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1、2.5.2 圆与圆的位置关系（导学案） 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系.3.能综合应用圆与圆的位置关系解决问题.重点：圆与圆的位置关系及判定方法 难点：综合应用圆与圆的位置关系解决问题 圆与圆的位置关系的判定方法1.几何法:圆O1:(x-x1)2+(y-y1)2=r12(r10),圆O2:(x-x2)2+(y-y2)2=r22(r20),两圆的圆心距d=|O1O2|=(x1-x2)2+(y1-y2)2,则有位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1,r2的关系dr1+r2d=r1+r2|r1-r2|dr1+r2d=|r1-r2|d0),圆O2:x2+y
2、2+D2x+E2y+F2=0(D22+E22-4F20),两圆的方程联立得方程组,则有方程组解的情况2组1组0组两圆的公共点2个1个0个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含小试牛刀1. 判断下列两圆的位置关系:(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16.x2+y2+6x-7=0与x2+y2+6y-27=0.一、 情境导学日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日。日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生。日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食。 我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的? 前面我们运用直线的方程，圆的方程研究了直线与圆的位置关
3、系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系。二、典例解析例1 已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a0),圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a0).试求a为何值时,两圆C1,C2的位置关系为:(1)相切; (2)相交; (3)外离; (4)内含?判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法:利用两圆半径的和或差与圆心距作比较,得到两圆的位置关系;(2)代数法:把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题,转化为方程组的解的组数问题.跟踪训练1 若两圆x2+y2=a与x2+y2+6x-8y-11=0内切,则a的值为.例2已知圆C1:x2+y2
4、+6x-4=0和圆C2:x2+y2+6y-28=0.(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长;(2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.相交弦及圆系方程问题的解决1.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数.2.求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用距离公式求解;二是先求出两圆公共弦所在的直线方程,再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.3.已知圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相
5、交,则过两圆交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1).跟踪训练1 两圆相交于两点A(1,3)和B(m,-1),两圆圆心都在直线x-y+c=0上,则m+c的值为.例3求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+3y=0相切于点M(3,-3)的圆的方程.变式探究1 将本例变为“求与圆x2+y2-2x=0外切,圆心在x轴上,且过点(3,- 3)的圆的方程”,如何求?变式探究2将本例改为“若圆x2+y2-2x=0与圆x2+y2-8x-8y+m=0相外切”,试求实数m的值.1.两圆x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是(
6、)A.内切 B.相交 C.外切 D.外离2.圆C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直线方程是 .3.半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程为()A.(x-4)2+(y-6)2=16 B.(x4)2+(y-6)2=16C.(x-4)2+(y-6)2=36 D.(x4)2+(y-6)2=364.若圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-2ax+a2-1=0内切,则a等于.5. 已知两个圆C1:x2+y2=4,C2:x2+y2-2x-4y+4=0,直线l:x+2y=0,求经过C1和C2的交点且和l相切
