动态几何问题总结课件.ppt

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1、 图图形形中中的的点点、线线的的运运动动，构构成成了了数数学学中中的的一一个个新新问问题题动动态态几几何何。它它通通常常分分为为三三种种类类型型：动动点点问问题题、动动线线问问题题、动动形形问问题题。这这类类试试题题以以运运动动的的点点、线线段段、变变化化的的角角、图图形形的的面面积积为为基基本本的的条条件件，给给出出一一个个或或多多个个变变量量，要要求求确确定定变变量量与与其其它它量量之之间间的的关关系系，或或变变量量在在一一定定条条件件下下为为定定量量时时，进进行行相相关关的的几几何计算、证明或判断。何计算、证明或判断。，在解这类题时，要充分发挥空间想象的能在解这类题时，要充分发挥空间想象

2、的能力，往往不要被力，往往不要被“动动”所迷惑，在运动中寻求一所迷惑，在运动中寻求一般与特殊位置关系；在般与特殊位置关系；在“动动”中求中求“静静”，化，化“动动”为为“静静”，抓住它运动中的某一瞬间，通，抓住它运动中的某一瞬间，通过探索、归纳、猜想，正确分析变量与其它量之过探索、归纳、猜想，正确分析变量与其它量之间的内在联系，建立变量与其它量之间的数量关间的内在联系，建立变量与其它量之间的数量关系。再充分利用直观图形，并建立方程、函数模系。再充分利用直观图形，并建立方程、函数模型或不等式模型，结合分类讨论等数学思想进行型或不等式模型，结合分类讨论等数学思想进行解答。解答。，1、动点与最值问题

3、相结合、动点与最值问题相结合2、动点与列函数关系式相结合、动点与列函数关系式相结合3、动点与坐标几何题相结合动点与坐标几何题相结合4、动点与分类讨论相结合动点与分类讨论相结合一、动点型一、动点型一、动点与最值问题相结合一、动点与最值问题相结合ADCBEADBCEF类似的试题有：类似的试题有：AMNDPBCNA.2 C.4B.D.ANMBPC A.6 B.8 C.4 D.10BMNADCE（3 3）若一个动点）若一个动点P P自自OAOA的中点的中点MM出发，先到达出发，先到达x x轴轴上的某点（设为点上的某点（设为点E E），再到达抛物线的对称轴上），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点某点（设

4、为点F F），最后运动到点），最后运动到点A A求使点求使点P P运动运动的总路径最短的点的总路径最短的点E E，点，点F F的坐标，并求出这个最的坐标，并求出这个最短总路径的长短总路径的长（4 4）已知抛物线）已知抛物线 与与y y轴交于点轴交于点 ，与，与轴分别交于轴分别交于 ，两点两点（1 1）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；（2 2）若点）若点D D为线段为线段OAOA的一个三等分点，求直线的一个三等分点，求直线DCDC的的解析式；解析式；APQ例例2：已知：如图：已知：如图：ABC中，中，C=90，AC=3cm，CB=4cm，两个动点两个动点P、Q 分别从分别从A、C两点同

5、时两点同时按顺时针方向沿按顺时针方向沿ABC的边运动，当的边运动，当点点Q运动到点运动到点A时，时，P、Q两点运动即两点运动即停止，点停止，点 P、Q的运动速度分别为的运动速度分别为 1cm/s、2cm/s。设点。设点P运动时间运动时间为为t(s)二、动点与列函数关系式相结合二、动点与列函数关系式相结合(2).当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化，设PQ与ABC围成阴影部分面积为S（cm），求出S与时间t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由。(1).当时间t为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三

6、角形的面积（图中的阴影部分）等于2cm；解：（1）解得(1)当时间当时间t为何值时，以为何值时，以P、C、Q三点为顶点三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2cm；APQ解：（解：（2）(2).(2).当当当当点点点点P P、QQ运运运运动动动动时时时时，阴阴阴阴影影影影部部部部分分分分的的的的形形形形状状状状随随随随之之之之变变变变化化化化，设设设设PQPQ与与与与ABC围围围围成成成成阴阴阴阴影影影影部部部部分分分分面面面面积积积积为为为为S S（cm），求求求求出出出出S S与与与与时间时间时间时间t t的函数关系式，并指出自变量的函数关系式，

