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1、第第3 3章章 离散时间信号与离散时间信号与系统的频域分析系统的频域分析 我们知道信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法时域分析方法和频率分析方法频率分析方法。在模拟领域中，信信号号一一般般用用连连续续变变量量时时间间t t的的函函数数表表示示，系系统统则则用用微分方程描述。微分方程描述。为为了了在在频频率率域域进进行行分分析析，用用拉拉普普拉拉斯斯变变换换和和傅傅里里叶变换将时间域函数转换到频率域。叶变换将时间域函数转换到频率域。时域离散信号和系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义，而系统则用差分方程描述。频域分析是用Z变换或傅里叶变换这一数学工具。其中傅里叶变换指的是
2、序列的傅里叶变换，它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的，但都是线性变换，很多性质是类似的。本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础。3.1 序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换3.2 序列的序列的Z变换变换 3.3 Z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理3.4 逆逆Z变换变换3.5 Z变换、傅里叶变换、拉普拉斯变换的变换、傅里叶变换、拉普拉斯变换的关系关系3.6系统函数与频率响应系统函数与频率响应补充内容补充内容:Fourier变换的几种可能形式变换的几种可能形式时间函数频率函数连续非周期非周期连续傅里叶变换（FT）
3、周期连续离散非周期傅里叶级数（FS）离散非周期周期连续序列的傅里叶变换周期离散离散周期离散傅里叶变换连续时间、连续频率傅里叶变换(FT)时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。连续时间、离散频率傅里叶级数(FS)时域连续函数造成频域是非周期的谱，时域周期函数造成频域的离散。离散时间、连续频率序列的傅里叶变换时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续离散时间、离散频率离散傅里叶变换一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此离散周期序列的傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的四种傅里叶变换形式的归纳时间函数时间函数频率函数频率函数连续和非周期
4、非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(0=2/T0)离散(T)和非周期周期(s=2/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(s=2/T)和离散(0=2/T0)3.1序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换的定义理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓,重复周期为重复周期为 s式是周期函数 的傅里叶级数展开式，xa（nT）是傅里叶级数展开式的系数。（）序列傅里叶变换的定义序列傅里叶变换的定义(3.1.4)为序列x(n)的傅里叶变换，可以用FT(FourierTransform)缩写字母表示。(3.1.3)上式即是FT的逆变换。(3.1.4)和(3.1.5
5、)式组成一对傅里叶变换公式。(3.1.5)FT成立的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：例3.1.1设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT解：设N=4，幅度与相位随变化曲线如图3.1所示。(3.1.1)图3.1R4(n)的幅度与相位曲线3.1.2 序列傅里叶变换的性质序列傅里叶变换的性质那么设式中a,b为常数2.时移与频移设X(ej)=FTx(n)，那么(3.1.6)(3.1.7)(3.1.8)1.线性3、FT的周期性(3.1.9)因此序列的傅里叶变换是频率的周期函数，周期是2。这样X(ej)可以展成傅里叶级数，其实3.1.4式已经是傅里叶级数的形式，x(n)是其系数。
