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1、其次章其次章 推理与证明推理与证明其次章其次章 推理与证明推理与证明2.2.1 2.2.1 综合法与分析法综合法与分析法1 1、了解综合法的思索过程、特点、了解综合法的思索过程、特点、了解综合法的思索过程、特点、了解综合法的思索过程、特点,会用综合法证会用综合法证会用综合法证会用综合法证明题目明题目明题目明题目.2 2、了解分析法的分析思路、了解分析法的分析思路、了解分析法的分析思路、了解分析法的分析思路,会用分析法证明题目会用分析法证明题目会用分析法证明题目会用分析法证明题目.3 3、能用分析法分析证题思路、能用分析法分析证题思路、能用分析法分析证题思路、能用分析法分析证题思路,用综合法书写
2、证明用综合法书写证明用综合法书写证明用综合法书写证明过程过程过程过程.应用应用:1 1、证明不等式、证明不等式2 2、证明等式、证明等式内容：内容：本课主要学习综合法与分析法。通过两个引例动身,引入综合法与分析法,通过对比驾驭它们证题的特点,并总结出它们之间的区分与联系,为在实际问题中分析问题找寻解题方法做好铺垫.重点:会用综合法和分析法证明问题;了解综合法与分析法的思索过程.难点:依据问题的特点,结合综合法与分析法的思索过程、特点,选择适当的证明方法.本课选用了两个例题。例题设置难易适度,每个例题后有针对性的练习,便于学生巩固和驾驭,且第一个例题与变式训练分别用分析法和综合法来证明,让学生真
3、正体会两种方法的优点与作用，另外,其次个例题可以用综合法，也可以用分析法,从而熬炼学生灵敏应用方法解决问题的实力.接受一讲一练针对性讲解的方式，重点理解综合法与分析法的应用。通过观看视频，大家一起探讨一下我们应当如何测的恒星之间的距离呢？如何测的恒星之间的距离复习复习推 理合情推理（或然性推理）演绎推理（必然性推理）归纳(特殊到一般）类比（特殊到特殊）三段论（一般到特殊）合情推理是发现的方法，演绎推理是数学中严格证明的工具.怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的.今天,我们就来认识一些基本的证明方法 v合情推理得到的结论是不行靠的，合情推理得到的结论是不行靠的，须要证明须要证明.数学中证明的
4、方法有哪些数学中证明的方法有哪些呢？呢？引例一:证明不等式:证法1:由证法2:由 证法证法2是从已经成立的事实动身是从已经成立的事实动身,经过正确推理经过正确推理,得到要证的结论得到要证的结论.-综合法综合法引例二:求证分析:从待证不等式不易发觉证明的动身点,因此我们干脆从待证不等式动身,分析其成立的充分条件.在本例中在本例中,由于我们很难想到从由于我们很难想到从“210,b0)的证明.证明:因为;所以所以所以 成立证明:要证只需证只需证只需证因为 成立所以 成立还原成综合法：证明:因为;所以 当且仅当a=b时取等号所以所以 成立证明:要证只需证只需证而当且仅当 成立所以 成立综合法：证明：方
5、法一（分析法）证明:要证只需证只需证只需证即只需证而由已知条件可知显然成立，所以命题得证.方法二（综合法）证明:即即由条件可知 即 ，所以命题得证.例例2 2：在在中中，三三个个内内角角、对对应应的的边边分分别别为为a a、b b、c c，且且、成成等等差差数数列列，a a、b b、c c成等比数列，求证成等比数列，求证为等边三角形为等边三角形证明：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言。还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来1.学问与技能:(1)综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最终推导出所
6、要证明的结论成立.(2)分析法：从要证明的结论动身，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最终，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）.(3)综合法与分析法的区分：综合法是从已知条件动身，逐步推向未知，每步找寻的是必要条件；分析法是从待求结论动身，逐步靠拢已知，每步找寻的是充分条件.2.思想与方法:顺推与逆推的思想.2.2 2.2 干脆证明与间接证明干脆证明与间接证明2.2.2 2.2.2 反反 证证 法法反证法反证法内容：反证法的概念、步骤应用:1.干脆证明难以下手的命题干脆证明难以下手的命题2.“2.“至少至少”、“至多至多”型命题型命题3.否定性命题否定性命
7、题4.某些存在性命题某些存在性命题 本课主要学习反证法。反证法是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相冲突的结论.本课以视频王戎的故事引入新课，从生活实例抽象出反证法的概念、步骤.让学生感受到了反证法到处可在，也从这些具体的例子中更加熟悉反证法的步骤.并能利用反证法解决简洁的问题.证明方法的选择，以及如何发觉证明思路是本课的难点.由于学生的实际状况不同，且本节内容涉及过多以往学问点的应用，建议老师在运用本课件时灵敏驾驭.在讲解并描述反证法的应用时，接受例题与变式结合的方法，通过例1和
8、变式1,让学生明白:当干脆证明命题难以下手时，变更其思维方向，从反面进行思索，问题可能解决得特殊干脆。通过例2和例3,告知学生:“至少”、“至多”型命题常用反证法.接受一讲一练针对性讲解的方式，重点理解和巩固反证法的运用方法.1.干脆证明的两种基本证法：综合法和分析法2.这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果执果索因3、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程综合法已知条件结论分析法结论 已知条件 路边苦李路边苦李 古古时时候候有有个个人人叫叫王王戎戎，7 7岁岁那那年年的的某某天天，他他和和小小伙伙伴伴在在路路边边玩玩，望望见见一一颗颗李李子子树树上上的的果
