《第二讲古代希腊数学上课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二讲古代希腊数学上课件.ppt（47页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第二讲古代希腊数学上第1页，此课件共47页哦帕提农神庙(前447前432年）古希腊文明的象征之一古希腊文明的象征之一第2页，此课件共47页哦古希腊的变迁古希腊的变迁雅典时期：公元前6前3世纪公元前11世纪前9世纪：希腊各部落进入爱琴地区公元前9前6世纪：希腊各城邦先后形成亚历山大后期：公元前30年公元640年西罗马帝国：公元395年公元476年东罗马帝国：公元395年公元1453年（610年改称拜占廷帝国）爱奥尼亚时期：公元前11世纪前6世纪亚历山大时期：公元前323年前30年罗马帝国：公元前27年公元395年希腊时期希腊化时期波希战争（前499前449）伯罗奔尼撒战争（前431前404）马其
2、顿帝国：前6世纪前323年（前337年希腊各城邦承认马其顿的霸主地位，前334前323亚历山大东征）前48前30年凯撒、屋大维侵占埃及公元640年阿拉伯人焚毁亚历山大城藏书公元330君士坦丁大帝迁都拜占廷第3页，此课件共47页哦 数学作为一门有组织、独立的和理性的学科来数学作为一门有组织、独立的和理性的学科来说，在古希腊学者登场之前是不存在的。说，在古希腊学者登场之前是不存在的。-M-M克莱因克莱因 柏拉图学派诡辩学派埃利亚学派欧多克斯学派亚里士多德学派毕达哥拉斯学派伊奥尼亚学派第4页，此课件共47页哦 古希腊数学（公元前古希腊数学（公元前6 6世纪至公元世纪至公元6 6世纪）世纪）特殊的地理
3、位置与文化特殊的地理位置与文化.社会制度社会制度第5页，此课件共47页哦n希腊数学一般指从公元前希腊数学一般指从公元前600年至公元年至公元600年年间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚（今与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚（今土耳其）以及非洲北部的数学家们所创造的土耳其）以及非洲北部的数学家们所创造的数学。数学。n在古希腊城邦特有的唯理主义气氛中，（古在古希腊城邦特有的唯理主义气氛中，（古埃及、美索不达米亚等的）经验的算术和几埃及、美索不达米亚等的）经验的算术和几何法则被加工升华为具有初步逻辑结构的论何法则被加工升华为
4、具有初步逻辑结构的论证数学体系。证数学体系。第6页，此课件共47页哦u古典时期的希腊数学古典时期的希腊数学-哲学盛行、学派林立、名哲学盛行、学派林立、名家百出家百出u亚历山大学派时期亚历山大学派时期-希腊数学的顶峰时期，代希腊数学的顶峰时期，代表人物：欧几里得，阿基米德，阿波罗尼奥斯表人物：欧几里得，阿基米德，阿波罗尼奥斯u希腊数学的衰落希腊数学的衰落-罗马帝国的建立，唯理的罗马帝国的建立，唯理的希腊文明被务实的罗马文明代替希腊文明被务实的罗马文明代替古希腊数学的三个阶段古希腊数学的三个阶段第7页，此课件共47页哦古希腊数学与哲学的交织古希腊数学与哲学的交织 n古希腊早期的自然科学往往是与哲学
5、交织在一古希腊早期的自然科学往往是与哲学交织在一起的，古希腊的自然哲学乃是古代自然科学的起的，古希腊的自然哲学乃是古代自然科学的一种特殊形态，虽然有许多错误的东西，但也一种特殊形态，虽然有许多错误的东西，但也有不少合理的知识和包含着合理成分的猜测有不少合理的知识和包含着合理成分的猜测恩格斯说：恩格斯说：“在希腊哲学的多种多样的形式中，在希腊哲学的多种多样的形式中，差不多可以找到以后各种观点的胚胎、萌芽差不多可以找到以后各种观点的胚胎、萌芽因此，如果理论自然科学想要追溯自己今天的因此，如果理论自然科学想要追溯自己今天的一般原理发生和发展的历史，它就不得不回到一般原理发生和发展的历史，它就不得不回
