《《古代希腊数学》PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《古代希腊数学》PPT课件.ppt（74页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、数学史数学史2、古代希腊数学、古代希腊数学2 2、古代希腊数学、古代希腊数学 希腊数学一般是指从公元前希腊数学一般是指从公元前600年至公元年至公元600年间，活动于希腊半岛、爱琴海地区、马年间，活动于希腊半岛、爱琴海地区、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部的数学家们创造的数学。及非洲北部的数学家们创造的数学。古希腊人也叫海仑人古希腊人也叫海仑人(Hellene)，其历史可，其历史可以追溯到公元前以追溯到公元前2000年。当时，作为希腊先民年。当时，作为希腊先民的一些原始部落由北向南挺进，在希腊半岛定的一些原始部落由北向南挺进，在希腊半
2、岛定居，后来又逐步向爱琴海诸岛和小亚细亚扩张。居，后来又逐步向爱琴海诸岛和小亚细亚扩张。到公元前到公元前600年左右，希腊人已散布于地中海年左右，希腊人已散布于地中海与黑海沿岸的大部分地区，正是在这一带掀起与黑海沿岸的大部分地区，正是在这一带掀起了新的数学浪潮。了新的数学浪潮。这些海滨移民具有两大优势：这些海滨移民具有两大优势：他们具有典型的开拓精神，不愿因袭他们具有典型的开拓精神，不愿因袭传统；传统；他们身处与两大河谷地区毗邻之地，他们身处与两大河谷地区毗邻之地，易于汲取那里的文化。易于汲取那里的文化。2.1论证数学的发端论证数学的发端、爱奥尼亚学派和演绎、爱奥尼亚学派和演绎证明证明最早的希
3、腊数学家是最早的希腊数学家是泰勒斯泰勒斯(ThalesofMiletus,约公元前约公元前625-前前547)。泰勒斯出生于。泰勒斯出生于小亚细亚（今土耳其）小亚细亚（今土耳其）西部爱奥尼亚地方的米西部爱奥尼亚地方的米利都城，他领导的爱奥利都城，他领导的爱奥尼亚学派开创了希腊命尼亚学派开创了希腊命题证明之先河。题证明之先河。泰勒斯在数学上的贡献的最可靠的证据泰勒斯在数学上的贡献的最可靠的证据是来自公元是来自公元5世纪新柏拉图学派哲学家世纪新柏拉图学派哲学家普罗克鲁斯普罗克鲁斯(Proclus,410-485)所著所著欧几欧几里得里得第一卷评注第一卷评注一书一书:（泰勒斯）首先来到埃及，然后将（
4、泰勒斯）首先来到埃及，然后将几何研究引几何研究引进希腊。他本人希腊。他本人发现了了许多多命命题，并指，并指导学生研究那些可以推出其学生研究那些可以推出其他命他命题的基本原理的基本原理”。普罗克鲁斯在普罗克鲁斯在评注评注中介绍说泰勒斯曾证中介绍说泰勒斯曾证明了下列四条定理：明了下列四条定理：圆的直径将的直径将圆分分为两个相等的部分；两个相等的部分；等腰三角形两底角相等；等腰三角形两底角相等；两相交的直两相交的直线形成的形成的对顶角相等；角相等；如果一三角形有两角、一如果一三角形有两角、一边分分别与另一与另一三角形的三角形的对应角、角、对应边相等，那么相等，那么这两两个三角形全等。个三角形全等。半
5、半圆上的上的圆周角是直角周角是直角.(泰勒斯定理泰勒斯定理)上述间接的记载流传至今，使泰勒斯获得了上述间接的记载流传至今，使泰勒斯获得了第一位数学家和论证几何学鼻祖的美名。第一位数学家和论证几何学鼻祖的美名。关于泰勒斯，还有一些其他的零星传说：关于泰勒斯，还有一些其他的零星传说：泰勒斯早年经商，因进行橄榄轧油机生泰勒斯早年经商，因进行橄榄轧油机生意而发了大财；意而发了大财；在埃及，泰勒斯测量过金字塔的高；在埃及，泰勒斯测量过金字塔的高；在巴比伦，预报了公元前在巴比伦，预报了公元前585年的一次年的一次日蚀，等等。日蚀，等等。希腊人为什么认为几何事实需要证明？希腊人为什么认为几何事实需要证明？1
6、、古典时期希腊人对哲学研究具有特殊的兴、古典时期希腊人对哲学研究具有特殊的兴趣。在哲学中，人们关心的是可以从假设的趣。在哲学中，人们关心的是可以从假设的前提推出必然的结论。前提推出必然的结论。2、另一种原因在于希腊人对美的追求。演绎、另一种原因在于希腊人对美的追求。演绎论证中所体现的条理性、一致性、完备性和论证中所体现的条理性、一致性、完备性和确定性，都是令人神往的。确定性，都是令人神往的。3、还有一种原因在于古希腊的奴隶制度。这、还有一种原因在于古希腊的奴隶制度。这种制度促进了理论与实践的分离，特权阶层种制度促进了理论与实践的分离，特权阶层偏爱理论轻视实践。偏爱理论轻视实践。、毕达哥拉斯学派