6、因为所以4.FT的对称性在学习FT的对称性以前，先介绍什么是共轭对称与共轭反对称以及它们的性质。设序列xe(n)满足下式：xe(n)=x*e(-n)(3.1.10)则称xe(n)为共轭对称序列。为研究共轭对称序列具有什么性质，将xe(n)用其实部与虚部表示xe(n)=xer(n)+jxei(n)将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)对比上面两公式，左边相等，因此得到xer(n)=xer(-n)xei(n)=-xei(-n)(3.1.14)由上面两式得到共共轭轭对对称称序序列列其其实实部部是是偶偶函函数数，而而虚虚部部是是奇奇函函数数。类似地，可定
7、义满足下式的称共轭反对称序列xo(n)=-x*o(-n)(3.1.11)将xo(n)表示成实部与虚部如下式：xo(n)=xor(n)+jxoi(n)可以得到xor(n)=-xor(-n)xoi(n)=xoi(-n)(3.15)即共共轭轭反反对对称称序序列列的的实实部部是是奇奇函函数数，而而虚虚部是偶函数部是偶函数。例试分析x(n)=ejn的对称性解：将x(n)的n用-n代替，再取共轭得到：x*(-n)=ejn因此x(n)=x*(-n)，满足(3.10)式，x(n)是共轭对称序列，如展成实部与虚部，得到x(n)=cosn+jsinn由上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。对于一
8、般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即x(n)=xe(n)+xo(n)（3.1.17）式中xe(n),xo(n)可以分别用原序列x(n)求出，将(3.17)式中的n用-n代替，再取共轭得到x*(-n)=xe(n)-xo(n)（3.1.18）利用(3.1.17)和(3.1.18)两式，得到(3.1.19)(3.1.20)利用上面两式，可以分别求出xe(n)和xo(n)。对于频域函数X(ej)也有和上面类似的概念和结论：X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej)(3.1.21)式中Xe(ej)与Xo(ej)分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分，它们满足Xe(ej)=X*e(e-j)(3.1.2
9、2)Xo(ej)=-Xo*(e-j)(3.1.23)同样有下面公式满足：(3.1.24)(3.1.25)(a)将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)x(n)=xr(n)+jxi(n)将上式进行FT，得到X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej)式中上面两式中，xr(n)和xi(n)都是实数序列，容易证明Xe(ej)满足(3.1.22)式，有共轭对称性，它的实部是偶函数，虚部是奇函数。Xo(ej)满足(3.1.23)式，具有共轭反对称性质，其实部是奇函数，虚部是偶函数。最后得到结论：序序列列分分成成实实部部与与虚虚部部两两部部分分，实实部部对对称称的的FT具具有有共共轭轭对对称称性性，虚虚
10、部部和和j一一起起对对应应的的FT具有共轭反对称性。具有共轭反对称性。(b)将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即x(n)=xe(n)+xo(n)（3.1.26）将(3.19)式和(3.20)式重定如下：将上面两式分别进行FT，得到FTxe(n)=1/2X(ej)+X*(ej)=ReX(ej)=XR(ej)FTxo(n)=1/2X(ej)-X*(ej)=jImX(ej)=jXI(ej)因此对(3.26)式进行FT得到：X(ej)=XR(ej)+jXI(ej)(3.1.27)(3.1.27)式表表示示序序列列的的共共轭轭对对称称部部分分xe(n)对对应应着着FT的的实实部
11、部XR(ej)，而而序序列列的的共共轭轭反反对对称称部部分分xo(n)对对应着应着FT的虚部。的虚部。因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分He(ej)，共轭反对称部分为零。H(ej)=He(ej)H(ej)=H*(e-j)因此实序列的FT的实部是偶函数，虚部是奇函数，用公式表示为HR(ej)=HR(e-j)HI(ej)=-HI(e-j)按照(3.1.19)和(3.1.20)式得到h(n)=he(n)+ho(n)he(n)=1/2h(n)+h(-n)ho(n)=1/2h(n)-h(-n)因为h(n)是实因果序列，按照上面两式he(n)和ho(n)可以用下式表示：(3.1.28)(3.1.
