右边=2=21 11=21=2，左边，左边=右边，等右边，等 式成立。式成立。假设当假设当n=k(kN
5、n=k(kN）时有：）时有：(k+1)(k+2)(k+1)(k+2)(k+k)=2(k+k)=2k k 1 1 3 3(2n-1),(2n-1),当当n=k+1n=k+1时：时：左边左边=(k+2)(k+3)=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2)(k+k)(k+k+1)(k+k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)(k+2)(k+3)(k+k)(k+k)=2 =2k k 1 1 3 3(2k-1)(2k+1)(2k-1)(2k+1)2 2 =2 =2k+1k+11 1 3 3(2k-1)(2k-1)2(k+1)-1=2(k+1)-1=右边，右边，当当n=k+1
6、n=k+1时等式也成立。时等式也成立。由由 、可知，对一切可知，对一切nN,nN,原等式均成立。原等式均成立。例例3:3:平面内有平面内有n n条直线条直线,其中任何两条不平行其中任何两条不平行,任何三条不过同一点任何三条不过同一点,证明证明交点的个数交点的个数f(n)f(n)等于等于n(n-1)/2.n(n-1)/2.证证:(1):(1)当当n=2n=2时时,两条直线两条直线的交点只有的交点只有1 1个个,又又f(2)=2f(2)=2(2-1)/2=1,(2-1)/2=1,因此因此,当当n=2n=2时命题成立时命题成立.(2)(2)假设当假设当n=k(kn=k(k2)2)时命题成立时命题成立
7、,就是说就是说,平面内满足平面内满足 题设的任何题设的任何k k条直条直线线的交点个数的交点个数f(k)f(k)等于等于k(k-1)/2.k(k-1)/2.以下来考虑平面内有以下来考虑平面内有k+1k+1条直线的情况条直线的情况.任取其中任取其中的的1 1条直线条直线,记作记作l.l.由归纳假设由归纳假设,除除l l以外的其他以外的其他k k条直线的条直线的交点个交点个数数f(k)f(k)等于等于k(k-1)/2.k(k-1)/2.另外另外,因为已知任何两条直线不平行因为已知任何两条直线不平行,所以直线所以直线l l必与平面内其他必与平面内其他k k条直线都相交条直线都相交,有有k k个交点个
8、交点.又因为已知任何三条直线不过同一点又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的所以上面的k k个交点两两不相同个交点两两不相同,且与平面内其他的且与平面内其他的k(k-1)/2k(k-1)/2个个交点也两两不相同交点也两两不相同.从而平面内交点的个数是从而平面内交点的个数是k(k-1)/2+k=k(k-1)+2/2=(k+1)(k+1)-1/2.k(k-1)/2+k=k(k-1)+2/2=(k+1)(k+1)-1/2.这就是说这就是说,当当n=k+1n=k+1时时,k+1k+1条直线的条直线的交点个数为交点个数为:f(k+1)=(k+1)(k+1)-1/2.f(k+1)=(k+1)(k+1
9、)-1/2.根据根据(1)(1)、(2)(2)可知可知,命题对一切大于命题对一切大于1 1的正整数都的正整数都 成立成立.说明说明:用数学归纳法证明几何问题用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当重难点是处理好当 n=k+1n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立时利用假设结合几何知识证明命题成立.注注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论在上例的题设条件下还可以有如下二个结论:(1)(1)设这设这n n条直线互相分割成条直线互相分割成f(n)f(n)条线段或射线条线段或射线,-则则:f(n)=n:f(n)=n2 2.(2)(2)这这n n条直线把平面分成条直线把平面分成(n(n2 2
10、+n+2)/2+n+2)/2个区域个区域.练习练习1:1:凸凸n n边形有边形有f(n)f(n)条对角线条对角线,则凸则凸n+1n+1边形的对角线边形的对角线 -的条的条数数f(n+1)=f(n)+_.f(n+1)=f(n)+_.n-1n-1练习练习2:2:设有通过一点的设有通过一点的k k个平面个平面,其中任何三个平面或其中任何三个平面或 三个以上的平面不共有一条直线三个以上的平面不共有一条直线,这这k k个平面将个平面将 空间分成空间分成f(k)f(k)个区域个区域,则则k+1k+1个平面将空间分成个平面将空间分成 f(k+1)=f(k)+_f(k+1)=f(k)+_个区域个区域.2k2k
11、例例4求证：对于任意的自然数求证：对于任意的自然数n，代数式，代数式11n+1+122n-1能能被被133整除整除.证明：证明：(1)n=1时，时，112+12=133能被能被133整除；整除；(2)假设假设n=k 时时11k+1+122k-1能被能被133整除整除 则当则当n=k+1时，时，11k+2+122k+1=由（由（1）、（）、（2）可知）可知能被能被133整除整除 11k+111+11122k-1 -11122k-1+122k+1 =11(假设假设)+122k-1(122-11)六六.归纳、类比、猜想、证明归纳、类比、猜想、证明3.是否存在实数a,b,c，使得等式对一切自然数n都成立？并证明你的结论。a=3,b=11,c=10考试热点数列an中，sn=2n-an计算a1，a2，a3，a4，并猜想an；用数学归纳法证明你的猜想。