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1、专题15 推理与证明推理与证明推理与证明主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题31.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现题形式出现.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题等综合命题考情解读主干知识梳理1.合情推理合情推理(1)归纳推理归纳推理归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出归纳推理是由某类
2、事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理事实概括出一般结论的推理.归纳推理的思维过程如下：归纳推理的思维过程如下：实验实验、观察观察概括概括、推广推广猜测一般性结论猜测一般性结论(2)类比推理类比推理类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理的推理.类比推理的思维过程如下：类比推理的思维过程如下：观察观察、比较比较联想联想、类推类
3、推猜测新的结论猜测新的结论2.演绎推理演绎推理(1)“三段论三段论”是演绎推理的一般模式，包括：是演绎推理的一般模式，包括：大前提大前提已知的一般原理；已知的一般原理；小前提小前提所研究的特殊情况；所研究的特殊情况；结论结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断根据一般原理，对特殊情况做出的判断.(2)合情推理与演绎推理的区别合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理殊到特殊的推理；而演绎
4、推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.3.直接证明直接证明(1)综合法综合法用用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ(2)分析法分析法用用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
5、表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q P1P1 P2P2 P3得到一个明显得到一个明显成立的条件成立的条件4.间接证明间接证明反证法的证明过程可以概括为反证法的证明过程可以概括为“否定否定推理推理否否定定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题即肯定原命题)的过程的过程.用用反证法证明命题反证法证明命题“若若p，则，则q”的过程可以用如图所示的过程可以用如图所示的框图表示的框图表示.肯定条件肯定条件p否定结论否定结论q导致逻导致逻辑矛盾辑矛盾“既既p，又，又綈綈q”为假为假“若若
6、p，则，则q” 为真为真 热点一 归纳推理 热点二 类比推理 热点三 直接证明和间接证明热点分类突破例1(1)有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是六边形的个数是()热点一 归纳推理思维启迪 根据三个图案根据三个图案中的正六边形个中的正六边形个数寻求规律；数寻求规律；A.26 B.31C.32 D.36解析有菱形纹的正六边形个数如下表：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案图案123个数个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一由表可以看出有菱形
7、纹的正六边形的个数依次组成一个以个以6为首项，以为首项，以5为公差的等差数列，为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是65(61)31.故选故选B.答案B(2)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是则下列座位号码符合要求的应当是()A.48,49 B.62,63C.75,76 D.84,85思维启迪 靠窗口的座位靠窗口的座位号码能被号码能被5整除整除或者被或者被5除余除余
8、1.解析由已知图形中座位的排列顺序，可得：由已知图形中座位的排列顺序，可得：被被5除余除余1的数和能被的数和能被5整除的座位号临窗，整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的分析答案中的4组座位号，只有组座位号，只有D符合条件符合条件.答案D归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题
9、时有着广题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用泛的应用.其思维模式是其思维模式是“观察观察归纳归纳猜猜想想证明证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想，解题的关键在于正确的归纳猜想.思维升华变式训练1(1)四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上号位上(如图如图)，第一次前后排动物互换座位，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，这样交替进行下去，这样交替进行下去，那么第那么第202次互换座位后，小兔坐在第次互换座位后，小兔坐在第_号座位上号座位上.A.1 B.2 C.3 D.4解