6、到希腊人那里去希腊人那里去”第8页，此课件共47页哦n古希腊数学表现出很强的理性精神，追求哲学意古希腊数学表现出很强的理性精神，追求哲学意义上的真理在公元前义上的真理在公元前3、4百年的时候，他们的百年的时候，他们的数学思想中就已经涉及到了无限性、连续性等深数学思想中就已经涉及到了无限性、连续性等深刻的概念刻的概念n经过古埃及和巴比伦人长期积累数学知识的萌芽经过古埃及和巴比伦人长期积累数学知识的萌芽时期以后，古希腊人把数学推进到了一个崭新的时期以后，古希腊人把数学推进到了一个崭新的时代古希腊数学不仅有十分辉煌的研究成果，时代古希腊数学不仅有十分辉煌的研究成果，而且提出了数学的基本观点，建立数学
7、理论的方而且提出了数学的基本观点，建立数学理论的方法，给以后的数学发展提供了坚实的基础法，给以后的数学发展提供了坚实的基础一、论证数学的发端一、论证数学的发端第9页，此课件共47页哦1.1.泰勒斯泰勒斯泰勒斯泰勒斯第一位数学家、论证几何学鼻祖第一位数学家、论证几何学鼻祖(约公元前约公元前625-625-前前547547年年)爱爱奥奥尼尼亚亚学学派派(米米利利都都学学派派)创数学命题逻辑证明之先河创数学命题逻辑证明之先河哲学：万物源于水哲学：万物源于水第10页，此课件共47页哦泰勒斯所证明的几何定理：圆的直径将圆分为两个相等的部分.等腰三角形两底角相等.两相交直线形成的对顶角相等.如果一个三角形
8、有两角、一边分别与另一个三角形的对应角、边相等,那么这两个三角形全等.半圆上的圆周角是直角(泰勒斯定理).从泰勒斯开始，命题证明成为从泰勒斯开始，命题证明成为希腊数学的基本精神。希腊数学的基本精神。第11页，此课件共47页哦公元前公元前551前前479年年精于哲学、数学、天文精于哲学、数学、天文学、音乐理论学、音乐理论2.2.毕达哥拉斯（毕达哥拉斯（PythagorasPythagoras）希腊论证数学的另一位祖师希腊论证数学的另一位祖师 毕达哥拉斯学派创始人毕达哥拉斯学派创始人信奉信奉“万物皆数万物皆数”费洛罗斯曾说费洛罗斯曾说:“:“人们所知道的任何事物都包含数。因此，如果没有数就既不可能
9、人们所知道的任何事物都包含数。因此，如果没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物。表达，也不可能理解任何事物。”第12页，此课件共47页哦毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派-万物皆数万物皆数希腊论证数学的另一位祖师是毕达哥拉斯。希腊论证数学的另一位祖师是毕达哥拉斯。在爱琴在爱琴海东部的萨摩斯岛建立了具有宗教、哲学、科学性海东部的萨摩斯岛建立了具有宗教、哲学、科学性质的学派，致力于哲学和数学的研究，繁荣兴旺达质的学派，致力于哲学和数学的研究，繁荣兴旺达一个世纪以上。一个世纪以上。毕达哥拉斯学派认为世界万物都是数，最重要的数毕达哥拉斯学派认为世界万物都是数，最重要的数是是1、2、3、4，而，而10则是
10、理想的数；相应地，自然则是理想的数；相应地，自然界由点（一元）、线（二元）、面（三元）和立体界由点（一元）、线（二元）、面（三元）和立体（四元）组成。他们认为自然界中的一切都服从于（四元）组成。他们认为自然界中的一切都服从于一定的比例数，天体的运动受数学关系的支配，形一定的比例数，天体的运动受数学关系的支配，形成天体的和谐。成天体的和谐。第13页，此课件共47页哦毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派-几何成就几何成就 n使几何学从经验上升到理论的关键性贡献应归使几何学从经验上升到理论的关键性贡献应归功于毕达哥拉斯学派。他们基本上建立了所有功于毕达哥拉斯学派。他们基本上建立了所有的直线形理论，包括三角形