7、、毕达哥拉斯学派希腊论证数学的希腊论证数学的另一位祖师是毕达哥另一位祖师是毕达哥拉斯拉斯(PythagorasofSamos,约公元前约公元前580-前前500)。今人对毕达哥拉斯生平与工作的了解，主今人对毕达哥拉斯生平与工作的了解，主要也是通过普罗克鲁斯等人关于希腊数学著要也是通过普罗克鲁斯等人关于希腊数学著作的评注，另外还有如柏拉图、希罗多德的作的评注，另外还有如柏拉图、希罗多德的著述也提供了一些信息。著述也提供了一些信息。毕达哥拉斯生于靠近小亚细亚西部海岸的萨毕达哥拉斯生于靠近小亚细亚西部海岸的萨摩斯岛，曾游历埃及和巴比伦，可能还到过摩斯岛，曾游历埃及和巴比伦，可能还到过印度，回希腊后定
8、居于当时的大希腊印度，回希腊后定居于当时的大希腊(MagnaGraecia)，即今意大利东南沿海的克洛托内，即今意大利东南沿海的克洛托内(Crotone)，并在那里建立了一个秘密会社，并在那里建立了一个秘密会社，也就是今天所称的毕达哥拉斯学派。这是一也就是今天所称的毕达哥拉斯学派。这是一个宗教式的组织。个宗教式的组织。虽然泰勒斯沿着论证数学的方向迈出了第虽然泰勒斯沿着论证数学的方向迈出了第一步，但希腊数学著作的评注者们主要是将数一步，但希腊数学著作的评注者们主要是将数学中这一新方向的成长归功于毕达哥拉斯学派。学中这一新方向的成长归功于毕达哥拉斯学派。一般认为，欧几里得一般认为，欧几里得原本原本
9、前二卷的大前二卷的大部分材料来源于毕达哥拉斯学派，包括西方文部分材料来源于毕达哥拉斯学派，包括西方文献中一直以毕达哥拉斯的名字命名勾股定理。献中一直以毕达哥拉斯的名字命名勾股定理。但迄今并没有毕达哥拉斯发现和证明了勾股定但迄今并没有毕达哥拉斯发现和证明了勾股定理的直接证据。理的直接证据。人们对毕达哥拉斯证明勾股定理的方法人们对毕达哥拉斯证明勾股定理的方法给出了种种猜测，其中最著名的是普鲁给出了种种猜测，其中最著名的是普鲁塔克（塔克（Plutarch,约约46-120）的面积剖分）的面积剖分法。法。毕达哥拉斯学派另一项几何成就就是正多面体作毕达哥拉斯学派另一项几何成就就是正多面体作图，他们称正多
10、面体为图，他们称正多面体为“宇宙形宇宙形”.我们今天知道在三我们今天知道在三维空间中正多面体仅有五种维空间中正多面体仅有五种正四面体、正六面体、正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。正八面体、正十二面体和正二十面体。欧几里得欧几里得原本原本第第8卷的附注指出：卷的附注指出：“其中三个其中三个（正四、六、八面题）应归功于毕达哥拉斯学派，而（正四、六、八面题）应归功于毕达哥拉斯学派，而十二面体和二十面体应归功于蒂奥泰德十二面体和二十面体应归功于蒂奥泰德(Theaetetus)”。蒂奥泰德（约公元前蒂奥泰德（约公元前417-前前369）是晚期毕达哥拉斯学）是晚期毕达哥拉斯学派成员希奥
11、多罗斯（约公元前派成员希奥多罗斯（约公元前465-前前399）的学生，深）的学生，深受毕达哥拉斯学派思想的影响。因此，一般认为所有受毕达哥拉斯学派思想的影响。因此，一般认为所有正多面体的作图都与毕达哥拉斯学派有关。正多面体的作图都与毕达哥拉斯学派有关。在所有的正多面体中，正十在所有的正多面体中，正十二面体的作图是最为诱人的问题，二面体的作图是最为诱人的问题，因为它是由正五边形围成，而其因为它是由正五边形围成，而其他正多面体都是以三角形或正方他正多面体都是以三角形或正方形为界面，正五边形的作图则与形为界面，正五边形的作图则与著名的著名的“黄金分割黄金分割”问题有关问题有关.正五边形正五边形ABC
12、DE的五条对角线分别相的五条对角线分别相交于点交于点、，这些交点以这些交点以一些特殊的方式分割对角线：每条对角线都一些特殊的方式分割对角线：每条对角线都被交点分成两条不相等的线段，使该对角线被交点分成两条不相等的线段，使该对角线的整体与较长部分之比等于较长部分与较短的整体与较长部分之比等于较长部分与较短部分之比。这就是所谓部分之比。这就是所谓“黄金分割黄金分割”。柏拉柏拉图宇宇宙的象征宙的象征这是达芬是达芬奇在帕奇在帕乔利的著作利的著作神圣的神圣的比例比例（1509）中所画的中所画的尽管人们将许多几何成就归功于毕达哥拉尽管人们将许多几何成就归功于毕达哥拉斯学派，但这个学派基本的信条却是：斯学派
