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1、第四章 连续时间傅立叶变换第一页，本课件共有68页本本章的主要内容章的主要内容:1.连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换;2.傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系;3.傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质;4.系统的频率响应及系统的频域分析；系统的频率响应及系统的频域分析；第二页，本课件共有68页 在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号，对非周期信号应该如何进行分解，什么是号，对非周期信号应该如何进行分解，什么是非周期信号的频谱表示，线性时不变系统对非非周期信号的频谱表示，线性时不变系统对非周期信号的响应如何求得，就是这一章要解决
2、周期信号的响应如何求得，就是这一章要解决的问题。的问题。4.0 引言引言 Introduction 第三页，本课件共有68页 在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信号；反无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信号；反过来，如果将任何非周期信号进行周期性延拓，就过来，如果将任何非周期信号进行周期性延拓，就一定能形成一个周期信号。一定能形成一个周期信号。我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在大时的极限，从而考查连续时间傅立叶级数
3、在 T趋于趋于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期信号的无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期信号的频域表示方法。频域表示方法。第四页，本课件共有68页4.1 非周期信号的表示非周期信号的表示连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换Representation of Aperiodic Signals:The Continuous-Time Fourier Transform一一.从傅立叶级数到傅立叶变换从傅立叶级数到傅立叶变换 我们已经看到，周期性矩形脉冲，当周期我们已经看到，周期性矩形脉冲，当周期 增大时，频谱的幅度随增大时，频谱的幅度随 的增大而下降；谱线间的增大而下降；谱线间隔随隔随 的
4、增大而减小；但频谱的包络不变。的增大而减小；但频谱的包络不变。再次考察周期性矩形脉冲的频谱图：再次考察周期性矩形脉冲的频谱图：第五页，本课件共有68页 当当 时，周期性矩形脉冲信号将演变成为时，周期性矩形脉冲信号将演变成为非周期的单个矩形脉冲信号。非周期的单个矩形脉冲信号。（a）（b）(a)(b)00第六页，本课件共有68页 由于由于 也随也随 增大而减小，并最增大而减小，并最终趋于终趋于0 0，考查，考查 的变化，它在的变化，它在 时应该时应该是有限的。是有限的。于是，我们推断出于是，我们推断出:当当 时，离散的频谱将时，离散的频谱将演变为连续的频谱。演变为连续的频谱。由由当当 时时,第七页
5、，本课件共有68页如果令如果令则有则有与周期信号傅立叶级数对比有：与周期信号傅立叶级数对比有：这表明这表明:周期信号的频谱就是与它相对应的非周期周期信号的频谱就是与它相对应的非周期信号频谱的样本。信号频谱的样本。根据傅立叶级数表示：根据傅立叶级数表示：连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换第八页，本课件共有68页当当时，时，于是有：于是有：傅立叶反变换傅立叶反变换 此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连续分布、振幅为连续分布、振幅为 的复指数信号之和。的复指数信号之和。由于由于 具有频谱随频率分具有频谱随频率分布的物理含义，因而称布的物理含义，因而