7、并指出自变量的函数关系式，并指出自变量的函数关系式，并指出自变量t t的取值范围；的取值范围；的取值范围；的取值范围；当2t3时当0t2时当3t4.5时解：（解：（3）有）有APQ在在2t3时时在在0t2时时在在3t4.5时时 （3 3）点点点点P P、QQ在在在在运运运运动动动动的的的的过过过过程程程程中中中中，阴阴阴阴影影影影部部部部分分分分面面面面积积积积S S有有有有最最最最大大大大值值值值吗吗吗吗？若若若若有有有有，请请请请求求求求出出出出最最最最大大大大值值值值；若若若若没没没没有有有有，请请请请说说说说明理由。明理由。明理由。明理由。所以 S有最大值是 技技巧巧点点拨拨:由由几几

8、何何条条件件确确定定函函数数关关系系式式，关关键键在在于于寻寻找找两两个个变变量量的的等等量量关关系系，同同时时，确确定定自自变变量量取取值值范范围围也也是是完完整整解解这这类类题题不不可可忽忽视视的的步步骤骤，求求自自变变量量的的取取值值范范围围一一般般采采用用结结合合图图形形。直接确定其思维过程为：直接确定其思维过程为：x最大能最大能“逼近逼近”哪个点（数）？最小能哪个点（数）？最小能“逼近逼近”哪个点（数）？哪个点（数）？能否等于这个数？能否等于这个数？在变化过程中有无特殊点（数）在变化过程中有无特殊点（数）综合以上两点下结论，另外，此题还结合了动综合以上两点下结论，另外，此题还结合了动

9、态问题和分类问题，这是代数几何综合题，也是态问题和分类问题，这是代数几何综合题，也是今后发展的命题趋势。今后发展的命题趋势。(1)用含用含t的代数式分别表示的代数式分别表示CE和和QE的长；的长；(2)求求APQ的面积的面积S与与t的函数关系式；的函数关系式；(3)当当QE恰好平分恰好平分APQ的面积时，的面积时，QE的长是的长是多少厘米？多少厘米？类似的试题有：类似的试题有：A、B是直线是直线l上的两点，上的两点，AB=4厘米。过厘米。过l外一点外一点C作作CDl，射线，射线BC与与l所成的锐角所成的锐角1=60，线段，线段BC=2厘米。动点厘米。动点P、Q分别从分别从B、C同时出发，同时出

10、发，P以以每秒每秒1厘米的速度沿由厘米的速度沿由B向向C的方向运动。设的方向运动。设P、Q运运动的时间为动的时间为t(秒秒)，当，当t2时，时，PA交交CD于于E。如如图图，在平面直角坐，在平面直角坐标标系中，四系中，四边边形形为为矩形，点矩形，点的坐的坐标标分分别为别为，动动点点分分别别从点从点同同时时出出发发，以每秒，以每秒1个个单单位的速度运位的速度运动动，其中点，其中点沿沿向向终终点点运运动动，点，点沿沿向向终终点点运运动动，作作，交，交于点于点，连结连结，当两，当两动动点点秒秒时时过点过点运动了运动了（1）点的坐点的坐标为标为（，）（用含）（用含 的代数式表示）的代数式表示）（2）记

11、记的面的面积为积为，求 与 的函数关系式的函数关系式（3）当）当秒秒时时，有最大有最大值值，最大，最大值值是是（4）若点）若点 在在轴轴上，当上，当 有最大有最大值值且且为为等腰三角形等腰三角形时时，求直，求直线线的解析式的解析式OMxyCNP三、三、动点与坐标几何题相结合动点与坐标几何题相结合ABEF 解：（1）（2）在中，边上的高为即 OMxyCNP（3）EF 解：由（3）知，当有最大值时，此时（4）若点Q在y轴上，当s有最大值且QAN为等腰三角形时，求直线AQ的解析式的中点处，如下图,设则，.为等腰三角形，若，则，此时方程无解若，即，解得若，即，解得，在 当为时，设直线的解析式为，将代入

12、得直线的解析式为 当 为时，均在轴上，直线的解析式为（或直线为 轴）在同一直线上，不存在，舍去 故直线的解析式为，或当为时，1.如图如图3，A是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点OA与与O点重合点重合，假设硬币的直径为假设硬币的直径为1个单位长度，若个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点恰好与数轴上点 重合，则点重合，则点 对应的实数是对应的实数是类似的试题有：类似的试题有：例例4.已知，如图，在直角坐标系中，矩形已知，如图，在直角坐标系中，矩形的对角线所在直线解析式为：的对角线所在直线解析式为：（1）