7、的圆的方程.参考答案：知识梳理1.解:根据题意得,两圆的半径分别为r1=1和r2=4,两圆的圆心距d=2-(-2)2+(5-2)2=5.因为d=r1+r2,所以两圆外切.将两圆的方程化为标准方程,得(x+3)2+y2=16,x2+(y+3)2=36,故两圆的半径分别为r1=4和r2=6.两圆的圆心距d=0-(-3)2+(-3-0)2=32,因为|r1-r2|dr1+r2,所以两圆相交.学习过程例1 思路分析:求出圆心距,与两半径的和或差比较求出a的值.解:圆C1,C2的方程,经配方后可得C1:(x-a)2+(y-1)2=16,C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,圆心C1(a,1),C2(2
8、a,1),半径r1=4,r2=1.|C1C2|=(a-2a)2+(1-1)2=a.(1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切;当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切.(2)当3|C1C2|5,即3a5,即a5时,两圆外离.(4)当|C1C2|3,即0a0.两圆的圆心、半径长分别为(0,0),a与(-3,4),6.由于两圆内切,则(0+3)2+(0-4)2=|a-6|,解得a=121或a=1. 答案:121或1 例2 思路分析:(1)两圆方程相减求出公共弦所在直线方程,再根据半径、弦心距、弦长的关系求出弦长.(2)可求出两圆的交点坐标,结合圆心在直线x-y-4=0上
9、求出圆心坐标与半径,也可利用圆系方程求解.解:(1)设两圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点坐标是方程组x2+y2+6x-4=0, x2+y2+6y-28=0,的解.-,得x-y+4=0.A,B两点坐标都满足此方程,x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程.又圆C1的圆心(-3,0),r=13,C1到直线AB的距离为d=|-3+4|2=22,|AB|=2r2-d2=213-12=52,即两圆的公共弦长为52.(2)(方法1)解方程组x2+y2+6x-4=0,x2+y2+6y-28=0,得两圆的交点A(-1,3),B(-6,-2).设所求圆的圆心为(a,b),因圆心在直线x
10、-y-4=0上,故b=a-4.则(a+1)2+(a-4-3)2=(a+6)2+(a-4+2)2,解得a=12,故圆心为12,-72,半径为892.故圆的方程为(x-12)2+(y+72)2=892,即x2+y2-x+7y-32=0.(方法2)设所求圆的方程为x2+y2+6x-4+(x2+y2+6y-28)=0(-1),其圆心为(-31+,-31+),代入x-y-4=0,解得=-7.故所求圆的方程为x2+y2-x+7y-32=0.跟踪训练1 解析:由题意知直线AB与直线x-y+c=0垂直,kAB1=-1.即3-(-1)1-m=-1,得m=5,AB的中点坐标为(3,1).AB的中点在直线x-y+c
11、=0上,3-1+c=0,c=-2,m+c=5-2=3.答案:3 例3思路分析:设圆的方程,利用两圆外切和直线与圆相切建立方程组求得.解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),由题知所求圆与圆x2+y2-2x=0外切,则(a-1)2+b2=r+1.又所求圆过点M的切线为直线x+3y=0,故b+3a-3=3. |a+3b|2=r.解由组成的方程组得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-43,r=6.故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+43)2=36.变式探究1 解:因为圆心在x轴上,所以可设圆心坐标为(a,0),设半径为r,则所求圆的方程为(x-a)2+y2=r
12、2,又因为与圆x2+y2-2x=0外切,且过点(3,-3),所以(a-1)2+02=r+1,(3-a)2+(-3)2=r2, 解得a=4,r=2,所以圆的方程为(x-4)2+y2=4.又因为与圆x2+y2-2x=0外切,且过点(3,-3),所以(a-1)2+02=r+1,(3-a)2+(-3)2=r2, 解得a=4,r=2,所以圆的方程为(x-4)2+y2=4.变式探究2解:圆x2+y2-2x=0的圆心为A(1,0),半径为r1=1,圆x2+y2-8x-8y+m=0的圆心为B(4,4),半径为r2=32-m.因为两圆相外切,所以(4-1)2+(4-0)2=1+32-m,解得m=16.达标检测1
13、. 解析:圆x2+y2-1=0表示以O1(0,0)点为圆心,以R1=1为半径的圆.圆x2+y2-4x+2y-4=0表示以O2(2,-1)点为圆心,以R2=3为半径的圆.|O1O2|=5,R2-R1|O1O2|R2+R1,圆x2+y2-1=0和圆x2+y2-4x+2y-4=0相交.答案:B2.解析:两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x+3y-2=0.答案:4x+3y-2=03.解析:设所求圆心坐标为(a,b),则|b|=6.由题意,得a2+(b-3)2=(6-1)2=25.若b=6,则a=4;若b=-6,则a无解.故所求圆方程为(x4)2+(y-6)2=36.答案:D4.解析:圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=2.圆C2可化为(x-a)2+y2=1,即圆心C2(a,0),半径r2=1,若两圆内切,需|C1C2|=a2+02=2-1=1.解得a=1.答案:1 5. 解:设所求圆的方程为x2+y2+4-2x-4y+(x2+y2-4)=0,即(1+)x2+(1+)y2-2x-4y+4(1-)=0.所以圆心为11+,21+,半径为12(-21+)2+(-41+)2-16(1-1+),即11+41+5=124+16-16(1-2)(1+)2.解得=1,舍去=-1,圆x2+y2=4显然不符合题意,故所求圆的方程为x2+y2-x-2y=0.