6、称 为为频谱密度函数频谱密度函数。第九页，本课件共有68页于是，我们得到了对非周期信号的频域描述方法于是，我们得到了对非周期信号的频域描述方法这一对关系被称为连续时间傅立叶变换对。这一对关系被称为连续时间傅立叶变换对。第十页，本课件共有68页 可见，周期信号的频谱是对应的非周期信号可见，周期信号的频谱是对应的非周期信号频谱频谱的样本的样本；而非周期信号的频谱是对应的周期信号；而非周期信号的频谱是对应的周期信号频频谱的包络。谱的包络。既然傅立叶变换的引出是从周期信号的傅立叶既然傅立叶变换的引出是从周期信号的傅立叶级数表示出发，讨论周期趋于无穷大时的极限得级数表示出发，讨论周期趋于无穷大时的极限得
7、来的，傅立叶变换的收敛问题就应该和傅立叶级来的，傅立叶变换的收敛问题就应该和傅立叶级数的收敛相一致。数的收敛相一致。二二.傅立叶变换的收敛傅立叶变换的收敛第十一页，本课件共有68页这表明能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。这表明能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。2.Dirichlet 条件条件a.绝对可积条件绝对可积条件1.若若则则 存存在。在。也有相应的两组条件：也有相应的两组条件：b.在任何有限区间内，在任何有限区间内，只有有限个极值点，只有有限个极值点，且极值有限。且极值有限。c.在任何有限区间内，在任何有限区间内，只有有限个第一类只有有限个第一类间断点。间断点。第十二页，本课件共有6
8、8页 应该指出应该指出:这些条件只是傅立叶变换存在的充分条这些条件只是傅立叶变换存在的充分条件件。和周期信号的情况一样，当和周期信号的情况一样，当 的傅立叶变换存的傅立叶变换存在时，其傅立叶变换在在时，其傅立叶变换在 的连续处收敛于信号本的连续处收敛于信号本身，在间断点处收敛于左右极限的平均值，在间断身，在间断点处收敛于左右极限的平均值，在间断点附近会产生点附近会产生Gibbs 现象。现象。这两组条件并不等价。例如：这两组条件并不等价。例如：是平方可积是平方可积的，但是并不绝对可积。的，但是并不绝对可积。第十三页，本课件共有68页三三.常用信号的傅立叶变换：常用信号的傅立叶变换：1.010第十
9、四页，本课件共有68页2.结论：结论：实偶信号的傅立叶实偶信号的傅立叶变换是实偶函数。变换是实偶函数。此时可以用此时可以用一幅图表示信号的频谱。一幅图表示信号的频谱。对此例有对此例有10第十五页，本课件共有68页3.0 这表明这表明 中包括了所有的频率成分，且所中包括了所有的频率成分，且所有频率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单有频率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲激响应位冲激响应 才能完全描述一个才能完全描述一个LTI系统的特系统的特性，性，才在信号与系统分析中具有如此重要才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。的意义。01第十六页，本课件共有68页 显然，将显然，将 中的中的
10、 代之以代之以 再乘以再乘以 ，即，即是相应周期信号的频谱是相应周期信号的频谱4.矩形脉冲矩形脉冲:第十七页，本课件共有68页1 10 01 10 00 00 0不同脉冲宽度对频谱的影响不同脉冲宽度对频谱的影响可见，可见，信号在时域和频域之间有一种相反的关系信号在时域和频域之间有一种相反的关系。第十八页，本课件共有68页(称为称为理想低通滤波器理想低通滤波器)与矩形脉冲情况对比，可以发现与矩形脉冲情况对比，可以发现信号在时域和频域信号在时域和频域之间存在一种对偶关系。之间存在一种对偶关系。5.1，0，1 10 00 0第十九页，本课件共有68页对偶关系可表示如下对偶关系可表示如下:1 10 0
11、1 10 00 00 0第二十页，本课件共有68页 同时可以看到，同时可以看到，信号在时域和频域之间也有一种信号在时域和频域之间也有一种相反的关系相反的关系。即信号在时域脉冲越窄，则其频谱主。即信号在时域脉冲越窄，则其频谱主瓣越宽，反之亦然。瓣越宽，反之亦然。对例对例5.我们可以想到，如果我们可以想到，如果 ，则，则 将趋于将趋于一个冲激。一个冲激。6.若若 则有则有因为因为所以所以第二十一页，本课件共有68页四四.信号的带宽信号的带宽(Bandwidth of Signals):由信号的频谱可以看出：信号的主要能量总是集由信号的频谱可以看出：信号的主要能量总是集中于低频分量。另一方面，传输信
12、号的系统都具有中于低频分量。另一方面，传输信号的系统都具有自己的频率特性。因而，工程中在传输信号时，没自己的频率特性。因而，工程中在传输信号时，没有必要一定要把信号的所有频率分量都有效传输，有必要一定要把信号的所有频率分量都有效传输，而只要保证将占据信号能量主要部分的频率分量有而只要保证将占据信号能量主要部分的频率分量有效传输即可。为此，需要对信号定义带宽。通常有效传输即可。为此，需要对信号定义带宽。通常有如下定义带宽的方法如下定义带宽的方法:第二十二页，本课件共有68页2.对包络是对包络是 形状的频谱，通常定义主形状的频谱，通常定义主瓣宽度瓣宽度(即即频谱第一个零点内的范围频谱第一个零点内的