12、29)实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为h(n)=he(n)u+(n)(3.1.30)h(n)=ho(n)u+(n)+h(o)(n)(3.1.31)(3.1.32)例x(n)=anu(n);0a1;求其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)。解：x(n)=xe(n)+xo(n)按(3.1.3)式得到按照(3.1.29)式得到图2.2.3例图5.时域卷积定理设y(n)=x(n)*h(n),Y(ej)=X(ej)H(ej)(3.1.33)证明令k=n-m该定理说明，两序列卷积的FT，服从相乘的关系。对于线性时不变系统输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应FT。因此求系统的输出信
13、号，可以在时域用卷积公式计算，也可以在频域按照(3.1.33)式，求出输出的FT，再作逆FT求出输出信号。6.频域卷积定理y(n)=x(n)h(n)(3.1.34)证明：7.帕斯维尔(Parseval)定理(3.1.35)帕斯维尔定理告诉我们，信号时域的总能量等于频域的总能量。要说明一下，这里频域总能量是指|X(ej)|2在一个周期中的积分再乘以1/(2)。最后，表3.1综合了FT的性质，这些性质在分析问题和实际应用中是很重要的。表3.1序列傅里叶变换的性质3.2序列的Z变换3.2.1Z变换的定义序列x(n)的Z变换定义为(3.2.1)式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。注意在定义中
14、，对n求和是在之间求和，可以称为双边Z变换。还有一种称为单边Z变换的定义，如下式(3.2.2)使(3.2.3)式成立，Z变量取值的域称为收敛域。一般收敛域用环状域表示这种单边Z变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。本书中如不另外说明，均用双边Z变换对信号进行分析和变换。(3.2.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即(3.2.3)图3.2.1Z变换的收敛域常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，
15、收敛域总是用极点限定其边界。对比序列的傅里叶变换定义(3.1.4)式，很容易得到FT和ZT之间的关系，用下式表示：(3.2.4)式中z=ej表示在z平面上r=1的圆，该圆称为单位圆。(3.2.4)式表明单单位位圆圆上上的的Z变变换换就就是是序序列列的的傅傅里里叶叶变变换换。如果已知序列的Z变换，可用(3.2.4)式，很方便的求出序列的FT，条件是收敛域中包含单位圆。例3.2.1x(n)=u(n)，求其Z变换。解：X(z)存在的条件是|z-1|1，|z|1由x(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。因此其傅里叶变换不存在，更不能用(3.2.4)式求FT。
16、该序列的FT不存在，但如果引进奇异函数()，其傅里叶变换可以表示出来。该例同时说明一一个个序序列列的的傅傅里里叶叶变变换换不不存存在，在，在一定收敛域内在一定收敛域内Z变换是存在的。变换是存在的。3.2.2序列特性对收敛域的影响序列的特性决定其Z变换收敛域，了解序列特性与收敛的一些一般关系，对使用Z变换是很有帮助的。1.有限长序列如序列x(n)满足下式：x(n)n1nn2x(n)=0其它即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零，此范围之外序列值为零，这样的序列称为有限长序列。其Z变换为设x(n)为有界序列，由于是有限项求和，除0与点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个z平面均收敛。如果n1
17、0，则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列（n0,x(n)=0），收敛域包括z=点。具体有限长序列的收敛域表示如下：n10，n20时，0z n10时，00时，0z收敛域为除了收敛域为除了0和和 的整个的整个 平面平面例求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域解：这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为0z。但由结果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点，但同时分子多项式在z=1时也有一个零点，极零点对消，X(z)在单位圆上仍存在，求RN(n)的FT，可将z=ej代入X(z)得到，其结果和例题中的结果(3.1.1)公式是相同的。2.右序列右序列是在nn1时，序列值不全为零，而其它nn1，序列值全
18、为零。第一项为有限长序列，设n1-1，其收敛域为0|z|。第二项为因果序列，其收敛域为Rx-|z|，Rx-是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为Rx-|z|。如果是因果序列，收敛域定为Rx-|z|。圆外为收敛域例求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域解：在收敛域中必须满足|az-1|a|。3.左序列左序列是在nn2时，序列值不全为零，而在nn2，序列值全为零的序列。左序列的Z变换表示为如果n20,z=0点收敛，z=点不收敛，其收敛域是在某一圆(半径为Rx+)的圆内，收敛域为0|z|0，则收敛域为0|z|Rx+。圆内为收敛域，若则不包括z=0点例求x(n)=-anu(-n-1)的