11、全等定理、平行线的直线形理论，包括三角形全等定理、平行线理论、三角形的内角和定理、相似理论等。理论、三角形的内角和定理、相似理论等。第14页，此课件共47页哦毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派正多边形和正多面体正多边形和正多面体n毕达哥拉斯学派掌握了正多边形和正多面体的一些性质。毕达哥拉斯学派掌握了正多边形和正多面体的一些性质。他们发现，同名正多边形覆盖平面的情况只有三种：正他们发现，同名正多边形覆盖平面的情况只有三种：正三角形、正方形、正六边形，而且这些正多边形个数之三角形、正方形、正六边形，而且这些正多边形个数之比为比为6：4：3，边数之比则为，边数之比则为3：4：6。n毕达哥拉斯学派的另一项几
12、何成就是正多面体作图，他毕达哥拉斯学派的另一项几何成就是正多面体作图，他们称正多面体为们称正多面体为“宇宙形宇宙形”。三维空间中仅有五种正多面。三维空间中仅有五种正多面体：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。体。第15页，此课件共47页哦毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派正五边形与五角星正五边形与五角星n在在五五种种正正多多面面体体中中，除除正正十十二二面面体体外外，每每个个正正多多面面体体的的界界面面都都是是三三角角形形或或正正方方形形，而而正正十十二二面体的界面则是正五边形。面体的界面则是正五边形。n正正五五边边形形作作图图
13、与与著著名名的的“黄黄金金分分割割”有有关关。五五条条对对角角线线中中每每一一条条均均以以特特殊殊的的方方式式被被对对角角线线的的交交点点分分割割。据据说说毕毕达达哥哥拉拉斯斯学学派派就就是是以以五五角角星星作为自己学派的标志的。作为自己学派的标志的。第16页，此课件共47页哦黄金分割黄金分割黄金分割又称黄金分割又称黄金律黄金律，是指事物各部分间一定的，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1 0.618或或1.618 1，即长段为全段的，
14、即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。第17页，此课件共47页哦毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理毕氏学派百牛大祭？毕氏学派百牛大祭？法法 国国驴桥问题驴桥问题 中中 国国-商高定理商高定理 勾股定理勾股定理第18页，此课件共47页哦2002.8 国际数国际数学家大会会徽学家大会会徽1972年星际飞年星际飞船船“先锋先锋10号号”带着带着“出入出入相补图相补图”飞向飞向太空太空欧几里得的证明原图赵爽的
15、“弦图”第19页，此课件共47页哦毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派形数的研究形数的研究多边形数多边形数多面体数多面体数?应用之妙应用之妙精神之美精神之美第20页，此课件共47页哦案例案例从从多边形数到棱锥数多边形数到棱锥数n2006广东数学高考题广东数学高考题在德国不莱梅举行的第在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球成若干堆成若干堆“正三棱锥正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个球，第形的展品，其中第一堆只有一层，就一个球，第2、3、4堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定