13、范围)为信号带宽。为信号带宽。下降到最大值的下降到最大值的 时对应的频率范围时对应的频率范围,此时此时带内信号带内信号分量占有信号总能量的分量占有信号总能量的1/2。1.以矩形脉冲为例，按带宽的定义，可以得出，以矩形脉冲为例，按带宽的定义，可以得出，脉宽脉宽乘以带宽等于常数乘以带宽等于常数C(脉宽带宽积脉宽带宽积)。这清楚地反映了。这清楚地反映了频域和时域的相反关系。频域和时域的相反关系。第二十三页，本课件共有68页4.2 周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换 到此为止，我们对周期信号用傅立叶级数表示，非到此为止，我们对周期信号用傅立叶级数表示，非周期信号用傅立叶变换表示。因为数学描述方法
14、的不周期信号用傅立叶变换表示。因为数学描述方法的不一致，在某些情况下一致，在某些情况下,会给我们带来不便。但由于周会给我们带来不便。但由于周期信号不满足期信号不满足 Dirichlet 条件，因而不能直接从定义出条件，因而不能直接从定义出发，建立其傅立叶变换表示。发，建立其傅立叶变换表示。The Fourier Transformation of Periodic Signals所对应的信号所对应的信号考查考查第二十四页，本课件共有68页 这表明这表明周期性复指数信号的频谱是一个冲激周期性复指数信号的频谱是一个冲激。于是当把周期信号表示为傅立叶级数时，因为于是当把周期信号表示为傅立叶级数时，因
15、为就有就有周期信号的傅立叶变换表示周期信号的傅立叶变换表示若若 则则第二十五页，本课件共有68页 这表明：周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组这表明：周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组成，每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处，成，每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处，其冲激强度正比于对应的傅立叶级数的系数其冲激强度正比于对应的傅立叶级数的系数 。例例1：第二十六页，本课件共有68页例例2：例例3：均匀冲激串均匀冲激串第二十七页，本课件共有68页010第二十八页，本课件共有68页例例4.周期性矩形脉冲周期性矩形脉冲01第二十九页，本课件共有68页4.3 连续时间傅立叶变换的性质连续时间傅立
16、叶变换的性质 讨论傅立叶变换的性质，旨在通过这些性质揭示讨论傅立叶变换的性质，旨在通过这些性质揭示信号时域特性与频域特性之间的关系，同时掌握和信号时域特性与频域特性之间的关系，同时掌握和运用这些性质可以简化傅立叶变换对的求取。运用这些性质可以简化傅立叶变换对的求取。1.线性线性:Linearity则则Properties of the Continuous-Time Fourier Transform若若第三十页，本课件共有68页2.时移时移:Time Shifting这表明信号的时移只影响它的相频特性，其相频特性这表明信号的时移只影响它的相频特性，其相频特性会增加一个线性相移。会增加一个线性
17、相移。则则若若3.共轭对称性共轭对称性:Conjugate and Symmetry 若若 则则第三十一页，本课件共有68页所以所以即即 若若 是实信号，则是实信号，则于是有于是有:由由可得可得第三十二页，本课件共有68页即即实部是偶函数实部是偶函数虚部是奇函数虚部是奇函数 若若则可得出则可得出即：即：模是偶函数，相位是奇函数模是偶函数，相位是奇函数 若若则可得则可得第三十三页，本课件共有68页 如果如果即信号是偶函数。则即信号是偶函数。则表明：表明：实偶信号的傅立叶变换是偶函数。实偶信号的傅立叶变换是偶函数。表明表明 是实函数。是实函数。若若 即信号是奇函数，同样可即信号是奇函数，同样可以得
18、出以得出:所以所以又因为又因为第三十四页，本课件共有68页表明表明 是奇函数是奇函数表明表明 是虚函是虚函数数 若若则有则有:第三十五页，本课件共有68页例例:的频谱的频谱:101/20-1/21/20将将 分解为偶部和奇部有分解为偶部和奇部有第三十六页，本课件共有68页第三十七页，本课件共有68页4.时域微分与积分时域微分与积分:Differentiation and Integration(可将微分运算转变为代数运算可将微分运算转变为代数运算)(将将两边对两边对 微分即得该性质微分即得该性质)由时域积分特性从由时域积分特性从也可得到也可得到:（时域积分特性）（时域积分特性）则则若若第三十八
