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1、离散时间信号与系统的频域研究二二.变换域变换域分析法分析法 1.1.连续时间信号与系统：连续时间信号与系统：信号与系统的频域分析、复频域信号与系统的频域分析、复频域 分析。分析。2.2.离散时间信号与系统：离散时间信号与系统：Z Z变换，变换，DFT(FFT)DFT(FFT)。Z Z变换可将差分方程转化为代数方程。变换可将差分方程转化为代数方程。一一.Z变换导出变换导出3.2.1 Z变换的定义及收敛域变换的定义及收敛域二二.对对z变换式的理解变换式的理解 1 1.定义定义:使序列使序列x x(n)n)的的z z变换变换X(X(z)z)收敛的所有收敛的所有z z值的值的 集合称作集合称作X(X(
2、z)z)的收敛域的收敛域。2 2.收敛条件：收敛条件：X(z)X(z)收敛的充要条件是收敛的充要条件是绝对可和。绝对可和。3.1.2 几种序列的几种序列的Z变换及其收敛域变换及其收敛域3.3.两种判定法两种判定法两种判定法两种判定法a.a.比值判定法比值判定法比值判定法比值判定法b.b.根值判定法根值判定法根值判定法根值判定法4.讨论几种情况讨论几种情况（2）右边序列的收敛）右边序列的收敛例例（3 3）左边序列的收敛）左边序列的收敛）左边序列的收敛）左边序列的收敛例：例：（4 4）双边序列的收敛）双边序列的收敛）双边序列的收敛）双边序列的收敛例：例：例：例：总结总结总结总结3.2 逆逆Z变换变
3、换一、定义一、定义：已知已知X(z)X(z)及其收敛域及其收敛域,反过来求序列反过来求序列x x(n)n)的变换称作的变换称作Z Z反变换。反变换。逆逆Z变换方法变换方法重点重点难点难点开始结束幂级数展开法幂级数展开法幂级数展开法幂级数展开法部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法围线积分法求围线积分法求围线积分法求围线积分法求Z Z Z Z反变换反变换反变换反变换部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法围线积分法求围线积分法求围线积分法求围线积分法求Z Z Z Z反变换反变换反变换反变换单位样值函数单位样值函数单位样值函数单位样值函数常见序列Z变换单位阶跃序列
4、单位阶跃序列单位阶跃序列单位阶跃序列斜变序列的斜变序列的斜变序列的斜变序列的Z Z变换变换变换变换用间接方法求！用间接方法求！同理可得同理可得同理可得同理可得指数序列指数序列指数序列指数序列其其其其 他他他他逆逆Z变换变换一一.幂级数展开法幂级数展开法2.右边序的逆Z变换3.3.左边序列的逆左边序列的逆Z Z变换变换二二.部分分式展开法部分分式展开法2.2.求逆求逆求逆求逆Z Z变换的步骤变换的步骤变换的步骤变换的步骤例：例：解：解：3.3.极点决定部分分式形式极点决定部分分式形式极点决定部分分式形式极点决定部分分式形式高阶极点（重根）高阶极点（重根）高阶极点（重根）高阶极点（重根）：例：例：
5、例：例：解：解：解：解：三三.围线积分法求围线积分法求Z反变换反变换1.1.用留数定理求围线积分用留数定理求围线积分用留数定理求围线积分用留数定理求围线积分例题例题解：解：解：解：3.3 Z变换的性质和定理变换的性质和定理如果则有：*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。1.1.线性线性例3-8 已知 ,求其z变换。解：2.2.序列的移位序列的移位如果则有：例3-9 求序列 x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。3.3.Z Z域尺度变换域尺度变换(乘以指数序列乘以指数序列)如果，则证明：4.4.序列的序列的线性加权线性加权(Z Z域求导数域求导数)如果，则证明：如果，则另一种形式：