16、摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第堆第n层就放一个层就放一个乒乓球，以乒乓球，以f(n)表示第表示第n堆的乒乓球总数，则堆的乒乓球总数，则f(3)=_，f(n)=_。第21页，此课件共47页哦案例案例从从多边形数到棱锥数多边形数到棱锥数n后期毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在后期毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在算术引论算术引论中将中将多边形数推广到立体数。前四个三棱锥数为多边形数推广到立体数。前四个三棱锥数为 1 1+3 1+3+6 1+3+6+10 第22页，此课件共47页哦毕达哥拉斯学派数字神秘主义的外壳，包含着理性的内核。首先，
17、它加强了数概念中的理论倾向，如果说埃及与巴比伦算术主要是实用的数字计算技巧，那么毕达哥拉斯学派算术则更多地成为某种初等数论的智力领域，这是向理论数学过渡时观念上的飞跃，并且由于数形结合的观点，这种飞跃实质上推动了几何学的抽象化倾向。其次，“万物皆数”的信念，使毕达哥拉斯学派成为相信自然现象可以通过数学来理解的先驱。他们用数的理论解释天体运动，发现音乐定律等等。第23页，此课件共47页哦毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派无理数的发现无理数的发现n毕达哥拉斯学派的信条是毕达哥拉斯学派的信条是“万物皆数万物皆数”，这里的，这里的数实际上是指正的有理数。数实际上是指正的有理数。他们的一项重大发现是证明了勾股
18、定理。他们知道满足直角三角形三边长的一般公式，但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。这样一来，就否定了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。传说，毕达哥拉斯学派成员希帕苏斯（Hippasus，公元前470年左右）发现了“不可通约性”的现象，并在一次航海时公布了他的想法，结果被恐慌的毕达哥拉斯学派的其他成员抛进了大海。第24页，此课件共47页哦何为不可公度？何为不可公度？万物皆数万物皆数可公度可公度第一次数学危机第一次数学危机不可公度不可公度希帕苏斯发现阿基米德证明第25页，此课件共47页哦第一次数学危机n不可通约性（
19、不可公度）不可通约性（不可公度）的发现使毕达哥拉的发现使毕达哥拉斯学派对许多定理的证明都不能成立。由此斯学派对许多定理的证明都不能成立。由此引发了第一次数学危机。引发了第一次数学危机。n例：如果两个三角形的高相同，则它们的面例：如果两个三角形的高相同，则它们的面积之比等于两底边之比。积之比等于两底边之比。ABCDE第26页，此课件共47页哦新比例论n100多年后，欧多克斯（多年后，欧多克斯（Eudoxus,408-355）提出了提出了“新比例论新比例论”，才用回避的方法，才用回避的方法暂时消除了暂时消除了“第一次危机第一次危机”。n新比例定义：设新比例定义：设A、B、C、D是任意四个量，是任意
20、四个量，其中其中A和和B同类（即均为线段、角或面积），同类（即均为线段、角或面积），C和和D同类，若对任意两个（正）整数同类，若对任意两个（正）整数m和和n，mA与与nB的大小关系，取决于的大小关系，取决于mC与与nD的大的大小，则称小，则称A：B=C：D。第27页，此课件共47页哦二、雅典时期的希腊数学二、雅典时期的希腊数学p伊利亚学派p诡辩学派p雅典学院（柏拉图学派）p亚里士多德学派第28页，此课件共47页哦古希腊数学之古希腊数学之柏拉图学派柏拉图学派柏拉图柏拉图(约公元前约公元前427-前前347年年)柏柏拉拉图图学学派派打开宇宙之迷的钥匙是数打开宇宙之迷的钥匙是数与几何图形与几何图形第
