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1、知识梳理典例题组栏目索引课标版课标版 理数理数 11.1推理与证明推理与证明知识梳理典例题组栏目索引1.合情推理(1)归纳推理(i)定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象知识梳理知识梳理都具有这些特征的推理.(ii)分类:完全归纳和不完全归纳.(iii)特点:是由部分到整体、由个别到一般的推理.知识梳理典例题组栏目索引(2)类比推理(i)定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理.(ii)特点:是由特殊到特殊的推理.2.演绎推理(1)模式知识梳理典例题组栏目索引(2)特点是由一般到特殊的推理.3.直接证明(1)综合法
2、(i)定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.知识梳理典例题组栏目索引(ii)框图表示:PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ(其中P表示条件,Q表示要证结论).(2)分析法(i)定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫分析法.(ii)框图表示:QP1P1P2P2P3得到一个明显成立的条件.4.间接证明(反证法):假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的
3、证明方法叫反证法.知识梳理典例题组栏目索引5.数学归纳法的步骤(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立;(2)(归纳递推)假设n=k(kn0,kN*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.只要完成以上两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.知识梳理典例题组栏目索引1.锐角三角形的面积等于底乘高的一半;直角三角形的面积等于底乘高的一半;钝角三角形的面积等于底乘高的一半.所以,凡是三角形的面积都等于底乘高的一半.以上推理运用的推理规则是()A.三段论推理B.假言推理C.关系推理D.完全归纳推理答案D本题列举了所有的情况,因此是完全归纳推理,故选D.知识梳
4、理典例题组栏目索引2.类比代数式的乘法法则推导向量的数量积的运算法则:类比“mn=nm”得到“ab=ba”;类比“(m+n)t=mt+nt”得到“(a+b)c=ac+bc”;类比“(mn)t=m(nt)”得到“(ab)c=a(bc)”;类比“t0,mt=xtm=x”得到“p0,ap=xpa=x”;类比“|mn|=|m|n|”得到“|ab|=|a|b|”;类比“=”得到“=”.以上式子中,类比得到的结论正确的个数是()A.1B.2C.3D.4答案B只有、对,其余错误,故选B.知识梳理典例题组栏目索引3.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”,假设正确的是()A.假设三个内角都
5、不大于60度B.假设三个内角都大于60度C.假设三个内角至多有一个大于60度D.假设三个内角至多有两个大于60度答案B根据反证法的定义,假设是对原命题结论的否定,故假设三个内角都大于60度.故选B.知识梳理典例题组栏目索引4.观察下列不等式:1,1+1,1+,1+2,1+,由此猜测第n(nN*)个不等式为.答案1+解析因为3=22-1,7=23-1,15=24-1,所以可猜测第n个不等式为1+.知识梳理典例题组栏目索引5.用数学归纳法证明等式1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,当n=1时,左边表达式是;从kk+1需增添的项是.答案1+2+3;4k+5(或(2k+2)+(2k+3
6、)解析因为用数学归纳法证明等式1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,当n=1时,2n+1=3,所求左边表达式是1+2+3;从kk+1需增添的项是4k+5(或(2k+2)+(2k+3).知识梳理典例题组栏目索引典例1(1)(2014课标,14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.(2)(2014陕西,14,5分)观察分析下表中的数据:典例题组典例题组合情推理与演绎推理知识梳理典例题组栏目索引多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五
7、棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.知识梳理典例题组栏目索引答案(1)A(2)F+V-E=2解析(1)由于甲、乙、丙三人去过同一城市,而甲没有去过B城市,乙没有去过C城市,因此三人去过的同一城市应为A,而甲去过的城市比乙多,但没去过B城市,所以甲去过的城市数应为2,乙去过的城市应为A.(2)观察表中数据,并计算F+V分别为11,12,14,又其对应E分别为9,10,12,容易观察并猜想F+V-E=2.知识梳理典例题组栏目索引1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结论,在证明一个数学结论之前,合情推理常常
8、能为证明提供思路与方向.2.演绎推理是从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理方法,是由一般到特殊的推理,常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.3.合情推理仅是“合乎情理”的推理,它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).知识梳理典例题组栏目索引1-1观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,则a10+b10=()A.28B.76C.123D.199答案C解析观察给出的式子知,从第三个式子开始,每一个式子右端的值等于它前面两个式子右端值的和,照此规律,得a10+b10=
9、123.知识梳理典例题组栏目索引1-2(2014江西南昌模拟,12)在平面上,若两个正三角形的边长比为12,则它们的面积比为14,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为12,则它们的体积比为.答案18解析两个正三角形是相似三角形,它们的面积比是相似比的平方.同理,两个正四面体是两个相似几何体,体积比为相似比的立方,它们的体积比为18.知识梳理典例题组栏目索引典例2(1)(2014山东,4,5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多
