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1、1.2 1.2 任意角的三角函数任意角的三角函数 1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数第一课时第一课时问题提出问题提出1.1.角的概念是由几个要素构成的角的概念是由几个要素构成的,具体怎样理解？具体怎样理解？（1 1）角是由平面内一条射线绕其端点从一）角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形个位置旋转到另一个位置所组成的图形.（2 2）按逆时针方向旋转形成的角为）按逆时针方向旋转形成的角为正角正角，按顺时针方向旋转形成的角为按顺时针方向旋转形成的角为负角负角，没有，没有作任何旋转形成的角为作任何旋转形成的角为零角零角.（3 3）角的大小是任意的）角
2、的大小是任意的.2.2.什么叫做什么叫做1 1弧度的角？度与弧度是怎样换算的？弧度的角？度与弧度是怎样换算的？（1 1）等于半径长的圆弧所对的圆心角）等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做叫做1 1弧度的角弧度的角.3.3.与角与角终边相同的角的一般表达式是什么？终边相同的角的一般表达式是什么？=k k360360（kZkZ）或）或 （2 2）180180 rad.rad.4.4.如图如图,在直角三角形在直角三角形ABCABC中中,sin,cos,tansin,cos,tan分分别叫做角别叫做角的的正弦、余弦和正切正弦、余弦和正切,它们的值分别等它们的值分别等于什么？于什么？A AB BC C5.5
3、.当角当角不是锐角时不是锐角时,我们必须对我们必须对sin,cossin,cos,tantan的值进行推广，以适应任意角的需要的值进行推广，以适应任意角的需要.知识探究（一）：任意角的三角函数知识探究（一）：任意角的三角函数 思考思考1:1:为了研究方便为了研究方便,我们把我们把锐角锐角放到直角坐标放到直角坐标系中系中,并使角并使角的顶点与原点的顶点与原点O O重合重合,始边与始边与x x轴的非轴的非负半轴重合负半轴重合.在角在角的终边上取一点的终边上取一点P(P(a,b,b),),设点设点P P与原点的距离为与原点的距离为r,r,那么那么,sin,cossin,cos，tantan的值的值分
4、别如何表示？分别如何表示？思考思考2:2:对于确定的角对于确定的角,上述三个上述三个比值是否随点比值是否随点P P在角在角的终边上的的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？位置的改变而改变呢？为什么？x xy yo oP(P(a，b b)r rA AB B思考思考3:3:为了使为了使sin,cossin,cos的表示式更简单的表示式更简单,你认你认为点为点P P的位置选在何处最好？此时的位置选在何处最好？此时,sin,cossin,cos分分别等于什么？别等于什么？x xy yo oP(P(a，b b)1思考思考4 4：在直角坐标系中，以原点：在直角坐标系中，以原点O O为圆心，以单位为圆心，以
5、单位长度为半径的圆称为长度为半径的圆称为单位圆单位圆.对于角对于角的终边上一的终边上一点点P P，要使，要使|OP|=1|OP|=1，点，点P P的位置如何确定？的位置如何确定？的终边的终边O Ox xy yP P思考思考5 5：设：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,yP(x,y),),为了不与当为了不与当为锐角时的三角函数值发生矛盾为锐角时的三角函数值发生矛盾,你认为你认为sin,cos,tansin,cos,tan对应的值应分别如何定义？对应的值应分别如何定义？的终边的终边P(xP(x，y)y)O Ox xy y任意角的三角函数定义：任意角的
6、三角函数定义：xyOP(x,y)A(1,0)如图，设如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆是一个任意角，它的终边与单位圆（在直角坐标系中，称以原点（在直角坐标系中，称以原点O O为圆心，以单位长度为为圆心，以单位长度为半径的圆）交于点半径的圆）交于点P(x,y)P(x,y)，那么：那么：(1)y(1)y叫做叫做的正弦，记作的正弦，记作sinsin，即即 sin=ysin=y；（2 2）x x叫做叫做的余弦，的余弦，记作记作coscos，即即 coscos=x=x；（3 3）叫做叫做的正切，记作的正切，记作tantan，即即 tan=(x0)tan=(x0)。思考思考6 6：对于一个任意给定的角
7、：对于一个任意给定的角，按照上述定，按照上述定义，对应的义，对应的sinsin，coscos，tantan的值是否存在的值是否存在？是否惟一？是否惟一？的终边的终边P(xP(x，y)y)O Ox xy y正、余弦函数的定义域为正、余弦函数的定义域为R R，正切函数的定义域是正切函数的定义域是 思考思考7 7：对应关系：对应关系 ，都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，分别称为的比值为函数值的函数，分别称为正弦函数、余弦正弦函数、余弦函数和正切函数函数和正切函数，并统称为，并统称为三角函数三角函数，在弧度制中，在弧度制中，这