13、，但这个学派基本的信条却是：“万物万物皆数皆数”。该该 学学 派派 晚晚 期期 的的 一一 位位 成成 员员 费费 洛洛 罗罗 斯斯（Philolaus,约约卒卒于于公公元元前前390年年）确确曾曾明明确确地地宣称：宣称：人人们所知道的一切事物都包含数；因所知道的一切事物都包含数；因此没有数就既不可能表达、也不可能理解此没有数就既不可能表达、也不可能理解任何事物。任何事物。毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数，毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数，分数是被看成两个整数之比的关系。他分数是被看成两个整数之比的关系。他们认为：们认为：数数1生成所有的数，并命之为生成所有的数，并命之为“原因数原因数”(Numb
14、erofreason)。一切数中最神圣的是一切数中最神圣的是10，它是完，它是完美、和谐的标志。美、和谐的标志。定义了完全数、亏数、盈数、亲和数。定义了完全数、亏数、盈数、亲和数。一般地由公式一般地由公式给出的数称为给出的数称为“三角形数三角形数”，它们可以用某种三角，它们可以用某种三角点式来表示；点式来表示；由序列由序列形成一系列形成一系列“正方形数正方形数”。毕达哥拉斯学派关于毕达哥拉斯学派关于“形数形数”研究，强烈地反映了研究，强烈地反映了它们将数作为几何思维元素的精神。它们将数作为几何思维元素的精神。五边形数和六边形数分别由序列五边形数和六边形数分别由序列和和得到，这是一些高阶等差序列
15、。得到，这是一些高阶等差序列。用用同同样样的的方方式式可可以以定定义义所所有有的的多多边边形形数数。“形形数数”体现了形与数的结合。数形结合的另一个典型例子是由体现了形与数的结合。数形结合的另一个典型例子是由给出的毕达哥拉斯三元数组，它们分别表示一个直角三给出的毕达哥拉斯三元数组，它们分别表示一个直角三角形角形的两条直角边和斜边，与勾股定理密切相关。的两条直角边和斜边，与勾股定理密切相关。（m为整数）为整数）“万物皆数万物皆数”的信念，使的信念，使毕达格拉斯学达格拉斯学派成派成为相信自然相信自然现象可以通象可以通过数学来理解数学来理解的先的先驱。毕达哥拉斯相信毕达哥拉斯相信任何量都可以表示成两
16、个整任何量都可以表示成两个整数之比数之比（即某个有理量）。在几何上这相当于说：（即某个有理量）。在几何上这相当于说：对于任何两条给定的线段，总能找到某第三线段，对于任何两条给定的线段，总能找到某第三线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段。希腊人称这样两条给定线段为段。希腊人称这样两条给定线段为“可公度量可公度量”，意即有公共的度量单位。，意即有公共的度量单位。然而毕达哥拉斯学派后来却发现：并不是任意两条线段都然而毕达哥拉斯学派后来却发现：并不是任意两条线段都是可公度的，存在着不可公度的线段，例如正方形的对角线和是可公度的，存在着不可公度的线
17、段，例如正方形的对角线和其一边就构成不可公度线段。其一边就构成不可公度线段。这一事实的证明最早出现在亚里士多德的著作中：根据这一事实的证明最早出现在亚里士多德的著作中：根据勾股定理，如正方形对角线与其一边之比为勾股定理，如正方形对角线与其一边之比为（互互素），则有素），则有。这里为。这里为偶数，则偶数，则也必为偶数，设也必为偶数，设，于是，于是，即，即为偶数，则为偶数，则也必为偶也必为偶数，数，这与这与互素的假设相矛盾，因此正方形对角线与其一互素的假设相矛盾，因此正方形对角线与其一边不可公度。边不可公度。毕达哥拉斯学派认为宇宙万物皆依赖于整数的信条，由毕达哥拉斯学派认为宇宙万物皆依赖于整数的信
18、条，由于不可公度量的发现而受到了动摇。这些于不可公度量的发现而受到了动摇。这些“怪物怪物”深深地困深深地困惑着古希腊的数学家，希腊数学中出现的这一逻辑困难，有惑着古希腊的数学家，希腊数学中出现的这一逻辑困难，有时也被称为时也被称为“第一次数学危机第一次数学危机”。大约一个世纪后，这一。大约一个世纪后，这一“危机危机”才由于欧多克斯才由于欧多克斯(Eudoxus)提出的新比例理论而暂时消提出的新比例理论而暂时消除。除。2.1.3 2.1.3 伊利亚学派与诡辩学派伊利亚学派与诡辩学派希腊波斯战争（公元前希腊波斯战争（公元前492-前前449）以后，雅典）以后，雅典成为希腊民主政治与经济文化的中心，
