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1、12021鼓楼四校数学八上期中试卷一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1第 24 届冬季奥林匹克运动会，将于 2022 年 02 月 04 日 2022年 02 月 20 日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是()ABCD2如图，已知ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与ABC全等的是()A甲B乙C丙D丁3满足下列条件的ABC不是直角三角形的是()AB
2、C 1，AC 2，AB3BBC 1，AC 2，AB5CBC : AC : AB 3:4:5DA:B :C 3:4:54在如图的方格中，ABC的顶点A、B、C都是方格线的交点，则三角形ABC的外角ACD的度数等于()A130B135C140D14525已知三个城镇中心A、B、C恰好位于等边三角形的三个顶点，在A、B、C之间铺设光缆连接，实线为所铺的路线，四种方案中光缆铺设路线最短的是()ABCD6勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 2 的方式放置在最大正方形内若知道图中阴影部分的面积，则一
3、定能求出()A直角三角形的面积B最大正方形的面积C较小两个正方形重叠部分的面积D最大正方形与直角三角形的面积和二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）74 的算术平方根是，64 的立方根是8下列五个数8，2 ，227，38，3.1415926 中，是无理数的有个9如图，在ABC中，B C，AD平分BAC，AB 5，BC 6，则AD （第 9 题）（第 10 题）（第 11 题）310 如图， 已知点A、D、B、F在一条直线上，AC EF，AB DF， 要使ABC FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需填一个
4、即可）11如图，在ABC中，AB的垂直平分线l交BC于点D，BC 7，AC 4，则ACD的周长为12如图，在RtABC中ACB 90A 50，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD那么ACD的度数是13 如图所示， 在44的方格中每个小正方形的边长是单位 1， 小正方形的顶点称为格点 现有格点A、B，在方格中任意找一点C（必须是格点） ，使ABC成为等腰三角形这样的格点有个14 如图，MAB为锐角，AB a， 点C在射线AM上， 点B到射线AM的距离为d ，BC x，若ABC的形状、大小是唯一确定的，则 x 的取值范围是（第 12 题）（第 13 题）（第 14 题）15矩形
5、ABCD中，AB 10，BC 3，E为AB边的中点，P为CD边上的点，且AEP是腰长为 5 的等腰三角形，则DP 16如图，在边长为 2 的等边ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边BEF，连接DF当BDF的周长最小时，DBF的度数是（第 16 题）三、解答题（本大题共 10 小题，共 68 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、 （本题 4 分）计算：2( 3)2( 2) 318418、 （本题 6 分）解方程（1）(x 1)264（2）8x3 27 019、 （本题 5 分）已知：如图，ABC DCB，BD、CA分别是
6、ABC、DCB的平分线，求证：AB DC20、 （本题 7 分）证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形 已知：如图，在ABC中，；求证：；证明：21、 （本题 6 分）下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程 已知：直线l及直线l上一点A求作：直线AB，使得AB l作法：以点A为圆心，任意长为半径画弧，交直线l于C，D两点；5分别以点C和点D为圆心，大于12CD 长为半径画弧，两弧在直线l一侧相交于点B；作直线AB所以直线AB就是所求作的垂线 根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：AC ，BC ，AB l(
7、) （填推理的依据）22、 （本题 8 分） 课间， 小明拿着王老师的等腰直角三角板玩， 三角板不小心掉到墙缝中 我们知道两堵墙都是与地面垂直的， 如图 王老师没有批评他， 但要求他完成如下两个问题：（1）试说明ADC CEB；（2）从三角板的刻度知AC 25cm，算算一块砖的厚度 （每块砖的厚度均相等） 小明先将问题所给条件做了如下整理： 如图，ABC中，CA CB，ACB 90，ADDE于D，BE DE于E请你帮他完成上述问题623、 （本题 7 分）在RtABC中，ACB 90，BC a，AC b，AB c将RtABC绕点O依次旋转90、180和270，构成的图形如图所示该图是我国古代数
