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1、第二章第二章 推理推理(tul)(tul)与证与证明明第一页，共44页。第二章第二章 推理推理(tul)(tul)与证明与证明2.2.1 2.2.1 综合法与分析法综合法与分析法第二页，共44页。1、了解、了解(lioji)综合法的思考过程、特点综合法的思考过程、特点,会用综会用综合法证明题目合法证明题目.2、了解、了解(lioji)分析法的分析思路分析法的分析思路,会用分析法证会用分析法证明题目明题目.3、能用分析法分析证题思路、能用分析法分析证题思路,用综合法书写证明用综合法书写证明过程过程.应用应用(yngyng):1 1、证明、证明(zhngmng)(zhngmng)不等式不等式2 2
2、、证明、证明(zhngmng)(zhngmng)等式等式内容：内容：第三页，共44页。本课主要学习综合法与分析(fnx)法。通过两个引例出发,引入综合法与分析(fnx)法,通过对比掌握它们证题的特点,并总结出它们之间的区别与联系,为在实际问题中分析(fnx)问题寻找解题方法做好铺垫.重点:会用综合法和分析(fnx)法证明问题;了解综合法与分析(fnx)法的思考过程.难点:根据问题的特点,结合综合法与分析(fnx)法的思考过程、特点,选择适当的证明方法.本课选用了两个例题。例题设置难易适度,每个例题后有针对性的练习,便于学生巩固和掌握,且第一个例题与变式训练分别用分析(fnx)法和综合法来证明,
3、让学生真正体会两种方法的优点与作用，另外,第二个例题可以用综合法，也可以用分析(fnx)法,从而锻炼学生灵活应用方法解决问题的能力.采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解综合法与分析(fnx)法的应用。第四页，共44页。通过观看(gunkn)视频，大家一起讨论一下我们应该如何测的恒星之间的距离呢？如何测的恒星(hngxng)之间的距离第五页，共44页。复习复习(fx)推 理合情推理（或然性推理）演绎推理（必然性推理）归纳(特殊到一般）类比（特殊到特殊）三段论（一般到特殊）合情推理是发现的方法，演绎推理是数学中严格证明的工具.怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的.今天,我们就来认识一些基本的
4、证明方法 第六页，共44页。v合情推理得到的结论是不可靠的，需合情推理得到的结论是不可靠的，需要证明要证明.数学数学(shxu)中证明的方法中证明的方法有哪些呢？有哪些呢？第七页，共44页。引例一:证明不等式:证法1:由证法(zhn f)2:由 证法证法2是从已经成立的事实出发是从已经成立的事实出发,经过正确推理经过正确推理,得到得到(d do)要证的结论要证的结论.-综合法综合法第八页，共44页。引例二:求证分析(fnx):从待证不等式不易发现证明的出发点,因此我们直接从待证不等式出发,分析(fnx)其成立的充分条件.在本例中在本例中,由于我们很难想到从由于我们很难想到从“210,b0)的证
5、明.证明:因为(yn wi);所以所以所以 成立证明:要证只需证只需证只需证因为(yn wi)成立所以 成立还原成综合法：第十四页，共44页。证明(zhngmng):因为;所以 当且仅当a=b时取等号所以所以 成立证明:要证只需证只需证而当且仅当 成立(chngl)所以 成立(chngl)综合法：第十五页，共44页。证明(zhngmng)：方法一（分析法）证明:要证只需证只需证只需证即只需证而由已知条件可知显然成立，所以命题得证.方法(fngf)二（综合法）证明:即即由条件可知 即 ，所以命题得证.第十六页，共44页。例例2 2：在在中中，三三个个内内角角(ni(ni jio)jio)、对对应
6、应的的边边分分别别为为a a、b b、c c，且且、成成等等差差数数列列，a a、b b、c c成等比数列，求证成等比数列，求证为等边三角形为等边三角形第十七页，共44页。证明：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言。还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确(mngqu)表示出来第十八页，共44页。第十九页，共44页。1.知识与技能:(1)综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.(2)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件(chn fn tio jin)，直至最后