6、5.5.共轭序列共轭序列如果，则证明：6.翻褶序列如果，则证明：7.7.初值初值定理定理证明：8.终值定理证明：又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z 1的极限。9.9.有限项累加特性有限项累加特性证明：10.10.序列的卷积和序列的卷积和(时域卷积定理时域卷积定理)证明：例3-10解：11.11.序列相乘序列相乘(Z Z域卷积定理域卷积定理)其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。（证明从略）例3-11解：12.12.帕塞瓦定理帕塞瓦定理(parseval)pa
7、rseval)其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。（证明从略）如果则有:*几点说明：3.4 序列的序列的Z变换与连续信号的拉普变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系拉斯变换、傅里叶变换的关系一、Z变换与拉氏变换的关系1.理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号，为其理想抽样信号，则 序列x(n)的z变换为 ，考虑到 ,显然，当 时，序列x(n)的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。2.2.Z Z变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系(S S、Z Z平面映射关系）平面映射关系）S平面用直角坐标表示为：Z平面用极坐标表示为：又由于 所以有：因此，;这就是说，Z的模只与S的
8、实部相对应,Z的相角只与S虚部相对应。=0,即S平面的虚轴 r=1,即Z平面单位圆；0,即S的左半平面 r0,即S的右半平面 r1,即Z的单位圆外。j00(1)r与的关系 =0，S平面的实轴，=0，Z平面正实轴；=0(常数)，S:平行实轴的直线;=0T,Z:始于原点的射线；S:宽 的水平条带，整个z平面.0jImZReZ(2)与的关系（=T）二、二、Z Z变换和傅氏变换的关系变换和傅氏变换的关系 连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓，即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=j 的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此,这就是说,（抽样）序列在单位圆上的Z变换,就等 于理想抽样信号傅氏变换
9、。用数字频率作为Z平面的单位圆的参数，表示Z平面的辐角，且 。所以，序列在单位圆上的所以，序列在单位圆上的Z Z变换为序列的傅氏变换。变换为序列的傅氏变换。3.5 利用利用Z变换分析信号和系统的频域特性变换分析信号和系统的频域特性3.5.1 传输函数与系统函数传输函数与系统函数（1）对对进行傅里叶变换得到进行傅里叶变换得到一般称一般称 为系统的传输函数，它表征系统的为系统的传输函数，它表征系统的频率特性。频率特性。（2）对对进行进行Z变换，得到变换，得到，一般称，一般称的系统函数，它表征了系统的复频域特性。对的系统函数，它表征了系统的复频域特性。对N阶阶差分方程，进行差分方程，进行Z变换，得到
10、系统函数的一般表示式变换，得到系统函数的一般表示式为系统为系统传输函数与系统函数的关系：传输函数与系统函数的关系：与与之间关系如下式：之间关系如下式：说明单位圆说明单位圆 上的系统函数就是系统的传输上的系统函数就是系统的传输函数。函数。一线性移不变系统稳定的充要条件是一线性移不变系统稳定的充要条件是h(n)h(n)必须必须满足绝对可和：满足绝对可和：|h(n)|h(n)|。z z变换变换H(z)H(z)的收敛域由的收敛域由满足满足|h(n)zh(n)z-n-n|的的那些那些z z值确定。如单位圆上收敛，此时则有值确定。如单位圆上收敛，此时则有|h(n)|h(n)|，即系统稳定；也就是说，收敛域
11、，即系统稳定；也就是说，收敛域包括单位圆的系统是稳定的。包括单位圆的系统是稳定的。因果系统的单位抽样响应为因果序列，因果系统的单位抽样响应为因果序列，其收其收敛域为敛域为R+|z|R+|z|；而因果；而因果稳定稳定系系统的系统函数统的系统函数收收敛域为敛域为 1 1|z z|，也就是说也就是说,其全部极点必须在其全部极点必须在单位圆内。单位圆内。3.5.2 利用系统函数的极点分布分析系统的利用系统函数的极点分布分析系统的 因果性和稳定性因果性和稳定性例例3-12 已知已知，分析其因果性和稳定性。，分析其因果性和稳定性。的极点为的极点为，如图如图3-15所示。所示。(1)收敛域收敛域，对应的系统