8、学家赵爽制作的“勾股圆方图” ，也被称作“赵爽弦图” ，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据（1）请利用这个图形证明勾股定理；（2）图 2 所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个RtABC绕中心点 O顺时针连续旋转 3 次，每次旋转 90得到的，如果中间小正方形的面积为 1cm2，这个图形的总面积为 113 cm2，AD2cm，则徽标的外围周长为cm.DOACB（图 1）（图 2）24、 （本题 6 分）请仅用无刻度的直尺分别按下列要求在方格纸中画图.（1）请在图 1 的方格纸中，利用网格线和三角尺画图，在AC上找
9、一点P，使得P到AB、BC的距离相等； （不写做法，保留画图痕迹）（2） 在图 2 的四边形ABCD内找一点P， 使APB CPB，APD CPD（写出画法，保留画图痕迹）725、 （本题 9 分）已知：在ABC中，点E在直线AC上，点B、D、E在同一条直线上，且BA BD，BAE D【问题初探】（1）如图 1，若BE平分ABC，求证：AEB BCE 180 请依据以下的简易思维框图，写出完整的证明过程【变式再探】（2） 如图 2， 若BE平分ABC的外角ABF， 交CA的延长线于点E， 问：AEB和BCE的数量关系发生改变了吗？若改变，请写出正确的结论，并证明；若不改变，请说明理由【拓展运用
10、】（3）如图 3，在（2）的条件下，若AB BC，CD 1，求EC的长度826、 （本题 10 分）在四边形ABCD中，A B C D 90，AB CD 10，BC AD 6，P为射线BC上一点，将ABP沿直线AP翻折至AEP的位置，使点B落在点E处（1）若P为BC上一点如图 1，当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图 1 中作出满足条件的点E（不写作法，保留作图痕迹） ，并直接写出此时CE ；如图 2，连接CE，若CE / /AP，则BP与BC有何数量关系？请说明理由；（2）如果点P在BC的延长线上，当PEC为直角三角形时，求PB的长【鼓楼四校数学】【鼓楼四校数学】2021 八上八上期中试
11、卷期中试卷答案答案 一、选择题一、选择题（本大题共（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分分. 在每小题所给出的四个选项中，恰在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 题号题号 1 2 3 4 5 6 答案答案 D B D B D C 第第 6 题解析题解析: 解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a， 由勾股定理得，222cab=+， 阴影部分的面积222()()cba cbaacaba abc=+=+， 较小两个正
12、方形重叠部分的宽()acb=，长a=， 则较小两个正方形重叠部分底面积()a abc=+， 知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积 二二、填空题、填空题（本大题共（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分分. 不需写出解答过程，请把答案直不需写出解答过程，请把答案直接填写在接填写在答题卡相应的位置上答题卡相应的位置上） 第第 15 题解析：题解析：解： （1）如图 1，当5AEEP=时， 过P作PMAB， 90PMB=， 四边形ABCD是矩形， 90BC= =， 四边形BCPM是矩形， 3PMBC=， 5PE =， 222594EMPEPM
13、=， E是AB中点， 5BE=， 541BMPC=， 1019DP= =； （2）如图 2，当5AEAP=时，222594DPAPAD=； 题号题号 7 8 9 10 11 答案答案 2 , -4 2 4 AF= 11 题号题号 12 13 14 15 16 答案答案 20 8 xd=或x a 1 或 4 或 9 30 9 （3）如图 3，当5AEEP=时， 过P作PFAB， 四边形ABCD是矩形， 90DDAB= =， 四边形BCPF是矩形， 3PFAD=， 5PE =， 2594EF=， E是AB中点， 5AE=， 541DPAF= 故答案为：1 或 4 或 9 第第 16 题解析：题解析