19、Z变换及其收敛域。X(z)存在要求|a-1z|1，即收敛域为|z|Rx-，其收敛域为Rx-|z|Rx+，这是一个环状域，如果Rx+Rx-，两个收敛域没有公共区域，X(z)没有收敛域，因此X(z)不存在。例 3.2.5 x(n)=a|n|，a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。解：第一部分收敛域为|az|1，得|z|a|-1，第二部分收敛域为|az-1|a|。如果|a|1，两部分的公共收敛域为|a|z|a|-1，其Z变换如下式：|a|z|a|-1如果|a|1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。当0a1时，x(n)的波形及X(z)的收敛域如图所示。图3.2.2例图例：右边序列例：左边序列收敛半
20、径圆内为收敛域，若则不包括z=0点例：双边序列典型序列的Z变换单位样值序列单位样值序列单位阶跃序列单位阶跃序列斜变序列斜变序列指数序列指数序列正弦余弦序列正弦余弦序列余弦序列的Z变换:正弦序列的Z变换:例z z变换变换X(z)X(z)及其收敛域才能唯一确定一个序列；及其收敛域才能唯一确定一个序列；X(z)X(z)的收敛域为的收敛域为Z Z平面以原点为中心的圆环；平面以原点为中心的圆环；收敛域不包含任何极点（以极点为边界）；收敛域不包含任何极点（以极点为边界）；有限长序列的收敛域为整个平面（可能除去有限长序列的收敛域为整个平面（可能除去z=0z=0和和z=z=）；）；右边序列的收敛域在右边序列的
21、收敛域在|z|=|z|=Rx-Rx-的圆外；的圆外；左边序列的收敛域在左边序列的收敛域在|z|=|z|=RxRx+的圆内；的圆内；双边序列的收敛域在双边序列的收敛域在Rx-Rx-|z|z|Rx Rx+的圆环。的圆环。总结总结3.3 Z3.3 Z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理如果则有：*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。1.1.线性线性例已知,求其z变换。解：2.2.序列的移位序列的移位如果则有：证明序列位移以后的序列位移以后的Z变换的收敛域不发生变换，但是由于乘以因子变换的收敛域不发生变换，但是由于乘以因子 ，对有些单边序列在，对有些单边序列在z=0和和z=处可能有变化。
22、处可能有变化。例求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。例如例如 Z(n)=1,收敛域为整个收敛域为整个z平面，即平面，即0|z|Z(n-1)=z-1,收敛域为收敛域为0|z|Z(n+1)=z,收敛域为收敛域为0|z|3.Z3.Z域尺度变换域尺度变换(乘以指数序列乘以指数序列)如果，则证明：l若a是实数，则表示收敛域的扩大或缩小，对零、极点而言只有幅度上的变换而没有相位上的变换；l若a是模为1的复数，则表示零、极点只有相位上的变化，没有幅度上的变化，而且收敛域不变；l若a是模不等于1的复数，则表示零、极点在相位与幅度上都发生变化，相应的收敛域也会发生变化4.4.序列的序列的线性加权线性
23、加权(Z(Z域求导数域求导数)如果，则证明：序列nx(n)的Z变换与X(z)的导数有关，且收敛域不发生变化。5.5.共轭序列共轭序列如果，则证明：6.翻褶序列如果，则证明：7.7.初值初值定理定理证明：8.终值定理证明：又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z1的极限。9.9.有限项累加特性有限项累加特性证明：10.10.序列的卷积和序列的卷积和(时域卷积定理时域卷积定理)证明：例 已 知 网 络 的 单 位 取 样 响 应h(n)=anu(n),|a|1，网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n)。
24、解：y(n)=h(n)*x(n)求y(n)可用二种方法，一种直接求解线性卷积，另一种是用Z变换法。由收敛域判定y(n)=0,n0。n0y(n)=ResY(z)zn-1,1+ResY(z)zn-1,a将y(n)表示为11.11.序列相乘序列相乘(Z Z域卷积定理域卷积定理)其中,C是在变量V平面上，H(z/v),X(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。证明由X(z)收敛域和Y(z)的收敛域，得到例已知x(n)=u(n),y(n)=a|n|，若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZTw(n)解：因此W(z)收敛域为|a|z|；被积函数v平面上收敛域为max(|a|,0)|v|min(
25、|a-1|,|z|)，v平面上极点：a、a-1和z,c内极点z=a。12.12.帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理(parseval)(parseval)其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。如果则有:证明令w(n)=x(n)y*(n)按照复卷积定理，得到收敛域为Rx-Ry-|z|a，求其逆Z变换x(n)。为了用留数定理求解，先找出F(z)的极点，极点有：z=a;当n0时z=0共二个极点，其中z=0极点和n的取值有关。n0时，n=0不是极点。n0时，z=0是一个n阶极点。因此分成n0和n0两种情况求x(n)。n0时，n0时，增加z=0的n阶极点，不易求留数，采用留数辅助定理求解，检查(3.
