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1、1.2 任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数(1)(教学设计)一、教学目标：1、知识与技能（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角
2、函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.二、教学重、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函
3、数值相等（公式一）.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）.三、学法任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.四、教学设想 y P（a，b） r O M【创设情境】提问：锐角的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.对边邻边sin=，con=，tan=（图1）引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?1、三角函数的
4、定义如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则; ; .思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：; ; .思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题任意角的三角函数.对于确定的角，上面三个比值都是一个确定的实数，这就是说，
5、正弦、余弦、正切分别可看成从一个角的集合到一个比值集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这些函数都叫做三角函数。 指出： （1）sin不是sin与的乘积，它是一个比值。三角函数记号是一个整体，离开自变量的“sin”，“tan”等是没有意义的； （2）由于一个角对应一个实数，一个实数也对应一个角，即角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系。因此，三角函数也可以看成是以“实数”为自变量的函数。实数（可取的）角三角函数（实数）【探究新知】1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然
6、后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:（1)叫做的正弦(sine),记做,即；（2）叫做的余弦(cossine),记做,即；（3）叫做的正切(tangent),记做,即.注意:当是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不
7、是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.归纳：三角函数定义及定义域：三角函数定义一：单位圆法定义二：比值法定义域4.例题选讲例1（课本P12例1）.求的正弦、余弦和正切值.学生活动：让学生自己思考并独立完成.然后与课本的解答相对比一下，发现本题的难点.教师活动：本题题意很简单，但是如何入手却是难点，关键是对本节课的三角函
8、数定义的要点有没有领会清楚（任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离），因此本题的重点之处是如何利用单位圆找到这个点P，如图4可以知道，又点P在第四象限，得到，这样就可以很容易得到本题答案.不妨让学生取，能否也得到点P的坐标，得到的三角函数值是否与单位圆的一样。这样可以让学生更深刻体验三角函数的定义.变式训练1：求的正弦、余弦和正切值.例2（课本P12例2）已知角的终边过点，求角的正弦、余弦、正切值.教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:如例2:设则.于是 ,.变式训练2：已知角的终边过点P（12，-5），求角的三角函数值。5.探究:请根据
9、任意角的三角函数定义,设终边上一点坐标P(x,y)，将正弦、余弦和正切函数的定义、定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：三角函数定义及定义域三角函数值在各象限的符号定义（比值法）定义（单位圆法）r=1定义域第一象限第二象限第三象限第四象限Y正正负负X正负负正正负正负分析：三角函数在各象限的符号正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）注意：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值.6诱导公式的推导：例3（课本P14例4）.确定下列三
10、角函数值的符号,然后用计算器验证:(1); (2); (3); (4)解析：（1）负 （2）负 （3）正 （4）负变式训练3：确定下列三角函数值的符号（1）sin2 （2）sin20说出与下列各角终边相同的角的一般表达式： （1）300；（2）-；（3）。 观察：角3900和-3300的角与300的角终边的位置相同。 思考：它们的同一三角函数值的关系怎样？为什么？ 归纳：根据三角函数的定义可以知道，任意角的三角函数值取决于角终边的位置，终边相同的角的同一三角函数的值相等。那么，如何写出它的数学表达式呢？ 诱导公式：学生口答其数学表达式，教师板书：sin(k+)=sin；cos(k+)=cos；
11、tan(k+)=tan； (其中) 问：用弧度制如何写出这组公式？答：sin(2k+)=sin；cos(2k+)=cos； tan(2k+)=tan； (其中) 以上这组公式通常叫做诱导公式（一）。公式（一）的特征： 观察：诱导公式（一）的结构有何特征？ 归纳：这组公式的两边是同名函数，角度相差3600（或2）的整数倍，抓住函数与角度两个方面的特征利于记忆公式。例4（课本P13例3）求证：当且仅当不等式组成立时，角为第三象限角.例5（课本P14例5）.求下列三角函数值:(1); (2); (3)利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求到(或到)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器
12、求三角函数值,但要注意角度制的问题.变式训练5：求下列各三角函数值：（1） cos43210；（2）sin(-)；（3）tan(-)。 分析：利用诱导公式（一）进行恒等变形。 解：（1）cos43210=cos(+10)=cos10=0.9998；（2） sin(-)=sin(-2；又解：sin(-)=sin(-+4)=sin=.（3） tan(-)=tan(-2+)=tan=tan()= -tan= -1；又解：tan(-)=tan()=tan=tan()= -tan= -1课堂巩固练习（课本P15练习NO：1；2；3；4；5；6；7）课堂小结、巩固反思(1)本节的三角函数定义与初中时的定义
13、有何异同?(2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?(3)请写出各三角函数的定义域；(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗？课时必记1、设终边上一点坐标P(x,y)，将正弦、余弦和正切函数的定义、定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：三角函数定义及定义域三角函数值在各象限的符号定义（比值法）定义（单位圆法）r=1定义域第一象限第二象限第三象限第四象限y正正负负x正负负正正负正负2、诱导公式一：终边相同的角的同一三角函数的值相等。sin(2k+)=sin；cos(2k+)=cos； tan(2k+)=tan； (其中)sin(
14、k+)=sin；cos(k+)=cos；tan(k+)=tan； (其中)作用：把任意角的三角函数化为0到2的三角函数。3、特别声明：题中要求用计算器计算的一很不用计算器，只需把任意角的三角函数化为0到2的三角函数4、特殊角的三角函数值：度60090018002700弧度0sin010-10cos10-101tan01不存在-10 不存在0分层作业A组：1、（课本P20习题1.2A组 NO：1）2、（课本P20习题1.2A组 NO：2）3、（课本P20习题1.2A组 NO：6）4、（课本P20习题1.2A组 NO：7）5、（课本P20习题1.2A组 NO：8）6、设kZ，求下列各三角函数值：（
15、1） sin2k；（2）sin(2k+)；（3）sin(2k+)；（4）sin(2k+)。解：（1）sin2k=sin0=0；（1） sin(2k+)=sin =1；（2） sin(2k+)=sin =0（3） sin(2k+)=sin = -1。 指出：由（1）（3）可归纳出sinn=0 (nZ)。B组：1、(tb)在ABC中，若sinAcosBtanC0，则ABC是（C）。（A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）钝角三角形 （D）不能确定2、(tb)计算：（1） mtan0+ncos-psin3-qcos+rsin(-5)=_（答：0）（2） sin=_（答：1）C类：1、(tb)已知角的终边经过点P(3cos,-4cos)，其中为第二象限角，求sin、cos、tan的值。 （答：sin=；cos=；tan=）