19、希腊数学也成为希腊民主政治与经济文化的中心，希腊数学也随之走向繁荣，学派林立。随之走向繁荣，学派林立。伊利伊利亚学派学派以居住在意大以居住在意大利南部依利利南部依利亚(Eles)地方的芝地方的芝诺（Zeno,约公元前公元前490-前前430）为代表。代表。芝诺提出了四个著名的悖论，芝诺提出了四个著名的悖论，将无限性所遭遇的困难揭示无将无限性所遭遇的困难揭示无遗。这四个悖论中的两个如下遗。这四个悖论中的两个如下:阿基里斯追龟：阿基里斯阿基里斯追龟：阿基里斯(Achilles,希希腊名将，善跑腊名将，善跑)永远追不上一只乌龟，因永远追不上一只乌龟，因为若乌龟的起跑点领先一段距离，阿基为若乌龟的起跑
20、点领先一段距离，阿基里斯必须首先跑到乌龟的出发点，而在里斯必须首先跑到乌龟的出发点，而在这段时间里乌龟又向前爬过一段距离，这段时间里乌龟又向前爬过一段距离，如此直至无穷。如此直至无穷。飞箭不动：飞着的箭是静止的，因为飞箭不动：飞着的箭是静止的，因为任何事物当它是在一个和自己大小相同任何事物当它是在一个和自己大小相同的空间里时，它是静止的，而飞箭在飞的空间里时，它是静止的，而飞箭在飞行过程中的每一行过程中的每一“瞬间瞬间”都是如此。都是如此。芝诺悖论的前两个，是针对事物无限可芝诺悖论的前两个，是针对事物无限可分的观点，而后两个则矛头直指不可分分的观点，而后两个则矛头直指不可分无穷小量的思想。要澄
21、清这些悖论需要无穷小量的思想。要澄清这些悖论需要极限、连续及无穷集合等抽象概念，当极限、连续及无穷集合等抽象概念，当时的希腊数学家尚不可能给予清晰的解时的希腊数学家尚不可能给予清晰的解答。但芝诺悖论与不可公度的困难一起，答。但芝诺悖论与不可公度的困难一起，成为希腊数学追求逻辑精确性的强力激成为希腊数学追求逻辑精确性的强力激素。素。诡辩学派诡辩学派提出了提出了“三大作图问题三大作图问题”2.1.4柏拉图学派柏拉图学派柏拉图（柏拉图（Plato,公元前公元前427-前前347）曾师从毕达）曾师从毕达哥拉斯学派的学者，约公哥拉斯学派的学者，约公元前元前387年在雅典创办学年在雅典创办学院，讲授哲学与
22、数学，形院，讲授哲学与数学，形成了自己的学派。成了自己的学派。雅典时期，数学中的演绎化倾向有了实质性的进展，这主要应雅典时期，数学中的演绎化倾向有了实质性的进展，这主要应归功于柏拉图、亚里士多德和他们的学派。归功于柏拉图、亚里士多德和他们的学派。柏拉柏拉图与与亚里士多德里士多德（拉斐（拉斐尔名画名画雅典学派局部雅典学派局部）柏拉图认为数学是一切学问的基础，柏拉图认为数学是一切学问的基础，据说柏拉图学院的大门上写着据说柏拉图学院的大门上写着“不懂几不懂几何者莫入何者莫入”。柏拉图本人虽未得到很多。柏拉图本人虽未得到很多具体的数学成就，但对数学研究的方法具体的数学成就，但对数学研究的方法却颇多贡献
23、。普罗克鲁斯将分析法和归却颇多贡献。普罗克鲁斯将分析法和归缪法归功于柏拉图。缪法归功于柏拉图。从学术上讲，柏拉图不是数学家，从学术上讲，柏拉图不是数学家，但人们称他为但人们称他为“数学家的创造者数学家的创造者”。无。无可否认的是，他确实刺激了许多比他高可否认的是，他确实刺激了许多比他高明得多的数学家去创造一些真实的数学。明得多的数学家去创造一些真实的数学。柏柏拉拉图给出出了了许多多几几何何定定义，并并坚持持对数数学学知知识作作演演绎整整理理，这在在他他的的代代表表著著作作理理想国想国中有明确的中有明确的陈述述。柏柏拉拉图的的思思想想在在他他的的学学生生与与同同事事亚里里士士多多德德那那里里得得
24、到到了了极极大大的的发展展和和完完善善。亚里里士士多多德德对定定义作作了了更更精精密密的的讨论，并并指指出出需需要要有有未未加加定定义的的名名词。他他也也深深入入研研究究了了作作为数数学学推推理理的的出出发点点的的基基本本原原理理，并并将将它它们区区分分为公公理理和和公公设（他他认为公公理理是是一一切切科科学学所所公公有有的的真真理理，而而公公设则是是为某一某一门科学所接受的第一性原理）。科学所接受的第一性原理）。三大几何三大几何作图作图问题问题古希腊三大著名几何作图问题是：古希腊三大著名几何作图问题是：化化圆为方，即作一个与方，即作一个与给定的定的圆面面积相等的正方形。相等的正方形。倍立方体
25、，即求作一立方体，使其体倍立方体，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。等于已知立方体的两倍。三等分角，即分任意角三等分角，即分任意角为三等分。三等分。三大几何问题的起源涉及一些古老的传说。如三大几何问题的起源涉及一些古老的传说。如倍立方体问题：倍立方体问题：说神神话中的米中的米诺斯王斯王(King Minos)嫌儿子格嫌儿子格劳卡斯卡斯(Glaucus)为他建造的他建造的坟墓太小，命令将其墓太小，命令将其扩大一倍。大一倍。这类问题激发了古希腊时代许多数学家的研究兴趣，其中贡献这类问题激发了古希腊时代许多数学家的研究兴趣，其中贡献最多的是诡辩学派。由于希腊人限制了作图工具只能是圆规和（