19、页，本课件共有68页5.时域和频域的尺度变换时域和频域的尺度变换:Scaling当当 时，有时，有 尺度变换特性表明：尺度变换特性表明：信号如果在时域扩展信号如果在时域扩展 a 倍，倍，则其带宽相应压缩则其带宽相应压缩 a 倍，反之亦然。倍，反之亦然。这就从理论上这就从理论上证明了时域与频域的相反关系，也证明了信号的脉证明了时域与频域的相反关系，也证明了信号的脉宽带宽积等于常数的结论。宽带宽积等于常数的结论。则则若若时域中的压缩（扩展）对应频域中的扩展（压缩）时域中的压缩（扩展）对应频域中的扩展（压缩）第三十九页，本课件共有68页6.对偶性对偶性:Duality若若则则证明：证明：第四十页，本
20、课件共有68页第四十一页，本课件共有68页也可由也可由得到证明。得到证明。根据根据得得这就是这就是移频特性移频特性例如例如:由由 有对偶关系有对偶关系利用时移特性有利用时移特性有再次对偶有再次对偶有由对偶性可以方便地将时域的某些特性对偶到频域由对偶性可以方便地将时域的某些特性对偶到频域第四十二页，本课件共有68页由由得得所以所以频域微分特性频域微分特性该特性也可由对偶性从时域微分特性得出该特性也可由对偶性从时域微分特性得出:第四十三页，本课件共有68页由由有有利用利用时域微分特性时域微分特性有有对对再次对偶得再次对偶得频域微分特性频域微分特性第四十四页，本课件共有68页由时域积分特性，可对偶出
21、频域积分特性由时域积分特性，可对偶出频域积分特性利用利用时域积分特性时域积分特性再次对偶再次对偶由由有有频域积分特性频域积分特性第四十五页，本课件共有68页7.Parseval定理定理:若若则则 这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以在频域求得。由于以在频域求得。由于 表示了信号表示了信号能量在频域的分布，因而称其为能量在频域的分布，因而称其为“能量谱密度能量谱密度”函数。函数。第四十六页，本课件共有68页4.4 卷积性质卷积性质 The Convolution Property一一.卷积特性：卷积特性：由于卷积特性的存在，使对由于卷积特性的存在，使
22、对LTI系统在频域进行分系统在频域进行分析成为可能。本质上，卷积特性的成立正是因为复指数析成为可能。本质上，卷积特性的成立正是因为复指数信号是一切信号是一切LTI系统的特征函数。系统的特征函数。则则若若由由表明：表明：第四十七页，本课件共有68页故有故有可将可将 分解成复指数分量的线性组合，每个分解成复指数分量的线性组合，每个 通过通过LTI系统时都要受到系统系统时都要受到系统与与 对应的特对应的特征值征值的加权。这个特征值就是的加权。这个特征值就是所以所以第四十八页，本课件共有68页 由于由于 的傅氏变换的傅氏变换 就是频率为就是频率为 的复指数信号的复指数信号 通过通过LTI系统时，系统对
23、系统时，系统对输入信号在幅度上产生的影响，所以称为输入信号在幅度上产生的影响，所以称为系统的频系统的频率响应率响应。鉴于鉴于 与与 是一一对应的，因而是一一对应的，因而LTI系统可以由其频率响应完全表征。由于并非任系统可以由其频率响应完全表征。由于并非任何系统的频率响应何系统的频率响应 都存在，因此用频率都存在，因此用频率响应表征系统时，一般都限于对稳定系统。因为，响应表征系统时，一般都限于对稳定系统。因为，稳定性保证了稳定性保证了第四十九页，本课件共有68页二二.LTI系统的频域分析法系统的频域分析法:根据卷积特性根据卷积特性,可以对可以对LTI系统进行频域分析系统进行频域分析,其其过程为过
24、程为:1.1.由由2.2.根据系统的描述，求出根据系统的描述，求出3.3.4.4.第五十页，本课件共有68页4.5 相乘性质相乘性质 The Multiplication Property利用对偶性可以利用对偶性可以从卷积性质得出相乘性质从卷积性质得出相乘性质若若则则第五十一页，本课件共有68页 两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号控两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号控制另一个信号的幅度，这就是制另一个信号的幅度，这就是幅度调制幅度调制。其中一个。其中一个信号称为信号称为载波载波，另一个是，另一个是调制信号调制信号。例例1:移频性质移频性质第五十二页，本课件共有68页例例2.正弦幅度