13、在在x轴轴上上存存在在这这样样的的点点M，使使MAB为为等等腰腰三三角形，求出所有符合要求的点角形，求出所有符合要求的点 M 的坐标；的坐标；（2）动动点点P从从点点C开开始始在在线线段段CO上上以以每每秒秒 个个单单位位长长度度的的速速度度向向点点O移移动动，同同时时，动动点点Q从从点点O开开始始在在线线段段上上OA以以每每秒秒1个个单单位位长长度度的的速速度度向向点点A移移动动设设P,Q 移移动动的的时间为时间为t秒秒 是是否否存存在在这这样样的的时时刻刻t，使使OPQ 与与BCP相相似似，并说明理由；并说明理由；设设BPQ 的的面面积积为为s，求求s与与t间间的的函函数数关关系系式式，并

14、并求求出出t为为何何值值时时，s有最小值有最小值yCAxBO四、四、动点与分类讨论相结合动点与分类讨论相结合M1M2M3M5M4（1）易知 为底边，则 为腰且 时，由题意可知 为腰且 时，由题意可知，由对称性知 yCAxBO（2）假假设设存在存在这样这样的的时时刻刻，使，使与与相似相似由由或或得得或或即即或或解得解得或或又又，当当或或时时，与与相似相似 yCAxBOPQ（2）、是是否否存存在在这这样样的的时时刻刻t，使使OPQ 与与BCP相相似，并说明理由；似，并说明理由；当当时时，面，面积积有最小有最小值值，最小值是最小值是yCAxBOPQ（2）、设设BPQ 的的面面积积为为s，求求s与与t

15、间间的的函函数数关关系系式式，并并求求出出t为为何何值值时时，s有有最小值最小值1 1、如图，已知正三角形、如图，已知正三角形ABCABC的高为的高为9 9厘米，厘米，O O的的半径为半径为r r厘米，当圆心厘米，当圆心O O从点从点A A出发，沿线路出发，沿线路ABABBCBCCACA运动，回到点运动，回到点A A时，时，O O随着点随着点O O的运动而停的运动而停止止.（1 1）当）当r=9r=9厘米时，厘米时，O O在移动过程中与在移动过程中与ABCABC三三边有几个切点？边有几个切点？当当r=9r=9厘米时，厘米时，O O在移动过程在移动过程中与中与ABCABC三边有三个切点三边有三个

16、切点.ABC类似的题有：类似的题有：（2 2）当）当r=2r=2厘米时，厘米时，O O在移动过程中与在移动过程中与ABCABC三边有几个切点？三边有几个切点？当当r=2r=2厘米时，厘米时，O O在移动过程在移动过程中与中与ABCABC三边有六个切点三边有六个切点.ABC当当r9r9厘米时厘米时,没有切点没有切点;当当r=9r=9厘米时厘米时,有有3 3个切点个切点;当当0r90r9厘米时厘米时,有有6 6个切点个切点.（3 3）猜想不同情况下）猜想不同情况下,r,r的取的取值范围及相应的切点个数值范围及相应的切点个数;2.如图，如图，A是半径为是半径为12cm的的 O上的定点，动点上的定点，

17、动点P从从A出发，以出发，以 的速度沿圆周逆时针运动，的速度沿圆周逆时针运动，当点当点P回到回到A地立即停止运动地立即停止运动（1）如果）如果 ，求点，求点P运动的时间；运动的时间；（2）如果点）如果点B是是OA延长线上的一点，延长线上的一点，AB=OA，那么当那么当P点运动的时间为点运动的时间为2s时，判断直线时，判断直线BP与与 O的位置关系，并说明理由的位置关系，并说明理由解（解（1 1）当）当 时，点时，点P P运动的路程为运动的路程为 O O周长的周长的 或或 设点运动的时间为设点运动的时间为 当点当点P P运动的路程为运动的路程为 周长的周长的 时，时，OO O O解得当点运动的路

18、程为周长的时，解得当时，点运动的时间为或 OO连接OP、PA 当点P运动的时间为2s时，点P运动的路程为 （2）如图，当点运动的时间为时，直线与相切理由如下：，这类试题的分类讨论有固定的模这类试题的分类讨论有固定的模式，它要求学生通过观察、比较、式，它要求学生通过观察、比较、分析图形的变化，揭示图形之间的分析图形的变化，揭示图形之间的内在联系，要能够根据条件作出或内在联系，要能够根据条件作出或画出图形，从而进行分类画出图形，从而进行分类。，1、线平移型、线平移型2、线旋转型、线旋转型二、动线型二、动线型，1.线平移型线平移型NMOCAyxB（1）求 A、B两点的坐标。（2）设 OMN的面积为S

