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1、第四章 向量空间第一页，本课件共有20页第四章第四章 向量空间向量空间 1向量空间及其基、维数、坐标向量空间及其基、维数、坐标(续续1)3.V2=例例1.考察下列向量的集合是否为向量空间考察下列向量的集合是否为向量空间.4.n元齐次线性方程元齐次线性方程AX=0解向量全体的集合解向量全体的集合S.2.V1=是是不是不是是是第二页，本课件共有20页第四章第四章 向量空间向量空间 1向量空间及其基、维数、坐标向量空间及其基、维数、坐标(续续2)定义定义2 设设V1,V2是两个是两个向量空间向量空间,且且V1 V2,则称则称V1为为V2子空间子空间.例例2 设设L=L(1,2,.,s)=k1 1+k
2、2 2+.+ks s|kiR,iRn则则L为为向量空间，且向量空间，且L Rn即即L为为向量空间向量空间Rn的子空间，称其为的子空间，称其为由向量由向量1,2,.,s生成的子空间生成的子空间.第三页，本课件共有20页第四章第四章 向量空间向量空间 1向量空间及其基、维数、坐标向量空间及其基、维数、坐标(续续3)定义定义3 设向量空间设向量空间V中一组中一组向量向量 A0:1,2,.,r 满足：满足：称称k1,k2,.,kr为向量为向量在在A0这组基下的坐标这组基下的坐标1)1,2,.,r线性无关；线性无关；=k11+k22+.+krr,2)V中任意向量中任意向量均可由均可由向量向量1,2,.,
3、r线性表示线性表示:则称则称1,2,.,r为为V的一组基的一组基，称称V为为r维向量空间维向量空间(V的维数为的维数为r),记作记作:dimV=r.第四页，本课件共有20页第四章第四章 向量空间向量空间 1向量空间及其基、维数、坐标向量空间及其基、维数、坐标(续续4)1.n维实向量全体的集合维实向量全体的集合Rn2.V1=dimRn=n(任意任意n个线性无关的个线性无关的n维实向量均为维实向量均为Rn的一组基的一组基)为为Rn的一组基的一组基2,3,n为为V1的一组基的一组基.dimV1=n-1第五页，本课件共有20页第四章第四章 向量空间向量空间 1向量空间及其基、维数、坐标向量空间及其基、
4、维数、坐标(续续5)3.n元齐次线性方程元齐次线性方程AX=0的解空间的解空间S.4.L=L(1,2,.,s)=k1 1+k2 2+.+ks s|kiR,iRn方程的基础解系为方程的基础解系为S的一组基的一组基.dimS=n-R(A).1,2,.,s的最大无关组为的最大无关组为L的一组基的一组基.dimL=R1 2.s第六页，本课件共有20页第四章第四章 向量空间向量空间 1向量空间及其基、维数、坐标向量空间及其基、维数、坐标(续续6)例例3.R2中中,分别求向量分别求向量=(2,3)T在下列两组基下在下列两组基下的坐标的坐标.解：解：=21+32 在基在基(I)下的坐标为下的坐标为2,3;又
5、又 =31-2 在基在基(II)下的坐标为下的坐标为3,-1.第七页，本课件共有20页第四章第四章 向量空间向量空间 2 Rn中的内积中的内积 标准正交基标准正交基向量空间是几何空间的抽象向量空间是几何空间的抽象.基是坐标系的抽象基是坐标系的抽象.性质：性质：定义：定义：n维向量维向量 几何空间的直角坐标系、两个向量的夹角、数量积、垂几何空间的直角坐标系、两个向量的夹角、数量积、垂直、向量的长度等概念，均可推广到向量空间中来直、向量的长度等概念，均可推广到向量空间中来.的的内积内积（等号当且仅当（等号当且仅当=0时成立）时成立）第八页，本课件共有20页第四章第四章 向量空间向量空间 2 Rn中
6、的内积中的内积 标准正交基标准正交基(续续1)性质：性质：定义向量定义向量 的长度：的长度：|=1时，称时，称为单位向量为单位向量.称称为为的单位化向量（标准化向量）的单位化向量（标准化向量）.第九页，本课件共有20页第四章第四章 向量空间向量空间 2 Rn中的内积中的内积 标准正交基标准正交基(续续2)例例1 设设=k,求求 的单位化向量的单位化向量0.称称为为的单位化向量（标准化向量）的单位化向量（标准化向量）.解：解：第十页，本课件共有20页第四章第四章 向量空间向量空间 2 Rn中的内积中的内积 标准正交基标准正交基(续续4)(,)=0时，称时，称与与 正交正交.零向量与任何向量正交零