25、调制正弦幅度调制:10第五十三页，本课件共有68页01/2第五十四页，本课件共有68页 正弦幅度调制等效于在频域将调制信号的频谱搬移正弦幅度调制等效于在频域将调制信号的频谱搬移到载频位置。到载频位置。例例3.同步解调同步解调:1/21/41/4第五十五页，本课件共有68页 此时，用一个频率特性为此时，用一个频率特性为的系统即可从的系统即可从 恢复出恢复出 。20只要只要即可。即可。具有此频率特性的具有此频率特性的LTI系统称为系统称为理想低通滤波器理想低通滤波器。例例4.中心频率可变的带通滤波器：中心频率可变的带通滤波器：第五十六页，本课件共有68页A1理想低通的频率响应理想低通的频率响应第五
26、十七页，本课件共有68页1等效带通滤波器等效带通滤波器 相当于从相当于从 中直接用一个带通滤波器滤中直接用一个带通滤波器滤出的频谱。表明整个系统相当于一个中心频率为出的频谱。表明整个系统相当于一个中心频率为 的带通滤波器，改变的带通滤波器，改变 即可实现中心频率可变。即可实现中心频率可变。4.6 傅立叶变换的性质与傅立叶变换对列表傅立叶变换的性质与傅立叶变换对列表(自学自学)第五十八页，本课件共有68页 工程实际中有相当广泛的工程实际中有相当广泛的LTI系统其输入输出关系可以系统其输入输出关系可以由一个线性常系数微分方程描述。一般形式的由一个线性常系数微分方程描述。一般形式的LCCDE是是:4
27、.7 由线性常系数微分方程表征的系统由线性常系数微分方程表征的系统一一.由由LCCDE描述的描述的LTI系统的频率特性系统的频率特性:Systems Characterized by Linear Constant-Coefficient Differential Equations第五十九页，本课件共有68页 由于由于 是一切是一切LTI系统的特征函数，因此系统的特征函数，因此，当当 系统的输入为系统的输入为 时，系统所产生的响应就是时，系统所产生的响应就是 。表明在。表明在 的情况下，求解的情况下，求解LCCDE即即可得到可得到 。但是这种方法太。但是这种方法太麻烦，很少使用。麻烦，很少使
28、用。对对LCCDE两边进行傅立叶变换有：两边进行傅立叶变换有：由于由于第六十页，本课件共有68页 可见由可见由LCCDE描述的描述的LTI 系统其系统其频率特性是一频率特性是一个有理函数个有理函数。由此可以看出，对由。由此可以看出，对由 LCCDE 描述描述的的LTI系统，当需要求得其系统，当需要求得其 时时(比如时域比如时域分析时分析时)，往往是由，往往是由 做反变换得到。做反变换得到。对有理函数求傅立叶反变换通常采用对有理函数求傅立叶反变换通常采用部分分式展开部分分式展开和和利用常用变换对利用常用变换对进行。进行。第六十一页，本课件共有68页二二.频率响应的求法：频率响应的求法：1.1.用
29、微分方程表征的系统用微分方程表征的系统第六十二页，本课件共有68页例：例：可见，可见，对对由微分方程所描述的系统通过求频率响应由微分方程所描述的系统通过求频率响应可以方便地求出其单位冲激响应。可以方便地求出其单位冲激响应。第六十三页，本课件共有68页2.2.以方框图描述的系统以方框图描述的系统例：例：第六十四页，本课件共有68页3.3.互联系统的互联系统的*级联级联:*并联并联:H1(j)H2(j)H1(j)H2(j)第六十五页，本课件共有68页*反馈联结反馈联结:第六十六页，本课件共有68页 1.通过连续时间傅立叶变换，建立了将连续时间信号通过连续时间傅立叶变换，建立了将连续时间信号(包括周
30、期、非周期信号包括周期、非周期信号)分解为复指数信号分量的线性分解为复指数信号分量的线性组合的方法。组合的方法。2.通过讨论傅立叶变换的性质，揭示了信号时域特性通过讨论傅立叶变换的性质，揭示了信号时域特性与频域特性的关系。卷积特性是与频域特性的关系。卷积特性是LTI系统频域分析方法系统频域分析方法的理论基础，相乘特性则是通信和信号传输领域各种的理论基础，相乘特性则是通信和信号传输领域各种调制解调技术的理论基础。调制解调技术的理论基础。4.8 小结小结 Summary第六十七页，本课件共有68页 3.对对LTI系统建立了频域分析的方法。系统建立了频域分析的方法。5.稳定的稳定的LTI系统可以通过其频率响应来描述。系统可以通过其频率响应来描述。4.对由对由LCCDE描述的描述的LTI系统，可以很方便地系统，可以很方便地由由LCCDE或系统框图得到其或系统框图得到其 。6.建立了系统互联时，系统频率响应与各子系统建立了系统互联时，系统频率响应与各子系统频率响应的关系。频率响应的关系。第六十八页，本课件共有68页