26、4.10)式 是 否 满 足，此 处 n0，只 要 N-N0，(3.4.10)式就满足。图2.5.4例中n|a-1|，对应的x(n)是右序列；(2)|a|z|a-1|，对应的x(n)是双边序列；(3)|z|a-1|收敛域是因果的右序列，无须求n0时的x(n)。当n0时，围线积分c内有二个极点z=a和z=a-1，因此最后表示成：x(n)=(an-a-n)u(n)。(2)收敛域|z|a|这种情况原序列是左序列，无须计算n0情况，当n0时，围线积分c内没有极点，因此x(n)=0。n0时，c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和最后将x(n)表示成x(n)=(a-n-an)u(-n-
27、1)(3)收敛域|a|z|a-1|这种情况对应的x(n)是双边序列。根据被积函数F(z)，按n0和n0两情况分别求x(n)。n0时，c内极点z=ax(n)=ResF(z),a=ann0时，c内极点有二个，其中z=0是n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有z=a-1，因此x(n)=-ResF(z),a-1=a-n最后将x(n)表示为ann0 x(n)=x(n)=a|n|a-nnRx+，x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。若 收敛域|Z|Rx-,x(n)必为左边序列，主要展成 Z的正幂级数。例已知用长除法求其逆Z变换x(n)。解由收敛域判定这是一个右序列，用长除法将其展成负幂级数1-
28、az-1例已知求其逆Z变换x(n)。解：由收敛域判定，x(n)是左序列，用长除法将X(z)展成正幂级数1-az-1例例 试用长除法求试用长除法求的的z z反变换。反变换。解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序 列，极点z=4对应左边序列(双边序列)*双边序列可分解为因果序列和左边序列。*应先展成部分分式再做除法。4-Z)4Z+Z+Z+Z+Z+241311645164.16Z16Z-4Z24Z4Z-ZZZ-ZZZ-ZZ2233314141444411655116.Z-)Z141+Z+Z+Z14-1116-2164-3.Z-141414-Z116-1Z116-1Z116-1-Z164-2Z16
29、4-2Z164-2-Z1256-3Z1256-3.3.3.部分分式法部分分式法 有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算 所得的式子。所得的式子。有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项 式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。部分分式：把部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式的一个实系数的真分式分解成几个分式 的和，使各分式具有的和，使各分式具有 或或 的形式的形式 ，其中，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约是实数范围内的不可约 多项式
30、，而且多项式，而且k k是正整数。这时称各分式为原分是正整数。这时称各分式为原分 式的式的“部分分式部分分式”。对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求逆Z变换。设x(n)的Z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表(参考表3.2)求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列x(n)。通常，通常，X(z)X(z)可可表成有理分式形式：表成有理分式形式：因此，X(z)可以展成以下部分分式形式其中，MN时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点，Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck分别为：的z反变换。例利用部分分