26、不最多的是诡辩学派。由于希腊人限制了作图工具只能是圆规和（不带刻度的）直尺，使这些问题变得难以解决并富有理论魅力。带刻度的）直尺，使这些问题变得难以解决并富有理论魅力。最最早早研研究究化化圆圆为为方方问问题题的的是是安安纳纳萨萨哥哥拉拉斯斯（Anaxagoras,约约公公元元前前500前前428），但但详详情情不不得得而而知知。公公元元5世世纪纪下下半半叶叶，开开奥奥斯斯的的希希波波克克拉拉底底（HippociatesofChios）解解决决了了与与化化圆圆为为方方有有关关的的化化月牙形为方。但单个圆的化圆为方问题没有解决。月牙形为方。但单个圆的化圆为方问题没有解决。（课本（课本P20）关于倍
27、立方体问题，一个关键的进展是希关于倍立方体问题，一个关键的进展是希波克拉底对这一问题的波克拉底对这一问题的“简化简化”。希波克。希波克拉底指出了倍立方体问题可以化为求一线拉底指出了倍立方体问题可以化为求一线段与它的二倍长线段之间的双重比例中项段与它的二倍长线段之间的双重比例中项问题：问题：a:x=x:y=y:2a这样求出这样求出的必须满足的必须满足，即为倍，即为倍立方问题的解。立方问题的解。希希波波克克拉拉底底并并没没有有能能从从几几何何上上作作出出这这样样的的比比例例中中项项线线段段。比比他他稍稍晚晚的的柏柏拉拉图图学学派派的的梅梅内内赫赫莫莫斯斯（Menaechmus,公公元元前前360）
28、为为解解决决倍倍立立方方体体问问题题而而发发现现了了圆圆锥锥曲曲线线。事事实实上上，前前述述的的比比例例中中项关系等价于方程：项关系等价于方程：因此因此,量量应为两条抛物线的交点或一条抛物线与一条双曲线应为两条抛物线的交点或一条抛物线与一条双曲线的交点之坐标。的交点之坐标。希腊人还利用其它多种曲线来解决希腊人还利用其它多种曲线来解决三大作图问题，例如，据说巧辩学派的三大作图问题，例如，据说巧辩学派的希比阿斯为了三等分任意角而发明了希比阿斯为了三等分任意角而发明了“割圆曲线割圆曲线”（quadratrix）。）。在正方形在正方形中，令中，令平行于自平行于自身匀速下降直至与身匀速下降直至与重合。与
29、此同时重合。与此同时DA顺时针匀速转动直至与顺时针匀速转动直至与DC重合。若重合。若用用和和分别表示这两条移动线段在任一时刻的位置，分别表示这两条移动线段在任一时刻的位置，那么他们的交点那么他们的交点P产生的曲线就是割圆曲线。产生的曲线就是割圆曲线。如果这曲线能够作出，那么三等分一个角就容易做到。如如果这曲线能够作出，那么三等分一个角就容易做到。如是需要三等分得角。将是需要三等分得角。将和和三等分，分点为三等分，分点为设设和和分别交割圆曲线于分别交割圆曲线于和和，则根据该曲线的性质，线段，则根据该曲线的性质，线段就就将角将角分成三个相等的部分。分成三个相等的部分。希希腊腊人人对对三三大大几几何
30、何问问题题的的所所有有解解答答都都无无法法严严格格遵遵守守尺尺规规（称称为为欧欧几几里里得得工工具具）作作图图的的限限制制。直直到到19世世纪纪，数数学学家家们们才才利利用用现现代代数数学知识弄清了这三大问题实际上是不可解的。学知识弄清了这三大问题实际上是不可解的。不过，如我们已经看到的那样，希腊人虽然没有能解决三大不过，如我们已经看到的那样，希腊人虽然没有能解决三大作图问题，但他们的探讨引出了许多重要发现，对整个希腊数学作图问题，但他们的探讨引出了许多重要发现，对整个希腊数学产生了巨大影响。产生了巨大影响。1837年法国数学家旺年法国数学家旺泽尔（）首先在代数方程（）首先在代数方程论基基础上
31、上证明了明了倍立方和等分任意角不可能只用尺倍立方和等分任意角不可能只用尺规作作图；1882年德国数学年德国数学家林德曼家林德曼证明了数明了数的超越性，从而确立了尺的超越性，从而确立了尺规化化圆为方的不方的不可能性。可能性。几何作图问题的解决几何作图问题的解决一、作图公法一、作图公法1、过两已知点可作一直线。、过两已知点可作一直线。2、已知圆心和半径可作一圆。、已知圆心和半径可作一圆。3、已知两直线相交，可求其交点。、已知两直线相交，可求其交点。4、已知一直线和一圆相交，可求其交点。、已知一直线和一圆相交，可求其交点。5、已知两圆相交，可求其交点。、已知两圆相交，可求其交点。二、可作出的线段的量