14、：解：如图，连接CF， ABC、BEF都是等边三角形， ABBCAC=，BEEFBF=，60BACABCACBEBFBEFBFE= = = = = =， ABCEBDEBFEBD= ， ABECBF= ， 在BAE和BCF中， ABBCABECBFBEBF= =， ()BAEBCF SAS ， 30BCFBAD= =， 如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FDFG=， 当B，F，G在同一直线上时，DFBF+的最小值等于线段BG长， 且BGCG时，BDF的周长最小， 由轴对称的性质，可得260DCGBCF= =，CDCG=， DCG是等边三角形， DGDCDB=， 10 1302D
15、BGDGBCDG=， 故答案为：30 三、解答题三、解答题（本大题共（本大题共 10 小题，共小题，共 68 分分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 17、解： （1）原式1| 3| 22= + 1322=+ 142=； 18、解： （1）18x + = 7x =或9 （2）3827x = 3278x = 32x = 19、解：BD、CA分别是ABC、DCB的平分线， 12DBCABC=，12ACBDCB=， ABCACB= ， ACBDBC= ， 在ABC和DCB中， ABCDCBBCC
16、BACBDBC= = ， ()ABCDCB ASA ， ABDC= 20、证明：过点A作ADBC，垂足为D ADBC， 90ADBADC= =， 在ABD与ACD中， BC= ，ADBADC= ，ADAD=， ()ABDACD AAS 11 ABAC=， 21、解： （1）如图： （2）证明：ACAD=，BCBD=， ABl（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上） （填推理的依据） 故答案为AD，BD； “到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上” 22、证明： （1）ADDE，BEDE， 90ADCBEC= =， 90CADACD+ =， 90ACB=， 180909
17、0ACDBCE+ = =， CADBCE= ， 由90ADCBEC= =，CADBCE= ，CACB=，可得ADCCEB ； （2）设每块砖厚度为xcm，由得，3DCBEx=cm，4ADx=cm， 90ADC=， 222ADCDAC+=， 即222(4 )(3 )25xx+=， 解得5x =，( 5舍去） ， 每块砖厚度为5cm 23、解： （1）因为边长为c的正方形面积为2c， 它也可以看成是由 4 个直角三角形与 1 个边长为()ab的小正方形组成的， 它的面积为22214()2ababab+=+， 所以222cab=+ （2）52 24、解： （1）如图，点P即为所求 （2）如图，连接B
18、D，取格点R，作直线CR交BD于点P，连接PA，点P即为所求 12 25、证明： （1）BE平分ABC， ABDDBC= ， 又BABD=，BAED= ， ()ABEDBC ASA ， BEBC=， BCEBEC= ， 180AEBBEC+ =， 180AEBBCE+ =； （2）结论改变了，AEBBCE= ， 理由如下： BE平分ABF， ABEFBEDBC= = ， 又BABD=，BAED= ， ()ABEDBC ASA ， BE=BC AEBBCE= ； （3）如图 3，连接AD， ABBC， 90ABFABC= = ， 45ABEFBEDBC= = =， ABEDBC ， 1CDAE=
19、，BEBC=， ABDB=，135ABDABCCBD= + =， 13 22.5BADBDA= =， BEBC=， BEABCE= ， 45EBFEBCE= + =，AEBBCD= ， 45BCDBCEACD+ = = ，22.5BEABCE= =， 22.5AEBADB= =， 1AEAD=，45DAC=， 90ADC=， 22ACCD=， 21CEACAE=+=+ 26、解： （1）如图：以点A为圆心，AB为半径交CD于点E， 10AEAB=，6AD =，90D=， 22221068DEAEAD=， 1082CEDCDE=； 故答案为：2； 2BCBP=，理由如下： 将ABP沿直线AP翻折
20、至AEP的位置， APBAPE= ，PEBP=， / /CEAP， CEPAPE= ，ECPAPB= ， PECECP= ， EPCP=， BPPC=， 2BCBP=； （2）PEC是直角三角形， 当90EPC=时，如图 90EPCAEPB= = =，且EPBP=， 四边形ABPE是正方形， 10PBAB=； （图） 14 当90ECP=时，如图 则90ECPB= =， / /ECAB， / /DCAB， 点E、D、C三点共线， 由翻折知10AEAB=，根据勾股定理得8DE =， 18EC=， 设BPx=，则6PCx=， 在Rt ECP中，由勾股定理得： （如图） 22218(6)xx+=， 解得30 x =， 30PB=； 当90PEC=时，点P在线段BC上，不符合题意，舍去， 综上：10BP =或 30 15