7、，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）.(3)综合法与分析法的区别：综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件(chn fn tio jin).2.思想与方法:顺推与逆推的思想.第二十页，共44页。第二十一页，共44页。第二十二页，共44页。第二十三页，共44页。第二十四页，共44页。第二十五页，共44页。2.2 2.2 直接证明与间接直接证明与间接(jin(jin ji)ji)证明证明2.2.2 2.2.2 反反 证证 法法第二十六页，共44页。反证法反证法内容(nirng)：反
8、证法的概念、步骤应用(yngyng):1.直接证明难以下手直接证明难以下手(xi shu)的命题的命题2.“2.“至少至少”、“至多至多”型命题型命题3.否定性命题否定性命题4.某些存在性命题某些存在性命题第二十七页，共44页。本课主要学习反证法。反证法是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾的结论.本课以视频王戎的故事引入新课，从生活实例抽象出反证法的概念、步骤.让学生感受到了反证法处处可在，也从这些具体的例子中更加熟悉反证法的步骤.并能利用反证法解决简单的问题.证明方法的选择
9、，以及如何发现证明思路是本课的难点.由于学生的实际情况不同，且本节内容(nirng)涉及过多以往知识点的应用，建议教师在使用本课件时灵活掌握.在讲述反证法的应用时，采用例题与变式结合的方法，通过例1和变式1,让学生明白:当直接证明命题难以下手时，改变其思维方向，从反面进行思考，问题可能解决得十分干脆。通过例2和例3,告诉学生:“至少”、“至多”型命题常用反证法.采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解和巩固反证法的运用方法.第二十八页，共44页。1.直接证明的两种基本(jbn)证法：综合法和分析法2.这两种基本证法(zhn f)的推证过程和特点：由因导果执果索因3、在实际解题时，两种方法如何(r
10、h)运用？通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程综合法已知条件结论分析法结论 已知条件 第二十九页，共44页。路边苦李路边苦李 古古时时候候有有个个人人叫叫王王戎戎，7 7岁岁那那年年的的某某天天，他他和和小小伙伙伴伴在在路路边边玩玩，看看见见一一颗颗李李子子(l(l zi)zi)树树上上的的果果实实多多得得把把树树枝枝都都快快压压断断了了，小小伙伙伴伴们们都都跑跑去去摘摘，只只有有王王戎戎站站着着没没动动.他他说说：“李李子子(l(l zi)zi)是是苦苦的的，我我不不吃吃.”.”小小伙伙伴伴摘摘来来一一尝尝，李李子子(l(l zi)zi)果果然然苦苦的的没没法法吃吃.小小伙伙伴伴问问王王
11、戎戎：“这这就就怪了！你又没吃怎么知道李子怪了！你又没吃怎么知道李子(l zi)(l zi)是苦的啊？是苦的啊？”王王戎戎说说：“如如果果李李子子(l(l zi)zi)是是甜甜的的，树树长长在在路路边边，李李子子(l(l zi)zi)早早就就没没有有了了！李李子子(l(l zi)zi)现现在在还还这这么么多多，所所以以啊啊，肯肯定定李李子子(l(l zi)zi)是苦的，不好吃！是苦的，不好吃！”王戎推断李子(l zi)是苦涩的道理和你的方法一样吗？是什么方法？反证法是我们常见的一种证明(zhngmng)方法，它隶属于间接证明(zhngmng)，今天我们就来一起探讨反证法在证明(zhngmng)
12、问题中的应用.反证法反证法路边苦李路边苦李第三十页，共44页。（1）如果有5只鸽子(g zi)飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子(g zi)在同一只鸽笼，对吗？（2）A、B、C三个人，A说B撒谎(s hung)，B说C撒谎(s hung)，C说A、B都撒谎(s hung)。则C在撒谎(s hung)吗？为什么？分析:假设(jish)C没有撒谎,则A、B都撒谎.由A撒谎,知B没有撒谎.那么假设C没有撒谎不成立,则C必定是在撒谎.这与B撒谎矛盾.把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明注：反证法是最常见的间接证法，第三十一页，共44页。反证法：假设命题结论的反面反证法：假设命题
13、结论的反面(fnmin)(fnmin)成成立立,经过正确的推理经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假引出矛盾，因此说明假设错误设错误,从而证明原命题成立从而证明原命题成立,这样的的证明这样的的证明方法叫反证法方法叫反证法.（归谬法）（归谬法）反证法的思维反证法的思维(swi)(swi)方法：正难方法：正难则反则反第三十二页，共44页。例1：求证(qizhng)：是无理数。解析：直接证明难以下手解析：直接证明难以下手(xi shu)(xi shu)的的命题，改变其思维方向，从反面进行思命题，改变其思维方向，从反面进行思考，问题可能解决得十分干脆。考，问题可能解决得十分干脆。第三十三页，共44页。例