31、式法，求解：分别求出各部分分式的z反变换（可查P37表3.2），然后相加即得X(z)的z反变换。例已知，求逆Z变换。解因为收敛域为2|z|2。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|3。查表3.2得到x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1)利用Z变换解差分方程在第一章中介绍了差分方程的递推解法，下面介绍Z变换解法。这种方法将差分方程变成了代数方程，使求解过程简单。设N阶线性常系数差方程为(2.5.30)1.求稳态解如果输入序列x(n)是在n=0以前时加上的，n时刻的y(n)是稳态解，对(2.5.30)式求Z变换，得到式中(2.5.31)(2.5.32)2.求暂态解对于N阶差分方程，求暂态
32、解必须已知N个初始条件。设x(n)是因果序列，即x(n)=0,nmax(|a|,|b|)，式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。3.5 Z3.5 Z变换、拉氏变换、变换、拉氏变换、傅氏变换的关系傅氏变换的关系 一.Z变换与拉氏变换的关系1.理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号，为其理想抽样信号，则序列x(n)的z变换为，考虑到,显然，当时，序列x(n)的z变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。2.Z2.Z变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系(S(S、Z Z平面映射关系）平面映射关系）S平面用直角坐标表示为：Z平面用极坐标表示为：又由于 所以有：因此，;这就是说，Z的模只与S的实部相对应,Z的
33、相角只与S虚部相对应。=0,即S平面的虚轴 r=1,即Z平面单位圆；0,即S的左半平面 r0,即S的右半平面 r1,即Z的单位圆外。j00(1).r与的关系=0，S平面的实轴，=0，Z平面正实轴；=0(常数)，S:平行实轴的直线，=0T,Z:始于 原点的射线；S:宽 的水平条带，整个z平面.0jImZReZ(2).与的关系（=T）序列的傅氏变换与拉氏变换（双边）的关系序列的傅氏变换可以看作是其拉氏变换（双边）在虚轴上的特例二二.Z.Z变换和傅氏变换的关系变换和傅氏变换的关系连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓，即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=j 的特例,因而映射到Z平面上为单位圆
34、。因此,这就是说,（抽样）序列在单位圆上的Z变换,就等 于理想抽样信号傅氏变换。用数字频率作为Z平面的单位圆的参数，表示Z平面的辐角，且 。所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。系统函数系统函数与系统的频率响应本节将以系系统统函函数数和传传输输函函数数为核心来研究系统的变换域分析方法，它们分别是h(n)的Z Z变换变换和傅立叶变换傅立叶变换。1 1、系系统统函函数数：若系统单位脉冲响应为h(n)，则线性时不变离散系统零状态响应的输入输出关系为：称称H H(z z)为线为线性性时时不不变变离散系离散系统统的系的系统统函数函数，它是单位脉冲响应的Z变换，即：2、系统的频率响应（传输函数）系
35、统函数在单位圆上的Z变换，即单位脉冲响应的傅立叶变换称为系统的频率响应系统的频率响应，又称为系统的传输函数系统的传输函数。传输函数传输函数若给系统输入单频率的复信号，则系统的输出为：物理物理意义意义结结论论：当当输输入入为为一一个个单单频频率率的的信信号号时时，输输出出亦亦为为同同一一频频率率的的信信号号，但但其其幅幅度度与与相相位位都都因因为为 的的加加权权而而发发生生了了变变化化，且且 的的值值是是随随频频率率的的变变化化而而变化的。变化的。系统的因果性与稳定性系统函数系统函数稳定因果系统的收敛域为:因果系统因果系统的系统函数H(z)具有包括点的收敛域:系系统统稳稳定定的充要条件：系统函数