19、，直线l运动的时间为t秒（0t4），试求S与t的函数表达式。FL，OBMyxANC，类似的试题有：类似的试题有：如图，平面上一点从点出发，沿射线方向以每秒如图，平面上一点从点出发，沿射线方向以每秒1个单个单位长度的速度作匀速运动，在运动过程中，以为对角线位长度的速度作匀速运动，在运动过程中，以为对角线的矩形的边长；过点且垂直于射线的直线与点同时出发，的矩形的边长；过点且垂直于射线的直线与点同时出发，且与点沿相同的方向、以相同的速度运动且与点沿相同的方向、以相同的速度运动（1）在点运动过程中，试判断与轴的位置关系，并）在点运动过程中，试判断与轴的位置关系，并说明理由说明理由（2）设点与直线都运动

20、了秒，求此时的矩形与直线在）设点与直线都运动了秒，求此时的矩形与直线在运动过程中所扫过的区域的重叠部分的面积（用含的代运动过程中所扫过的区域的重叠部分的面积（用含的代数式表示）数式表示）xyOlBPMA，2.线旋转型线旋转型已知四边形已知四边形ABCD中，中，绕点绕点B旋转，它的两边分别交旋转，它的两边分别交AD,DC（或它们的延长线）于（或它们的延长线）于E,F（1）当）当 绕点绕点B旋转到旋转到 时（如图时（如图1），），求证：求证：（2）当）当 绕点绕点B旋转到旋转到 时，在图时，在图2和和图图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明

21、；若不成立，线段给予证明；若不成立，线段AE,CF,EF，又有怎样的，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明数量关系？请写出你的猜想，不需证明CCDDEEFFMM图2图3CDEFM图1NNEDEN，三、动图型三、动图型1、图形平移型、图形平移型2、图形旋转型、图形旋转型3、图形翻折型、图形翻折型，1.图形平移型图形平移型ABCEFG图图2DABCDEFG图图3ABCFG图图1在ABC中，AB=AC，CGBA交BA的延长线于点G一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的

22、长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；，（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DEBA于点E此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DEDF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）ABCEFGHDABCDEFG图图3图图2，类似的试题有：类似的试题有：1.如图，直线的解析式为 与x轴，y轴分别交于点A,B（1）求原点O到直线

23、 的距离；（2）有一个半径为1的C从坐标原点出发，以每秒1个单位长的速度沿y轴正方向运动，设运动时间为t（秒）当C与直线 相切时，求t的值BOCAlxy，2.已知抛物线 经过点A(0,5)和点B(3,2)（1）求抛物线的解析式；（2）现有一半径为1，圆心P在抛物线上运动的圆，问当P在运动过程中，是否存在P与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若Q的半径为r，点Q在抛物线上，当Q与两坐标轴都相切时，求半径r的值，2.图形旋转型图形旋转型填空或解答：点B,C,E在同一直线上，点A,D在直线CE的同侧，AB=AC，EC=ED，直线AE,BD交于点F（1）如图1，

24、若 ，则 _；如图2，若 ，则 _；DECBFDECBF图图1图图2DCBAF图图3DECBA F图图4DECBAF图图5AAE，（2）如图3，若 ，则 _（用含 的式子表示）；（3）将图3中的 绕点C旋转（点F不与点A,B重合），得图4或图5在图4中，与 的数量关系是_；在图5中，与 的数量关系是_请你任选其中一个结论证明EDECBAFDECBAF图图1图图2DCBAF图图3DECBAF图图4DECBAF图图5F，评析：本题利用图形不变性，探索了等腰三评析：本题利用图形不变性，探索了等腰三角形在旋转过程中的相关角度的关系。问题源于角形在旋转过程中的相关角度的关系。问题源于课本，高于课本，条件

25、由等边三角形弱化为等腰课本，高于课本，条件由等边三角形弱化为等腰三角形，灵活考查了同学们相似三角形的判定与三角形，灵活考查了同学们相似三角形的判定与性质的灵活应用，而且问题设置成从简单到复杂性质的灵活应用，而且问题设置成从简单到复杂渐次展开的形式，使同学们在解决问题的过程中渐次展开的形式，使同学们在解决问题的过程中逐渐认识了问题的本质。逐渐认识了问题的本质。解：（1）（2）（3）图4中：图5中：，如图（如图（1），在平面直角坐标系中，），在平面直角坐标系中，ABCO的顶点的顶点O在原点，在原点，点点A的坐标为的坐标为(-2,0)，点，点B的坐标为的坐标为(0,2)，点，点C在第一象限在第一象限