21、29页，此课件共47页哦古希腊数学之古希腊数学之柏拉图学派柏拉图学派柏拉图（柏拉图（Plato，公元前公元前427-347年）是当时最著年）是当时最著名的希腊哲学家之一，虽然他不是数学家，但名的希腊哲学家之一，虽然他不是数学家，但热心于数学科学，在柏拉图学园的门口挂着牌热心于数学科学，在柏拉图学园的门口挂着牌子：子：“不懂几何者免进不懂几何者免进”。值得注意的是，公。值得注意的是，公元前四世纪的重要数学工作几乎都是柏拉图的元前四世纪的重要数学工作几乎都是柏拉图的朋友和学生做的。与柏拉图学园有联系的欧多朋友和学生做的。与柏拉图学园有联系的欧多克斯（克斯（Eudoxus，公元前公元前408-355
22、年）是这一时期年）是这一时期最大的数学家，他在几何学上的研究成果，后来有最大的数学家，他在几何学上的研究成果，后来有些收入了欧几里得的几何原本些收入了欧几里得的几何原本。第30页，此课件共47页哦 柏拉图不是数学家，却赢得了柏拉图不是数学家，却赢得了“数学家的缔造数学家的缔造者者”的美称，公元前的美称，公元前387年以万贯家财在雅典创办学年以万贯家财在雅典创办学院，讲授哲学与数学，直到院，讲授哲学与数学，直到529年东罗马君王查士年东罗马君王查士丁尼下令关闭所有的希腊学校才告终止。丁尼下令关闭所有的希腊学校才告终止。柏拉图柏拉图曾师从毕达哥拉斯学派，是哲学家苏格拉底（公元前469前399年）的
23、学生。同时柏拉图还是柏拉图还是古希腊最著名的哲学家、科学家亚里士多德的老师。柏拉图学派柏拉图学派第31页，此课件共47页哦古希腊数学之亚里士多德学派古希腊数学之亚里士多德学派亚里士多德亚里士多德(约公元前约公元前384-前前322年年)吕吕园园学学派派古希腊最著名的哲古希腊最著名的哲学家、科学家学家、科学家形式逻辑方法形式逻辑方法用于数学推理用于数学推理矛盾律、排中律矛盾律、排中律第32页，此课件共47页哦古希腊数学之古希腊数学之亚里士多德学派亚里士多德学派亚里士多德（亚里士多德（Aristotle，公元前公元前384-322年）是年）是柏拉图的学生和同事，相处达柏拉图的学生和同事，相处达20
24、年之久，公元年之久，公元前前335年成立了自己的学派，以后曾是马其顿年成立了自己的学派，以后曾是马其顿王亚历山大的老师。他是古典希腊时期最伟王亚历山大的老师。他是古典希腊时期最伟大的思想家，他的一些思想在数学史上影响大的思想家，他的一些思想在数学史上影响很大。很大。第33页，此课件共47页哦亚里士多德学派之亚里士多德学派之形式逻辑的建立形式逻辑的建立n亚里士多德不象柏拉图那样只崇尚思辨，而亚里士多德不象柏拉图那样只崇尚思辨，而是重视观察、分析和实验性的活动（如解剖）是重视观察、分析和实验性的活动（如解剖）。亚里士多德是古希腊学者中最博学的人，。亚里士多德是古希腊学者中最博学的人，是古代百科全书
25、式的自然科学家，也是对近是古代百科全书式的自然科学家，也是对近代自然科学影响最大的古代学者。他的著作代自然科学影响最大的古代学者。他的著作甚多，在自然科学方面主要有物理学、甚多，在自然科学方面主要有物理学、论产生和消灭、天论、气象学、论产生和消灭、天论、气象学、动物的历史、论动物的结构等。动物的历史、论动物的结构等。第34页，此课件共47页哦n亚里士多德创立了以三段论（亚里士多德创立了以三段论（由大前提和小前和小前提推出结论。如提推出结论。如凡金属都能导电凡金属都能导电（大前提），（大前提），铜是金属铜是金属（小前提），（小前提），所以铜能导电所以铜能导电（结论）（结论）为中心的形式逻辑系统。
26、他认为科学为中心的形式逻辑系统。他认为科学需要归纳，由特殊的事例过渡到一般命题，更需需要归纳，由特殊的事例过渡到一般命题，更需要用逻辑的推理由前提演绎出它的推论。亚里士要用逻辑的推理由前提演绎出它的推论。亚里士多德的逻辑学著作后来被汇编为工具论，对多德的逻辑学著作后来被汇编为工具论，对阿基米德、欧几里得等人的研究有重要影响。阿基米德、欧几里得等人的研究有重要影响。第35页，此课件共47页哦亚里士多德学派亚里士多德学派n古典希腊时期的希腊人已经掌握了大量初等几何性质，古典希腊时期的希腊人已经掌握了大量初等几何性质，加上亚里士多德建立了形式逻辑，这些都为形成一门加上亚里士多德建立了形式逻辑，这些都