32、数二、可作出的线段的量数例：若例：若a、b、c为已知线段则为已知线段则1、x=a+b2、3、均可作出。均可作出。“一线段的量数，当且仅当能由已知线段的量数，一线段的量数，当且仅当能由已知线段的量数，经过有限次加、减、乘、除、开平方得出时，可用尺经过有限次加、减、乘、除、开平方得出时，可用尺规作图。规作图。”三、证明思路三、证明思路1、域，例、域，例Q.2、扩域，例、扩域，例Q().可作图量。可作图量。3、方程、方程在数域上的可约情况。在数域上的可约情况。4、定理：如果一个有理系数的三次方程没有、定理：如果一个有理系数的三次方程没有有理根，则它的根没有一个是由有理数域出有理根，则它的根没有一个是
33、由有理数域出发的可作图量。（证明用反证法见发的可作图量。（证明用反证法见现代数现代数学与中学数学学与中学数学）5、倍立方问题与三等分角问题的解决。、倍立方问题与三等分角问题的解决。倍立方问题等价于做方程倍立方问题等价于做方程的根的根.但此但此方程没有有理根方程没有有理根.取取来讨论来讨论,这时这时一般地有：一般地有：记记则只须求解方程：则只须求解方程：但此方程没有有理根但此方程没有有理根.三等分角问题三等分角问题6、化圆为方问题的解决。、化圆为方问题的解决。定义，如果一个实数满足下述代数方程定义，如果一个实数满足下述代数方程anxn+an-1xn-1+a2x2+a1x+a0=0那么那么,这个实
34、数是代数数。方程中所有系数，这个实数是代数数。方程中所有系数，an，a2，a1，都是整数。，都是整数。因此，有理数因此，有理数是代数数，因为它是多项式方是代数数，因为它是多项式方程程3x-2=0的解；无理数的解；无理数也是代数数，因也是代数数，因为它可以满足方程为它可以满足方程；如果一个数不是代数数，就是超越数。如果一个数不是代数数，就是超越数。德国数学家费迪南德德国数学家费迪南德林德曼（林德曼（18521939年）年）证明了证明了是超越数。是超越数。四、其他方法四、其他方法1、刻度尺法三等分角。、刻度尺法三等分角。2、曲线法倍立方。、曲线法倍立方。3、圆柱法化圆为方。、圆柱法化圆为方。五、希
35、腊人强调尺规作图的原因五、希腊人强调尺规作图的原因:1、重视数学在训练智力方面的作用，通过几何、重视数学在训练智力方面的作用，通过几何作图训练思维能力，工具必须受限。作图训练思维能力，工具必须受限。2、几何要从最少的基本假设推出尽可能多的命、几何要从最少的基本假设推出尽可能多的命题，作图工具也要求少到不能再少。题，作图工具也要求少到不能再少。3、雅典时期，平面几何限定尺规作图基本、雅典时期，平面几何限定尺规作图基本够用。够用。2.2 2.2 希腊数学的黄金时代希腊数学的黄金时代从公元前从公元前338年希腊诸邦被马其顿控制，至年希腊诸邦被马其顿控制，至公元前公元前30年罗马消灭最后一个希腊化国家
36、托勒年罗马消灭最后一个希腊化国家托勒密王国的三百余年，史称希腊数学的密王国的三百余年，史称希腊数学的“黄金时黄金时代代”。这一时期希腊数学的中心从雅典转移到。这一时期希腊数学的中心从雅典转移到了亚历山大城那里学者云集，先后出现了欧几了亚历山大城那里学者云集，先后出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家，里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家，他们的成就标志了古典希腊数学的颠峰。他们的成就标志了古典希腊数学的颠峰。2.2.1欧几里得与几何欧几里得与几何原本原本欧几里得（约公元前欧几里得（约公元前330-前前275）欧几里得在公元前）欧几里得在公元前300年年左右，在托勒密王的邀请下，左右
37、，在托勒密王的邀请下，来到亚历山大里亚教学来到亚历山大里亚教学欧几里得写过不少数学、欧几里得写过不少数学、天文、光学和音乐方面的著作。天文、光学和音乐方面的著作。现存的有几何现存的有几何原本原本(Elements)、数据数据、论论剖分剖分、现象现象、光学光学和和镜面反射镜面反射等。在所有这等。在所有这些著作中，最重要的莫过于几些著作中，最重要的莫过于几何何原本原本。欧几里得（约公元前欧几里得（约公元前330-前前275）第第卷给出了一些最基本的定义，如卷给出了一些最基本的定义，如“点是没有部分点是没有部分的的”；“线是没有宽度的长线是没有宽度的长”；“面是只有长度和宽度面是只有长度和宽度的的”