12、是因果系统，对应的系统是因果系统，对应的系统是非因果且不稳定，对应的系统是非因果且不稳定，对应的系统是一个非因果系统，对应的系统是一个非因果系统，解解:但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。(2)收敛域收敛域(3)收敛域收敛域系统。系统。但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其 单位脉冲响应单位脉冲响应 ，这是一个收敛这是一个收敛的双边序列，如图的双边序列，如图3-15(a)所示。所示。的三种收的三种收敛敛域中，前两种系域中，前两种系统统不不稳稳定，不能定，不能选选用；用；最后一种收最后一种收敛敛域，
13、系域，系统稳统稳定但非因果，定但非因果，还还是不能具体是不能具体实现实现。因此因此严严格格讲讲，这样这样的系的系统统是无法具体是无法具体实现实现的。但是我的。但是我们们利利用数字系用数字系统统或者或者说计说计算机的存算机的存贮贮性性质质，可以近似，可以近似实现实现第三第三种情况。种情况。3.5.3 利用系统的零极点分布分析系统的频率特性利用系统的零极点分布分析系统的频率特性1 1.频响的零极点表达式频响的零极点表达式模：相角：2.2.几点说明几点说明 (1)表示原点处零极点，它到单位圆 的距离恒为1，故对幅度响应不起作用只 是给出线性相移分量(N-M)。(2)单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的
14、 位置与深度有明显影响，当零点位于单 位圆上时，谷点为零。零点可在单位圆 外。(3)单位圆附近的极点对幅度响应的峰点位 置和高度有明显影响。极点在圆外，系统 不稳定。零点在单位圆上0,处；极点在 ,处。0。例例3-13 已知已知，分析其频率特性。，分析其频率特性。，可知极点为，可知极点为，幅度特性，幅度特性，相位特性，相位特性用几何方法也容易确定，当用几何方法也容易确定，当转到转到矢量的长度始终为矢量的长度始终为1。由该例可以得到结论，处于原点处。由该例可以得到结论，处于原点处的零点或极点，由于零点矢量长度或者是极点矢量长度的零点或极点，由于零点矢量长度或者是极点矢量长度始终为始终为1，因此原
15、点处的零极点不影响系统的频率特性。，因此原点处的零极点不影响系统的频率特性。解解 由由，频响如图，频响如图3-17所示所示时，极点时，极点例例3-14 设一阶系统的差分方程为设一阶系统的差分方程为 用几何法分析其幅度特性。用几何法分析其幅度特性。解解 由系统差分方程得到系统函数为由系统差分方程得到系统函数为式中，式中，系统极点，系统极点，零点，零点，当，当点从点从逆时针旋转时，在逆时针旋转时，在点，由于极点点，由于极点时形成波谷。时形成波谷。处零点不影响频响。极零点分布及幅度特性处零点不影响频响。极零点分布及幅度特性矢量长度最短，形成波峰。在矢量长度最短，形成波峰。在如图如图3-18所示。所示
16、。图3-18 例3-14插图例3-15 已知，试定性画出系统的幅频特性。解的极点为的极点为，这是一个，这是一个N阶极点，它不影响阶极点，它不影响 系统的频响。零点有系统的频响。零点有N个，由分子多项式的根决定个，由分子多项式的根决定N个零点等间隔分布在单位圆上，设个零点等间隔分布在单位圆上，设N=8，极零点，极零点分布如图分布如图3-19所示。当所示。当从零变化到从零变化到 时时,每遇到每遇到一个零点，幅度为零，在两个零点的中间幅度最大，一个零点，幅度为零，在两个零点的中间幅度最大，形成峰值。幅度谷值点频率为：形成峰值。幅度谷值点频率为：一般将具有如图一般将具有如图3-19所示的幅度特性的滤波器称为所示的幅度特性的滤波器称为梳状滤波器。梳状滤波器。图3-19 梳状滤波器的极、零点分布及幅度特性人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