27、为形成一门独立的初等几何的理论科学作好了充分的准备。独立的初等几何的理论科学作好了充分的准备。第36页，此课件共47页哦三大几何问题三大几何问题(尺规作图不可能问题尺规作图不可能问题)古希腊人限制了作图工具只能使用圆规与（无刻度）的直尺古希腊三大著名几何问题（尺规作图不可能问题）是：n化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形。n倍立方体，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。n三等分角，即分任意角为三等分。第37页，此课件共47页哦三等分任意角三等分任意角古典几何三大作图问题倍立方倍立方化圆为方化圆为方第38页，此课件共47页哦三大几何问题的起源涉及一些古老的传说。例如关于倍立方体
28、问题，埃拉托塞尼（Eratosthenes,约公元前284-前192）曾记载了一位没学过数学又不出名的古希腊诗人讲述的故事，说神话中的米诺斯王(King Minos)嫌儿子格劳卡斯(Glaucus)为他建造的坟墓太小，命令将其扩大一倍。然后这位诗人又替米诺斯王添上了下面的话，说只要将每边扩大一倍就行。这当然是错误的。这类问题激发了整个古希腊时代许多数学家的研究兴趣，其中贡献最多的是诡辩学派。由于希腊人限制了作图工具只能是圆规和（不带刻度的）直尺，使这些问题变得难以解决并富有理论魅力。第39页，此课件共47页哦最早研究化圆为方问题的是安纳萨哥拉斯（Anaxagoras,约公元前500 前428）
29、，但详情不得而知。公元前5世纪下半叶，开奥斯的希波克拉底（Hippociates of Chios）解决了与化圆为方有关的化月牙形为方。希波克拉底证明了一系列特殊月牙形的化圆为方，但每次都利用了两个圆的相减，对于单个圆的化圆为方，最终未能解决。第40页，此课件共47页哦n巧辨学派的代表人物安提丰（Antiphon，约公元前 480-前411），则首先提出了用圆内接正多边形逼近圆面积的方法来化圆为方。他从一个圆内截正方形出发，将边数逐步加倍得到正八边形、正十六边形、，无限重复这一过程，随着圆面积的逐渐“穷竭”（Exaustion），将得到一个边长极微小的圆内接正多边形。安提丰认为这个圆内接正多边
30、形将与圆重合，既然我们能够作出一个等于任何已知多边形的正方形，那么我们就能作出等于一个圆的正方形。这种推理当然没有真正解决化圆为方问题，但安提丰却因此成为古希腊“穷竭法”的始祖。第41页，此课件共47页哦第42页，此课件共47页哦第43页，此课件共47页哦希腊人对三大几何问题的所有解答都无法严格遵守尺规（称为欧几里得工具）作图的限制。直到19世纪，数学家们才利用现代数学知识弄清了这三大问题实际上是不可解的。1837年法国数学家旺泽尔（P.L.Wantzel）首先在代数方程论基础上证明了倍立方和等分任意角不可能只用尺规作图；1882年德国数学家林德曼证明了的超越性，从而确立了尺规化圆为方的不可能性。不过，如我们已经看到的那样，希腊人虽然没有能解决三大作图问题，但他们的探讨引出了许多重要发现，对整个希腊数学产生了巨大影响。第44页，此课件共47页哦无限性概念的早期探索无限性概念的早期探索第45页，此课件共47页哦芝诺悖论的前两个，是针对事物无限可分的观点，而后两个则矛头直指不可分无穷小量的思想。要澄清这些悖论需要极限、连续及无穷集合等抽象概念，当时的希腊数学家尚不可能给予清晰的解答。但芝诺悖论与不可分度的困难一起，成为希腊数学追求逻辑精确性的强力激素。第46页，此课件共47页哦逻辑演绎结构的倡导逻辑演绎结构的倡导第47页，此课件共47页哦