9、果实实多多得得把把树树枝枝都都快快压压断断了了，小小伙伙伴伴们们都都跑跑去去摘摘，只只有有王王戎戎站站着着没没动动.他他说说：“李李子子是是苦苦的的，我我不不吃吃.”.”小小伙伙伴伴摘摘来来一一尝尝，李李子子果果真真苦苦的的没没法法吃吃.小小伙伙伴伴问问王王戎戎：“这就怪了！你又没吃怎么知道李子是苦的啊？这就怪了！你又没吃怎么知道李子是苦的啊？”王王戎戎说说：“假假如如李李子子是是甜甜的的，树树长长在在路路边边，李李子子早早就就没没有有了了！李李子子现现在在还还这这么么多多，所所以以啊啊，确确定定李李子子是是苦苦的的，不不好好吃吃！”王戎推断李子是苦涩的道理和你的方法一样吗？是什么方法？反证法
10、是我们常见的一种证明方法，它隶属于间接证明，今日我们就来一起探讨反证法在证明问题中的应用.反证法反证法路边苦李路边苦李（1）假如有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在同一只鸽笼，对吗？（2）A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？分析:假设C没有撒谎,则A、B都撒谎.由A撒谎,知B没有撒谎.那么假设C没有撒谎不成立,则C必定是在撒谎.这与B撒谎冲突.把这种不是干脆从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明注：反证法是最常见的间接证法，反证法：假设命题结论的反面成立反证法：假设命题结论的反面成立,经过经过正确的推理正确的推理,引出冲突，因此说
11、明假设错引出冲突，因此说明假设错误误,从而证明原命题成立从而证明原命题成立,这样的的证明方这样的的证明方法叫反证法法叫反证法.（归谬法）（归谬法）反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反 例例1 1：求证：求证：是无理数。是无理数。解析：干脆证明难以下手的命题，变更解析：干脆证明难以下手的命题，变更其思维方向，从反面进行思索，问题可其思维方向，从反面进行思索，问题可能解决得特殊干脆。能解决得特殊干脆。例1：求证：是无理数。证明：假设 是有理数则存在互质的整数m,n使得反证法的证明过程：否定结论推出冲突确定结论，即分三个步骤：反设归谬存真反设假设命题的结论不成立；存真由冲突结果，断定
12、反设不成立，从而 确定原结论成立。归谬从假设动身，经过一系列正确的推理，得出冲突；用反证法证明命题的过程用框图表示为：确定条件否定结论导 致逻辑冲突反设 不成立结论成立所以假设错误，故原命题所以假设错误，故原命题成立成立证明证明:假设假设不大于不大于则则或或因为因为所以所以否定要全面例例2 2 已知已知a0a0，证明，证明x x的方程的方程ax=bax=b有且只有一个根。有且只有一个根。注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,是唯一性问题,常用反证法 不妨设方程的两根分别为不妨设方程的两根分别为证：证：由于由于 ，因此方程至少有一个根，因此方程至少有一个根假设方程假设方程 至少存在两个根。至
13、少存在两个根。则：则：与已知与已知 冲突，故假设不成立，结论成立。冲突，故假设不成立，结论成立。例例3 3：已知已知x0,y0 x0,y0，x+y 2x+y 2，求证：求证：中至少有一个小于中至少有一个小于2 2。分析：所谓至少有一个,就是不行能没有,要证“至少有一个”只要证明它的反面“全部都”不成立刻可.注:“至少”、“至多”型命题常用反证法 常见否定用语常见否定用语是是不是不是 有有没有没有等等不等不等 成立成立不成立不成立都是都是不都是，即至少有一个不是不都是，即至少有一个不是都有都有不都有，即至少有一个没有不都有，即至少有一个没有都不是都不是部分或全部是，即至少有一个是部分或全部是，即
14、至少有一个是唯一唯一至少有两个至少有两个至少有一个有（是）至少有一个有（是）全部没有（不是）全部没有（不是）至少有一个不至少有一个不全部都全部都 应用反证法的情形：(1)干脆证明困难;(2)需分成很多类进行探讨(3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”类命题；(4)结论为“唯一”类命题；正难则反正难则反!三个步骤：三个步骤：反设反设归谬归谬存真存真归缪冲突：归缪冲突：（1 1）与已知条件冲突；）与已知条件冲突；（2 2）与已有公理、定理、定义冲突；）与已有公理、定理、定义冲突；（3 3）自相冲突。）自相冲突。一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，一般地，假设原命题不成立（即在原命题
15、的条件下，结论不成立），结论不成立），经过正确的推理，经过正确的推理，最终得出冲突。最终得出冲突。因此说明假设错误，从而证明白原命题成立，因此说明假设错误，从而证明白原命题成立，这样的证明方法叫做这样的证明方法叫做反证法反证法。推推理理与与证证明明推理推理证明证明合情推理合情推理演绎推理演绎推理干脆证明干脆证明间接证明间接证明类比推理类比推理归纳推理归纳推理 分析法分析法 综合法综合法 反证法反证法已知：已知：整数整数a的平方能被的平方能被2整除，整除，求证：求证：a是偶数。是偶数。证明：假设a不是偶数，则a是奇数，不妨设a=2n+1(n是整数)a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1 a2是奇数，与已知冲突。假设不成立，所以a是偶数。