10、析考虑小兔所坐的座位号，第一次坐在考虑小兔所坐的座位号，第一次坐在1号位上，号位上，第二次坐在第二次坐在2号位上，第三次坐在号位上，第三次坐在4号位上，第四次坐号位上，第四次坐在在3号位上，第五次坐在号位上，第五次坐在1号位上，号位上，因此小兔的座位数更换次数以因此小兔的座位数更换次数以4为周期，为周期，因为因为2025042，因此第，因此第202次互换后，小兔所在次互换后，小兔所在的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号相同，的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号相同，因此小兔坐在因此小兔坐在2号位上，故选号位上，故选B.答案B热点二 类比推理思维启迪 平面几何中的面积可类比到空间几何
11、中的体积；平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积；解析平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，所以所以热点三 直接证明和间接证明(1)求数列求数列an，bn的通项公式；的通项公式；思维启迪 利用已知递推式中的利用已知递推式中的特点构造数列特点构造数列1 ；由由anan10，知数列，知数列an的项正负相间出现，的项正负相间出现，(2)证明：数列证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列中的任意三项不可能成等差数列.思维启迪 否定性结论的证明可用反证法否定性结论
12、的证明可用反证法.证明假设存在某三项成等差数列，不妨设为假设存在某三项成等差数列，不妨设为bm、bn、bp，其中其中m、n、p是互不相等的正整数，可设是互不相等的正整数，可设mnp，那么只能有那么只能有2bnbmbp，所以假设不成立，那么数列所以假设不成立，那么数列bn中的任意三项不可中的任意三项不可能成等差数列能成等差数列.(1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可个结论不成立的例子即可.(2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后我们常用分析法寻找
13、解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用综合法交替使用.思维升华变式训练3(1)求数列求数列an的通项的通项an与前与前n项和项和Sn；所以数列所以数列bn中任意不同的三项都不可能成等比中任意不同的三项都不可能成等比数列数列.问题2用反证法证明命题用反证法证明命题“三角形三个内角至三角形三个内角至少有一个不大于少有一个不大于60”时，应假设时，应假设_.三角形三个内角三角形三个内角都大于都大于6012真题感悟1.(2014福建福建)若集合若集合a，b，c，d1,2,3,4，且下，且下列四个关系：列四个关系：a1；b1；
14、c2；d4.有且只有一个有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的的个数是个数是_.12真题感悟解析由题意知由题意知中有且只有一个正确，其中有且只有一个正确，其余三个均不正确，下面分类讨论满足条件的有序数余三个均不正确，下面分类讨论满足条件的有序数组组(a，b，c，d)的个数：的个数：(1)若若正确，即正确，即a1，则，则都错误，即都错误，即b1，c2，d4.其中其中a1与与b1矛盾，显然此种情况矛盾，显然此种情况不存在；不存在；12真题感悟(2)若若正确，即正确，即b1，则，则都错误，即都错误，即a1，c2，d4，则当，则当b2时，有时，有a
15、3，c1；当；当b3时，有时，有a2，c1，此时有，此时有2种有序数组种有序数组.(3)若若正确，即正确，即c2，则，则都错误，即都错误，即a1，b1，d4，则，则a3，即此种情况有，即此种情况有1种有序数组种有序数组.12真题感悟(4)若若正确，即正确，即d4，则，则都错误，即都错误，即a1，b1，c2，则当，则当d2时，有时，有a3，c4或或a4，c3，有，有2种有序数组；当种有序数组；当d3时，有时，有c4，a2，仅仅1种有序数组种有序数组.综上可得，共有综上可得，共有21216(种种)有序数组有序数组.答案6真题感悟212.(2014陕西陕西)观察分析下表中的数据：观察分析下表中的数据
16、：多面体多面体 面数面数(F)顶点数顶点数(V)棱数棱数(E)三棱柱三棱柱569五棱锥五棱锥6610立方体立方体6812猜想一般凸多面体中猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是所满足的等式是_.解析观察观察F，V，E的变化得的变化得FVE2.FVE2押题精练121.圆周上圆周上2个点可连成个点可连成1条弦，这条弦可将圆面划分条弦，这条弦可将圆面划分成成2部分；圆周上部分；圆周上3个点可连成个点可连成3条弦，这条弦，这3条弦可将条弦可将圆面划分成圆面划分成4部分；圆周上部分；圆周上4个点可连成个点可连成6条弦，这条弦，这6条弦最多可将圆面划分成条弦最多可将圆面划分成8部分部分.则则n个点连成的弦个点连成的弦最多可把圆面分成最多可把圆面分成_部分部分.()A.2n1 B.2nC.2n1 D.2n2押题精练12解析由已知条件得：由已知条件得：圆周上的点圆周上的点数数连成的弦数连成的弦数把圆面分成的部把圆面分成的部分数分数2 12212213 34222314 6823241