38、；“圆是由一条曲线包围的平面图形，从其内一点圆是由一条曲线包围的平面图形，从其内一点出发落在曲线上，所有线段彼此相等出发落在曲线上，所有线段彼此相等”,等等。等等。5条公设条公设:1.假定从任意一点到任意一点可作一直假定从任意一点到任意一点可作一直线。2.一条有限直一条有限直线可不断延可不断延长。3.以任意中心和直径可以画以任意中心和直径可以画圆。4.凡直角都彼此相等。凡直角都彼此相等。5.若一直若一直线落在两直落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直那么把两直线无限延无限延长，它，它们将在同旁内角和小于两将在同旁内角和小于两直角的一直角的一侧相交。
39、相交。5条公理：条公理：1.等于同量的量彼此相等。等于同量的量彼此相等。2.等量加等量，和相等。等量加等量，和相等。3.等量减等量，差相等。等量减等量，差相等。4.彼此重合的彼此重合的图形是全等的。形是全等的。5.整体大于部分。整体大于部分。欧欧几几里里得得以以这这些些基基本本定定义义、公公设设和和公公理理作作为为全全书书推推理理的的出发点。出发点。第第、及及（6）卷包含了平面几何的一些基本内容，）卷包含了平面几何的一些基本内容，如全等三角形、平行线、多边形、圆、毕达哥拉斯定理、初等如全等三角形、平行线、多边形、圆、毕达哥拉斯定理、初等作图及相似形等。作图及相似形等。第第、卷中涉及所谓卷中涉及
40、所谓“几何代数几何代数”的内容，即以几何形式的内容，即以几何形式处理的代数问题。例如处理的代数问题。例如卷命题卷命题4：若把一若把一线在任意一点割开，在任意一点割开，则在整个在整个线上的正方形等于两段上的正方形加上二个以两段上的正方形等于两段上的正方形加上二个以两段为边的的矩形矩形.这相当于代数关系式这相当于代数关系式第第卷讲比例论，是以欧多克斯的工作卷讲比例论，是以欧多克斯的工作为基础的。有人认为这一卷代表了为基础的。有人认为这一卷代表了原本原本的最大成就，因为它在当时的认识水平上消的最大成就，因为它在当时的认识水平上消除了由不可公度量引起的数学危机。除了由不可公度量引起的数学危机。原本原本
41、第第卷中给出比例的定义相当于说：卷中给出比例的定义相当于说：设设A,B,C,D是任意四个量，其中是任意四个量，其中A和和B同类（即均为线段、角或面同类（即均为线段、角或面积等），积等），C和和D同类。如果对于任何两个正整数同类。如果对于任何两个正整数m和和n，关系，关系mA（或）（或）nB是否成立，相应的取决于关系是否成立，相应的取决于关系mC（或）（或）nD是否成是否成立，则称立，则称A与与B之比等于之比等于C与与D之比，即之比，即A,B,C,D四量成比例。四量成比例。这这一一定定义义并并未未限限制制涉涉及及的的量量是是可可公公度度的的还还是是不不可可公公度度的的，因因此此可可以以用用它它来
42、来证证明明许许多多早早期期毕毕达达哥哥拉拉斯学派只对可公度量证明了的命题。斯学派只对可公度量证明了的命题。定定理理：如如果果两两个个三三角角形形的的高高相相等等，则则它它们们的的面面积积之之比等于两底之比。（比等于两底之比。（证证明明伊伊P46）第第、卷是关于数论的内容，其中陈卷是关于数论的内容，其中陈述了求两数最大公因子的辗转相除法，即著名的欧述了求两数最大公因子的辗转相除法，即著名的欧几里得算法。这几卷给出了关于整数的一些定理及几里得算法。这几卷给出了关于整数的一些定理及其证明，特别是素数分解的唯一性、素数个数无穷，其证明，特别是素数分解的唯一性、素数个数无穷，等等。这些内容说明，将等等。
43、这些内容说明，将原本原本看成是一部纯几看成是一部纯几何的著作是多少有些误解的。何的著作是多少有些误解的。第第卷讨论不可公度量，并试图进行分类。卷讨论不可公度量，并试图进行分类。最后的三卷（最后的三卷（、）主要是立体几何的）主要是立体几何的内容，包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球等立体的体内容，包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球等立体的体积定理以及对正多面体的讨论（在卷积定理以及对正多面体的讨论（在卷中证明了正中证明了正多面体只有五种）。多面体只有五种）。欧欧几几里里得得原原本本可可以以说说是是数数学学史史上上的的第第一一座座理理论论丰丰碑碑。它它最最大大的的功功绩绩，是是在在于于数数学学中中演演绎绎范
44、范式式的的确确立立，这这种种范范式式要要求求一一门门学学科科中中的的每每个个命命题题必必须须是是在在它它之之前前已已建建立立的的一一些些命命题题的的逻逻辑辑结结论论，而而所所有有这这样样的的推推理理链链的的共共同同出出发发点点，是是一一些些基基本本定定义义和和被被认认为为是是不不证证自明的基本原理自明的基本原理公理或公设。这就是公理化思想。公理或公设。这就是公理化思想。与现代公理化方法相比，欧几里得与现代公理化方法相比，欧几里得原本原本存在存在着缺陷。虽然欧几里得对公理和公设进行了精心的选着缺陷。虽然欧几里得对公理和公设进行了精心的选择，但他的公理系统是不完备的，有些公理不独立择，但他的公理系