8、三个三角函数的定义域分别是什么？这三个三角函数的定义域分别是什么？思考思考8:8:若点若点P(x,yP(x,y)为角为角终边上任意一点终边上任意一点,那么那么sin,cos,tansin,cos,tan对应的函数值分别等于什么？对应的函数值分别等于什么？P(xP(x，y)y)O Ox xy yO Oxy y例例1 1 求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.例例2 2 已知角的终边过点已知角的终边过点P(P(3,3,4),4),求角求角的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.O Ox xy yP P（3 3，4 4）知识探究（二）：三角函数符号与公式知识探究（二）：三角函数符号与公式
9、 思考思考1:1:当角当角在某个象限时在某个象限时,设其终边与单位圆设其终边与单位圆交于点交于点P(x,yP(x,y),),根据三角函数定义根据三角函数定义,sin,cos,tansin,cos,tan的函数值符号是否确定？为的函数值符号是否确定？为什么？什么？的终边的终边P(xP(x，y)y)O Ox xy y思考思考2 2：设：设是一个任意的象限角，那么当是一个任意的象限角，那么当在第一、二、在第一、二、三、四象限时，三、四象限时，sinsin的取值符号分别如何？的取值符号分别如何？coscos，tantan的取值符号分别如何？的取值符号分别如何？三角函数三角函数第一象限第一象限第二象限第
10、二象限第三象限第三象限第四象限第四象限+你有什么办法记住这些信息？你有什么办法记住这些信息？xyo三角函数全为正正正弦为正正切为正余弦为正全正，正弦，正切，余弦三角函数值的符号问题三角函数值的符号问题意为：第一象限各三角函数均为正第一象限各三角函数均为正,第二象限只有正第二象限只有正弦及与正弦相关的余割为正弦及与正弦相关的余割为正,其余均为负其余均为负第三象限正切、余切为正第三象限正切、余切为正,其余为负其余为负,第四象限余弦第四象限余弦及与之相关及与之相关 的正割为正的正割为正,其余皆为负。其余皆为负。思考思考4 4：如果角：如果角与与的终边相同，那么的终边相同，那么sinsin与与sins
11、in有什么关系？有什么关系？coscos与与coscos有什么关有什么关系？系？tantan与与tantan有什么关系？有什么关系？思考思考5:5:上述结论表明上述结论表明,终边相同的角的同名三角函终边相同的角的同名三角函数值相等数值相等,如何将这个性质用一组数学公式表达？如何将这个性质用一组数学公式表达？公式一：公式一：（)思考思考6:6:若若sinsin=sinsin,则角则角与与的终边一的终边一定相同吗？定相同吗？思考思考7:7:在求任意角的三角函数值时在求任意角的三角函数值时,上述公式上述公式有何功能作用？有何功能作用？可将求任意角的三角函数值可将求任意角的三角函数值,转化为求转化为求
12、0 022(或或0 00 03603600 0)范围内的三角函数值范围内的三角函数值.思考思考8 8：函数的对应形式有一对一和多对一：函数的对应形式有一对一和多对一两种两种,三角函数是哪一种对应形式？三角函数是哪一种对应形式？度弧度课后自己推导上述结论。课后自己推导上述结论。例例3 3 求证：当且仅当不等式组求证：当且仅当不等式组 成立时，角成立时，角为第三象限角为第三象限角.例例4 4 确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号.（1 1）;（2 2）;（3 3）;（4 4）;（5 5）;（6 6）.小结3.公式一(诱导公式)应用应用（1）判断符号）判断符号（2）求值）求值 小结:(1
13、)任意角的三角函数定义 三角函数(正弦,余弦,正切)都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.(由于角的集合与实数集合之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是自变量为实数的函数.)所以三角函数可以记为:定义域为定义域为R定义域为定义域为R定义域为定义域为()()()()()()()()()()()（）+-+-+-小结小结(2)三角函数在象限内的符号三角函数在象限内的符号P15 练习：练习：1,2,3,4,5,6,7.作业作业:P20习题习题4.3 1(1,4,公式公式1),2,6(1,4,6),7(1,4),8(1,2)1 若若lg(sintan)有意义，则有意义，则 是（是（）A 第一象限角第一象限角 B 第四象限角第四象限角 C 第一象限角或第四象限角第一象限角或第四象限角 D 第一或第四象限角或第一或第四象限角或x轴的正半轴轴的正半轴C2 已知已知 的终边过点的终边过点(3a-9,a+2),且且cos0,sin 0,则则a的取值范围是的取值范围是 。-2a 3例例5 若若 是是第二象限角是是第二象限角,且且|cos(/2)|=-cos(/2),问问/2是第几象限角？是第几象限角？练习练习 已知已知 是第三象限角，且是第三象限角，且sin(/2)0，则则()A cos(/2)0 C tan(/2)0 D cot(/2)0B