7、向量与任何向量正交.当当，均非零向量时，定义均非零向量时，定义与与 的夹角：的夹角：定理定理1第十二页，本课件共有20页第四章第四章 向量空间向量空间 2 Rn中的内积中的内积 标准正交基标准正交基(续续5)定理定理2 设设1，2，s为两两正交的非零向量为两两正交的非零向量.则则 1，2，s线性无关线性无关证明：设证明：设k11+k22+kss=0.两边与两边与 i 作内积作内积,得：得：ki=0,i=1,2,.,s.1，2，s线性无关线性无关.ki(i，i)=0,第十三页，本课件共有20页第四章第四章 向量空间向量空间 2 Rn中的内积中的内积 标准正交基标准正交基(续续6)定义定义:设设1
8、，2，s是向量空间是向量空间V的一组的一组基基,且两两正交且两两正交,则称则称1，2，s为为V的一组正交基的一组正交基.若又有若又有|i|=1(i=1,2,s),则称则称1，2，s为为V的一组的一组标准正交基标准正交基.第十四页，本课件共有20页第四章第四章 向量空间向量空间 2 Rn中的内积中的内积 标准正交基标准正交基(续续7)Schmidt正交化方法正交化方法设设向量组向量组A:1，2，r线性无关线性无关,求与求与A等价的标准正交向量组等价的标准正交向量组.1.正交化：正交化：则则1,2,r两两正交两两正交.取取第十五页，本课件共有20页第四章第四章 向量空间向量空间 2 Rn中的内积中
9、的内积 标准正交基标准正交基(续续8)Schmidt正交化方法正交化方法设设向量组向量组A:1，2，r线性无关线性无关,求与求与A等价的标准正交向量组等价的标准正交向量组.2.标准化：标准化：(i=1,2,.,r)e1,e2,er即为所求标准正交向量组即为所求标准正交向量组.令令第十六页，本课件共有20页第四章第四章 向量空间向量空间 2 Rn中的内积中的内积 标准正交基标准正交基(续续9)定义定义:若若n阶实矩阵阶实矩阵A满足：满足：ATA=E，则称则称A为为正交矩阵正交矩阵.ATA=正交矩阵正交矩阵证：设证：设A=(1)|A|2=1；(3)A的行（列）向量组为标准正交向量组的行（列）向量组
10、为标准正交向量组.所以所以A的列向量两两正交且长度为的列向量两两正交且长度为1.=E性质：设性质：设A为为正交矩阵，则正交矩阵，则(2)A-1=AT亦为正交矩阵亦为正交矩阵;反之亦然反之亦然.第十七页，本课件共有20页第四章第四章 向量空间向量空间 2 Rn中的内积中的内积 标准正交基标准正交基(续续10)则则ATA=E,A为为正交矩阵正交矩阵.(A*)TA*=(|A|A-1)T(|A|A-1)=证：证：A*=|A|A-1,例例1 设设 A为正交矩阵，则为正交矩阵，则A*亦为正交矩阵亦为正交矩阵.=E如如A=|A|2AA-1A*亦为正交矩阵亦为正交矩阵.第十八页，本课件共有20页第四章第四章
11、向量空间向量空间 2 Rn中的内积中的内积 标准正交基标准正交基(续续11)例例2.设设为为n维列向量，且维列向量，且T=1,求实数求实数k,使使 H=E-k T为正交矩阵为正交矩阵.解解:E=HTH-2k+k2=0,k=2或或k=0.第十九页，本课件共有20页第四章第四章 向量空间向量空间 3 Rn上的线性变换上的线性变换则称则称T为为Rn上的线性变换上的线性变换.称称Y为为X在在T下的像下的像.例例 设设A=aijnn,对任意对任意XRn,Y=T(X)=AX,则则T为为Rn上的一个上的一个线性变换（从线性变换（从X到到Y的线性变换）的线性变换）.定义：若对定义：若对Rn中的任意向量，按照某一确定规则中的任意向量，按照某一确定规则T，Rn中中总有唯一确定的向量与之对应总有唯一确定的向量与之对应.记为记为:Y=T(X).且满足：且满足：A为可逆矩阵时，称为可逆矩阵时，称Y=AX为为可逆线性变换可逆线性变换；1）T(X1+X2)=T(X1)+T(X2);A为正交矩阵为正交矩阵,称称Y=AX为为正交变换正交变换.设设Y=AX为为正交变换，则对任意正交变换，则对任意,Rn,即即正交变换保持内积不变，从而保持长度、夹角不变正交变换保持内积不变，从而保持长度、夹角不变.2）T(kX)=kT(X).(kR;X1,X2Rn)第二十页，本课件共有20页