45、统是不完备的，有些公理不独立（如（如“凡直角都相等凡直角都相等”）。）。2.2.2 2.2.2 阿基米德的数学成就阿基米德的数学成就历史上任何三个历史上任何三个“最伟大最伟大”的数学家的名单都将包括阿基米德的数学家的名单都将包括阿基米德（Archimedes,公元前公元前287-前前212）的名字）的名字(通常与他相联系的另通常与他相联系的另外两个名字是牛顿和高斯外两个名字是牛顿和高斯)。阿基米德的著述极为丰富，但多以类似论文手稿而非大部巨阿基米德的著述极为丰富，但多以类似论文手稿而非大部巨著的形式出现。这些著述内容涉及数学、力学及天文学等，其中著的形式出现。这些著述内容涉及数学、力学及天文学
46、等，其中流传于世的有：流传于世的有：(1)圆的度量圆的度量；(2)抛物线求积抛物线求积；(3)论螺线论螺线；(4)论球和圆柱论球和圆柱；(5)论劈锥曲面和旋转球体论劈锥曲面和旋转球体；阿阿基基米米德德的的数数学学著著作作集集中中探探讨讨与与面面积积和和体体积积计计算算相相关关的的问问题题。在在圆圆的的度度量量中中，阿阿基基米米德德将将穷穷竭竭法法应应用用于于圆圆的的周周长长和和面面积积公公式式。他他从从圆圆内内正正接接三三角角形形出出发发，边边数数逐逐次次加加倍倍，计计算算到到正正96边边形形而而得得到到圆圆周周率率的的近近似似值值。在在球球和和圆圆柱柱中中，他他运运用用穷穷竭竭法法证证明明了
47、了与与球球的的面面积积和和体体积积有有关关的的公公式式。他他证证明明的的命命题题包包括括：任任一一球球面面积积等等于于其其大大圆圆面面积积的的四四倍倍；以以球球的的大大圆圆为为底底，以以球球直直径径为为高高的的圆圆柱柱，其其体体积积是是球球体体积积的的，其其包包括括上上、下下底底在在内内的的表表面面积积是是球球面面积的积的；等等。；等等。阿基米德的数学工作是严格证明与创造技阿基米德的数学工作是严格证明与创造技巧相结合的典范，这在其巧相结合的典范，这在其处理力学问题的处理力学问题的方法方法中有充分的体现。中有充分的体现。例：平衡法求球体积例：平衡法求球体积平衡法平衡法设球的半径为设球的半径为R，
48、如图作球、圆，如图作球、圆柱、圆锥的轴截面。柱、圆锥的轴截面。延长延长SN到到T使使TN=2R。在与在与N距离为距离为x处割出厚度为处割出厚度为x的三个薄片（可看成近似的圆柱体）的三个薄片（可看成近似的圆柱体），它们的体积分别是：，它们的体积分别是：球薄片：球薄片：，圆柱薄片：圆柱薄片：，圆锥薄片：圆锥薄片：将球薄片与圆锥薄片的重心吊在将球薄片与圆锥薄片的重心吊在点点T处，圆柱薄片的重心仍在原处，处，圆柱薄片的重心仍在原处，以以N为支点考虑两边的力矩：为支点考虑两边的力矩：TNSR左力矩左力矩=+2R=右力矩右力矩=将所有这些薄片绕将所有这些薄片绕N点的力矩加在一起便得点的力矩加在一起便得（球
49、体积（球体积+圆锥体积）圆锥体积）2R=4（圆柱体积）（圆柱体积）R球体积球体积=2圆柱体积圆柱体积-圆锥体积圆锥体积例：用穷竭法证明抛物线弓形面积公式在抛物线弓形PQq中，取Qq的中点V，PV为平行于抛物线轴的直线。易知PQq的面积大于弓形PQq的一半。在弦PQ、Pq上作类似的分割，同样有PP1Q面积大于弓形PP1Q面积的一半，PP1/q的面积大于弓形PP1/q的一半。阿基米德证明了PP1Q+PP1/q=（1/4）PQq。阿基米德求面积 继续这一过程，对其后的三角形也有同样的面积关系，因此抛物线弓形PQq的面积可以用所有这些内接三角形的面积和来“穷竭”，将PQq的面积记为S，则弓形PQq的面
50、积可以用几何级数的有限项和来逼近。（几何原本中已经有等比级数的研究）1965年高考题:已知抛物线y2=2x（1）在抛物线y2=2x上任取两点P1（x1，y1），p2（x2，y2），过P1 P2的中点作直线平行于抛物线轴，交抛物线于P3，证明 P1 P2 P3 的面积为（2）过P1 P3 和 P2 P3 的中点分别作直线平行于抛物线轴，交抛物线于Q1和Q2试将P1P3Q1和P2P3Q2 的面积之和用y1，y2表示出来。（3）仿照（2）又可以作4个更小的三角形，如此连续下去可以作一系列的三角形，由此设法求出线段P1 P2与抛物线所围成的面积。当然，平衡法本身必须以极限论为基础，阿基米德意识到他的方