10、有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根(2)(2014辽宁,21,12分)已知函数f(x)=(cosx-x)(+2x)-(sinx+1),g(x)=3(x-)cosx-4(1+sinx)ln.证明:直接证明与间接证明知识梳理典例题组栏目索引存在唯一x0,使f(x0)=0;存在唯一x1,使g(x1)=0,且对(1)中的x0,有x0+x1.答案(1)A解析(1)因为“方程x3+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x3+ax+b=0的实根的个数大于或等于1”,因此,要做的假设是方程x3+ax+b=0没有实根.(2)证明:当x时,f(x)=-(1+sinx)(+2x)-2x-cosx0
11、,f=-2-0,当t时,u(t)0,所以u(t)在(0,x0上无零点.在上u(t)为减函数,由u(x0)0,u=-4ln20,故g(x)=(1+sinx)h(x)与h(x)有相同的零点,所以存在唯一的x1,使g(x1)=0.因x1=-t1,t1x0,所以x0+x10,存在唯一的s,使t=f(s);(3)设(2)中所确定的s关于t的函数为s=g(t),证明:当te2时,有.解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+).f(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1),令f(x)=0,得x=.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:知识梳理典例题组栏目索引xf(x)-0+f(x)极小值知识梳理典
12、例题组栏目索引所以函数f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是.(2)证明:当00,令h(x)=f(x)-t,x1,+).由(1)知,h(x)在区间(1,+)内单调递增.h(1)=-t0.故存在唯一的s(1,+),使得t=f(s)成立.(3)证明:因为s=g(t),由(2)知,t=f(s),且s1,从而=,其中u=lns.要使成立,只需0lnue2时,若s=g(t)e,则由f(s)的单调性,有t=f(s)f(e)=e2,矛盾.所以se,即u1,从而lnu0成立.另一方面,令F(u)=lnu-,u1.F(u)=-,令F(u)=0,得u=2.当1u0;当u2时,F(u)1,F(u)F(2)0.因此
13、lnue2时,有.知识梳理典例题组栏目索引典例3(2014重庆,22,12分)设a1=1,an+1=+b(nN*).(1)若b=1,求a2,a3及数列an的通项公式;(2)若b=-1,问:是否存在实数c使得a2nca2n+1对所有nN*成立?证明你的结论.解析(1)解法一:a2=2,a3=+1.由题设条件知(an+1-1)2=(an-1)2+1.从而(an-1)2是首项为0,公差为1的等差数列,故(an-1)2=n-1,即an=+1(nN*).解法二:a2=2,a3=+1,可写为a1=+1,a2=+1,a3=+1.数学归纳法的应用知识梳理典例题组栏目索引因此猜想an=+1.下用数学归纳法证明上
14、式:当n=1时结论显然成立.假设n=k时结论成立,即ak=+1,则ak+1=+1=+1=+1.这就是说,当n=k+1时结论成立.所以an=+1(nN*).(2)解法一:设f(x)=-1,则an+1=f(an).令c=f(c),即c=-1,解得c=.下面用数学归纳法证明命题a2nca2n+11成立.知识梳理典例题组栏目索引当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(0)=-1,所以a2a31,结论成立.假设n=k时结论成立,即a2kca2k+1f(a2k+1)f(1)=a2,即1ca2k+2a2.再由f(x)在(-,1上为减函数得c=f(c)f(a2k+2)f(a2)=a31.故ca2k+31,因
15、此a2(k+1)ca2(k+1)+11.这就是说,当n=k+1时结论成立.综上,符合条件的c存在,其中一个值为c=.解法二:设f(x)=-1,则an+1=f(an).知识梳理典例题组栏目索引先证:0an1(nN*).当n=1时,结论明显成立.假设n=k时结论成立,即0ak1.易知f(x)在(-,1上为减函数,从而0=f(1)f(ak)f(0)=-11.即0ak+11.这就是说,当n=k+1时结论成立.故成立.再证:a2na2n+1(nN*).当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(a2)=f(0)=-1,有a2a3,即n=1时成立.假设n=k时,结论成立,即a2kf(a2k+1)=a2k+2
16、,a2(k+1)=f(a2k+1)f(a2k+2)=a2(k+1)+1.这就是说,当n=k+1时成立.所以对一切nN*成立.由得a2n-1,即(a2n+1)2-2a2n+2,因此a2nf(a2n+1),即a2n+1a2n+2,所以a2n+1-1,解得a2n+1.综上,由、知存在c=使a2nc0,整数p1,nN*.(1)证明:当x-1且x0时,(1+x)p1+px;(2)数列an满足a1,an+1=an+.证明:anan+1.证明(1)用数学归纳法证明:当p=2时,(1+x)2=1+2x+x21+2x,原不等式成立.假设p=k(k2,kN*)时,不等式(1+x)k1+kx成立.当p=k+1时,(
17、1+x)k+1=(1+x)(1+x)k(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x.所以p=k+1时,原不等式也成立.综合可得,当x-1,x0时,对一切整数p1,不等式(1+x)p1+px均成立.知识梳理典例题组栏目索引(2)证法一:先用数学归纳法证明an.当n=1时,由题设a1知an成立.假设n=k(k1,kN*)时,不等式ak成立.由an+1=an+易知an0,nN*.当n=k+1时,=+=1+.由ak0得-1-1+p=.因此c,即ak+1.知识梳理典例题组栏目索引所以n=k+1时,不等式an也成立.综合可得,对一切正整数n,不等式an均成立.再由=1+可得1,即an+1an+1,nN*.证法二:设f(x)=x+x1-p,x,则xpc,并且f(x)=+(1-p)x-p=0,x.由此可得,f(x)在,+)上单调递增.因而,当x时,f(x)f()=,知识梳理典例题组栏目索引当n=1时,由a10,即c可知a2=a1+=a1,从而a1a2.故当n=1时,不等式anan+1成立.假设n=k(k1,kN*)时,不等式akak+1成立,则当n=k+1时,f(ak)f(ak+1)f(),即有ak+1ak+2.所以n=k+1时,原不等式也成立.综合可得,对一切正整数n,不等式anan+1均成立.