14、例1 1：求证：求证(qizhng)(qizhng)：是无理数。是无理数。证明：假设 是有理数则存在互质的整数(zhngsh)m,n使得第三十四页，共44页。反证法的证明(zhngmng)过程：否定结论(jiln)推出矛盾肯定结论(jiln)，即分三个步骤：反设归谬存真反设假设命题(mng t)的结论不成立；存真由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立。归谬从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；用反证法证明命题的过程用框图表示为：肯定条件否定结论导 致逻辑矛盾反设 不成立结论成立第三十五页，共44页。所以假设错误，故原命题所以假设错误，故原命题成立成立证明证明(zhngmng):
15、(zhngmng):假设假设不大于不大于则则或或因为因为(yn(yn wi)wi)所以所以(suy(suy)否定要全面第三十六页，共44页。例例2 2 已知已知a0a0，证明，证明x x的方程的方程ax=bax=b有且只有有且只有(zhyu)(zhyu)一个一个根。根。注:结论(jiln)中的有且只有(有且仅有)形式出现,是唯一性问题,常用反证法 不妨不妨(bfng)设方程的两根分别为设方程的两根分别为证：证：由于由于 ，因此方程至少有一个根，因此方程至少有一个根假设方程假设方程 至少存在两个根。至少存在两个根。则：则：与已知与已知 矛盾，故假设不成立，结论成立。矛盾，故假设不成立，结论成立。
16、第三十七页，共44页。例例3 3：已知：已知x0,y0 x0,y0，x+y 2x+y 2，求证求证(qizhng)(qizhng)：中至少有一个中至少有一个小于小于2 2。分析：所谓至少有一个,就是不可能没有,要证“至少有一个”只要证明它的反面(fnmin)“所有都”不成立即可.注:“至少”、“至多(zhdu)”型命题常用反证法 第三十八页，共44页。常见常见(chn jin)否定用语否定用语是不是是不是 有没有有没有等不等等不等 成立成立(chngl)不成不成立立(chngl)都是不都是，即至少有一个不是都是不都是，即至少有一个不是都有不都有，即至少有一个没有都有不都有，即至少有一个没有都不
17、是部分或全部是，即至少有一个是都不是部分或全部是，即至少有一个是唯一至少有两个唯一至少有两个至少有一个有（是）全部没有（不是）至少有一个有（是）全部没有（不是）至少有一个不全部都至少有一个不全部都第三十九页，共44页。应用反证法的情形：(1)直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论(3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷(wqing)多个”类命题；(4)结论为“唯一”类命题；正难则反正难则反!第四十页，共44页。三个步骤三个步骤(bzhu)(bzhu)：反设：反设归归谬谬存真存真归缪矛盾：归缪矛盾：（1 1）与已知条件）与已知条件(tiojin)(tiojin)矛盾；矛盾；（2 2）与已有公理
18、、定理、定义矛盾；）与已有公理、定理、定义矛盾；（3 3）自相矛盾。）自相矛盾。一般一般(ybn)地，假设原命题不成立（即在原命题的条地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），件下，结论不成立），经过正确的推理，经过正确的推理，最后得出矛盾。最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做这样的证明方法叫做反证法反证法。第四十一页，共44页。推推理理(t(tuull)与与证证明明推理推理(tu(tul)l)证明证明(zh(zhngmngmng)ng)合情推理合情推理演绎推理演绎推理直接证明直接证明间接证明间接证明类比推理类比推理归纳推理归纳推理 分析法分析法 综合法综合法 反证法反证法第四十二页，共44页。已知：整数已知：整数a的平方能被的平方能被2整除整除(zhngch)，求证：求证：a是偶数。是偶数。证明：假设a不是(b shi)偶数，则a是奇数，不妨设a=2n+1(n是整数)a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1 a2是奇数，与已知矛盾。假设不成立，所以a是偶数。第四十三页，共44页。第四十四页，共44页。