26、（1）直接写出点）直接写出点C的坐标；的坐标；（2）将）将ABCO绕点绕点O逆时针旋转，使逆时针旋转，使OC落在落在Y轴的正半轴轴的正半轴上，如图（上，如图（2），得），得DEFG（点（点D与点与点O重合）重合）FG与边与边AB，x轴分别交于点轴分别交于点Q，点，点P设此时旋转前后两个平行四边形重设此时旋转前后两个平行四边形重叠部分的面积为叠部分的面积为 ，求，求 的值；的值；（3）若将（）若将（2）中得到的）中得到的DEFG沿沿x轴正方向平移，在移动轴正方向平移，在移动的过程中，设动点的过程中，设动点D的坐标为的坐标为(t,0)，DEFG与与ABCO重叠重叠部分的面积为部分的面积为s，写出，

27、写出s与与t（0t2）的函数关系式（直接）的函数关系式（直接写出结果）写出结果）xyAC（D）OGPAQFEBxyBCOA图（图（1）图（图（2），三图形翻折型三图形翻折型生活中，有人喜欢把传送的便条折成如下图的形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：BMAAAAMMMBBBP如果由信纸折成的长方形纸条（图如果由信纸折成的长方形纸条（图）长为）长为26cm，宽为，宽为xcm，分，分别回答下列问题：别回答下列问题：（1）为了保证能折成图）为了保证能折成图的形状（即纸条两端均超出点的形状（即纸条两端均超出点p），试求），试求x的取值范围的取值范围（2）如果不但要折成图）如果不但要折成图的

28、形状，而且为了美观，希望纸条两端的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点超出点p的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点时起点M与点与点A的距离（用的距离（用x表示）表示），解：（解：（1）由折纸过程知）由折纸过程知 ，（2）图）图为对称图形，为对称图形，即点即点M与点与点A的距离是的距离是 cm 评析：本题以同学们信手拈来的纸片为用评析：本题以同学们信手拈来的纸片为用具，通过折叠、旋转来考查对称变化的思想，具，通过折叠、旋转来考查对称变化的思想，真正体现了重视实践的理念。折叠这类问题实真正体现了重视实践的理念。折叠这类问题实际

29、上是对称问题，解此类题目应抓住翻折前后际上是对称问题，解此类题目应抓住翻折前后的轴对称的有关性质及一些隐含的位置关系和的轴对称的有关性质及一些隐含的位置关系和数量关系分类讨论来解决。这类问题主要注重数量关系分类讨论来解决。这类问题主要注重培养同学们用动态的观点去看待问题，有利于培养同学们用动态的观点去看待问题，有利于同学们空间想象能力和动手操作能力的锻炼。同学们空间想象能力和动手操作能力的锻炼。，基于上述分析，可以发现动态几何问题知基于上述分析，可以发现动态几何问题知识覆盖面广、形式多样，其中蕴含数学思想丰识覆盖面广、形式多样，其中蕴含数学思想丰富，同学们在考试中较好解决此类问题是有一富，同学

30、们在考试中较好解决此类问题是有一定难度的。要想有效地提高数学总复习的质量定难度的。要想有效地提高数学总复习的质量和效益，使同学们能较好的应对动态几何型问和效益，使同学们能较好的应对动态几何型问题，必须做到：题，必须做到：1.重视双基和数学思想方法重视双基和数学思想方法 中考数学试题很多都来源于课本或同学们的生活中考数学试题很多都来源于课本或同学们的生活实践，从基本要求出发适当加以拓展，因此，在具实践，从基本要求出发适当加以拓展，因此，在具体学习中要探索和挖掘丰富、自然、详尽的合情推体学习中要探索和挖掘丰富、自然、详尽的合情推理过程。理过程。，2.突出探究性活动，重视适度论证突出探究性活动，重视适度论证 在学习时，要尽可能的通过丰富的实例，激发学习兴趣，通过自主探索，认识和掌握图形性质，积累经验，操作数学的过程，同时不要放松推理和论证的要求。3.把握审题关、计算的准确关和表达的规范关把握审题关、计算的准确关和表达的规范关 动态几何压轴题往往文字阅读量较大，因此在平时训练中要求同学们仔细读题、审题，力求从语法结构、逻辑关系、数学含义等方面真正看懂题目，弄清条件和结论是什么？它们分别与哪些知识有联系？仔细思考，找到解题途径。同时注意推理要严谨、逻辑性强，表达书写整洁规范