36、H(z)的所有极点都必须在单位圆内。例：若系统函数如下式，判断系统的因果性和稳定性。H(z)有2个极点，和 ，给定的收敛域为 ，包括无穷远点，故系统为因果系因果系统统。但收敛域不包括单位圆，因此系统是不不稳稳定的定的。解：解：系统函数系统函数若将收敛域改为 ，这时，收敛域包括单位圆，但不包括无穷远点，此时系系统稳统稳定但非因果定但非因果。实际上这时系统的单位脉冲响应为 ，显然不是因果的。该例表明该例表明:同一个系统函数，如果收敛域不同，系统的特性是完全不同的。由于任何物理可实现系统都必定是因果的，对于这种非因果但稳定的系统，有时可采用将单位脉冲响应截取一段后保存在存储器中，通过延时使之变成因果
37、系统来近似实现。系统函数的零极点与频率响应极零点对其进行因式分解得：系统函数为两多项式之比H H(z z)的的零点零点H H(z z)的的极点极点系统的频率响应对于稳定系统，其极点应全部位于单位圆内，或单位圆包括在收敛域内，其傅立叶变换存在。将 代入H(z)，得到系统的频率响应：极零点分布与系统的频率响应系统函数的零极点与频率响应系统函数的零极点与频率响应系统函数的零极点与频率响应系统函数的零极点与频率响应系统的频率响应特性系统的幅频特性：系统的相频特性：系统函数的零极点与频率响应系统函数的零极点与频率响应由幅频特性可知：由幅频特性可知：当频率点变到极点附近时，Pk就变小，就会在该极点附近的频
38、率出现峰值，极点越接近单位圆，峰值就越尖锐；同样，当频率点变到零点附近时，Qk就变小，就会在该零点附近的频率出现低谷，当零点在单位圆上时，该零点就是传输零点。可见在单位圆附近的零极点对系统的幅频特性有较大的影响。零点可在单位圆内外，但极点只能在单位圆内，否则系统将不稳定。而系统的相位响应对幅度特性没有影响。例例 设一阶系统的差分方程为设一阶系统的差分方程为:解:对差分方程两边取Z变换:，a为实数为实数,求系统的频率响应。求系统的频率响应。这是一因果系统，其单位抽样响应为而频率响应为:幅度响应为:相位响应为:011 2 3 4 5 6 7 8n零极点分布情况00-10a1系统的分类IIR系统和F
39、IR系统的定义根据离散时间系统的单位脉冲响应h(n)在时域中的长度可将其分为两种类型：当h(n)的长度为无限长时称为无限长脉冲响应系统，简称为IIR系统系统。当h(n)的长度为有限长时称为有限长脉冲响应系统，简称为FIR系统系统。通常可以根据系统函数的零极点来判断系统是IIR系统还是FIR系统。系统的分类无限长单位脉冲响应（IIR）系统一方面，h(n)无限长，实际计算中即使x(n)已知，也无法通过卷积 ，求得系统的响应y(n)，只能用求解差分方程或Z变换的方法求得y(n)。另 一 方 面，IIR系 统 中 至 少 有 一 个ak0（k=1,2,），其差分方程表达式(设a0=1)为：可见输出不但
40、与输入有关，还与以前的输出及其加权值有关，即系统中存在着输出对输入的反馈回路。这种结构常被称作为递归结构，在求解差分方程时需采用迭代的方法。有限长单位脉冲响应（FIR）系统系统的分类系统的分类对于FIR系统，它的h(n)为有限长，若已知输入x(n)，可通过卷积直接算出输出y(n)。例如假定h(n)取值范围为0nN-1 则:另一方面，若直接由差分方程来求输出，由于所有ak=0（k=1,2,），此时差分方程变为:可见：其输出仅与当前及以前的输入有关，与以前的输出无关，不存在着输出对输入的反馈，这种结构通常又被称为非递归结构。最小相位系统全通系统与最小相位系统全通系统与最小相位系统定义定义:零极点都
41、在单位圆内的系统称为最小相位系统最小相位系统；系统函数的零点都在单位圆外的系统称为最最大大相相位系统位系统；单位圆内外都有零点的系统称为混合相位系统混合相位系统。设系统具有M个零点，单位圆内有mi个，单位圆外有mo个，有N个极点，单位圆内有ni个，单位圆外有no个。对稳定系统no=0，N=ni。当频率由零变到2时，稳定系统的相位改变量为：当系统函数的所有零点都在单位圆内时mo=0，当由0变到2时：最小相位系统的相位改变量为最小相位系统的相位改变量为0 0。全通系统与最小相位系统全通系统若系统的幅度特性为:则称该系统为全通系统全通系统。全通系统的频率响应还可表示为:信号通过全通系统时只有相位上的变化，而无幅度上的变化，因此全通系统是一个纯相位调节系统。复习3.1 序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换3.2 序列的序列的Z变换变换 3.3 Z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理3.4 逆逆Z变换变换3.5 Z变换、傅里叶变换、拉普拉斯变换变换、傅里叶变换、拉普拉斯变换的关系的关系3.6系统函数与频率响应系统函数与频率响应