中考综合题(函数).doc

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1、中考综合题(函数部分)选讲知识点介绍： 1. 几何中的基本元素线段做为函数中的变量，求函数解析式，一般寻找一个等量关系列方程，再转化为函数解析式，难点是求自变量取值范围及画函数图象的示意图。 2. 函数知识与几何知识相互转化的基础是点坐标线段长。 即如图： 一般解题思路： （1）已知点坐标线段长，线段长点坐标； （2）用待定系数法求函数解析式； （3）解析式点坐标线段长面积及其它。 3. 解综合题中注意合理运用点在函数图象上，点的坐标适合函数解析式： （1）已知点P（a，b）（a，b为已知数）代入含“待定系数”的函数解析式构造关于待定系数的方程。 （2）点P（a，k）或（k，b）（其中a，b为

2、已知数，k为待定系数）代入含“待定系数k”的函数解析式，构造关于k的方程。 （3）已知点P（a，y）或（x，b）（其中a，b为已知数，x，y为未知数），代入已知函数解析式，则可以用关于a的代数式表示y或用关于b的代数式表示x。 （4）已知点P（x，b）（其中b为已知数，x为未知数），代入含待定系数k的函数解析式，可以用含k的代数式表示x。 4. 解函数几何综合题时，注意图形的分解。（把基本的几何图形从直角坐标系中分离出来，求出所需线段长后，再放回坐标系中）。 5. 解函数几何综合题时，注意对点位置的讨论。综合题的学习既要见题有一定的思路，又不能模式化地套用旧有模式，应以数学思想方法为指导，致力

3、于能力的提高。【典型例题】 例1. 系中的图象如图。 （1）哪个函数图象经过B、C、D三点； （2）若BOAO，BCDC，求二个函数的解析式。 解：由图象可知，a与a1一定是异号的 又a1a y2经B、C、D三点 （2）BOAO B（1，0），C点横坐标3 BCDC C为顶点 D（5，0） 点B在y1上，点D在y2上 例2. A、B两点，与y轴交于C点，其中点A在点B的左边，若ACB90， （1）求点C的坐标及这个二次函数的解析式； （2）设计两种方案，作一条与y轴不重合，与ABC两条边相交的直线，使截得的点的坐标。 解：（1）设A（，0），B（，0），则 由ACB90，知0，0 ACB90，

4、COAB于点O AOCCOB m2或m4 当m2时，2m0，不符合题意； 当m4时，2m0，符合。 且点C的坐标为（0，-2） AO2CO4 由于点A在x轴负半轴上，所以点A的坐标为A（-4，0） 把A（-4，0）代入得：n2 （2）方案1：分别取AO，AC的中点D，D，连结DD，则ADD为所求，此时A（-4，0），D（-2，0），D（-2，-1）（如图1） 方案2：在CA上截取CE，使CECO2，在CB上截取CF，使CFBO1，连结EF，则CEF为所求，此时， 分析：由此题的条件，继续探讨，还有一些方案。 方案三：在AC上截取AG，使AGCO2 连结GH，则AGH为所求，此时， 方案4：在C

5、A上截取AM，使CMBO1； 而在CB上截取CN，使CNCO2 连结MN，则CMN为所求（图略） 方案5： 在BC上截取BQ，使BQBO1 连PQ，则BPQ为所求（图略） 例3. 已知：抛物线yx2bxc与x轴交于P、Q两点，与y轴交于点E，且OEOPPQ。 （1）画出抛物线的示意图，并求出抛物线的解析式； （2）问线段EQ上是否存在一点M，使EMPEPQ？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由。 分析：（1）本题第一问是一个开放性的数学问题，由已知条件而确定点E、P、Q的位置要从如下情况考虑。 在这四情况之中，显然（3）、（4）两种情况是不存在的，因为点E的坐标为（0，c）。 图3（3

6、）中，有c0，所以点P、Q的坐标分别为： P（c，0），Q（2c，0） 于是由根与系数的关系得： 即2c2c 图3（4）中有c0，所以点P、Q的坐标分别为： P（c，0），Q（2c，0） 同理根据根与系数关系可得： c2cc 即2c2c c0 同理可说明只有图3（1）图3（2）两种情况成立。 （2）当P、Q两点在原点右侧时，如图3（1），则点E的坐标为（0，c），c0 OEOPPQ 点P（c，0），Q（2c，0） c0 c0 当P、Q两点在原点左侧时，如图3（2），则点E的坐标为（0，c），c0 OEOPPQ 点P（c，0），Q（2c，0） c0，且c0 若线段EQ上存在一点M（x，y），使E

7、MPEPQ（如图4所示） 在RtEOP中，EOP90 根据勾股定理： 过点M作MFOQ于F EOMF 例4. （1）求这条抛物线的解析式； （2）不改变抛物线的对称轴，将抛物线上、下平移，设平移后抛物线的顶点为C，与x轴的两个交点为A（，0），B（，0），以点C到x轴的垂线段为直径的圆的 解： 抛物线有最高点 继而得q2 （2）抛物线上下平移k个单位，如图6： 分析：（1）平移后抛物线的解析式有何相应的变化？顶点坐标又有何相应的变化？两者之间有怎样的联系与区别？平移k个单位的两解是否都合理？等等，也正是我们在平移学习中需要搞清楚的。 （2）将抛物线在直角坐标系中平移，源于课本，高于课本，大纲要

8、求学生掌握二次函数yax2bxc的图象（抛物线）的开口方向、顶点坐标、对称轴等，经过平移，深化了对这种数形关系的认识。 例5. 如图7所示，把矩形纸OABC放入直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x （1）求A、C两点的坐标； （2）求AC所在直线的函数解析式； （3）将纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），求折叠后纸片重叠部分的面积。 分析： 所以OA2OC248 所以点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（0，4） （2）设AC所在直线的函数解析式为ykxb 把A（8，0），C（0，4）代入，得： 因为纸片OABC折叠后，点A与点C重合，所以折痕EF垂直平分AC。 所以ECE

9、A 设ECEAt，因为EC2OC2OE2 所以，折叠后纸片重叠部分CEF的面积 剖析：此题特点是通过折叠矩形的对角两点折痕是两点间线段的中垂线。 例6. 如图8所示，有一边长5厘米的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQPR5厘米，QR8厘米，点B、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两点重合时，等腰PQR以1厘米/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰PQR重合部分的面积为S cm2。解答下列问题： （1）当t3秒时，求S的值； （2）当t5秒时，求S的值； （3）当5秒t8秒，求S与t的函数关系式，并求S的最大值。 解：（1）如图8（1）所示，设t秒后PQ交C

10、D于M点 此时QCt秒1厘米/秒t厘米 过点P作PEl，垂足为E，在等腰PQR中 PQPR5cm，QR8cm QEER4cm，PE3cm MC：31：4 （2）如图8（2）所示，当t5秒时，Q点正好运动于QCBC5cm Q点与B点重合，设PR交CD于M，则： PEMC MC：PECR：ER （3）如图8（3）所示，当5t8时， 同步测试练习一. 选择题。 1. 的值等于（ ） A. -2B. 2C. -4D. 4 2. 点（-3，-4）关于原点对称的点的坐标是（ ） A. （4，3）B. （3，-4） C. （3，4）D. （-3，4） 3. 0.83357精确到千分位的近似值是（ ） A.

11、0.833B. 0.834C. 0.8335D. 0.8336 4. 直线通过（ ） A. 二、三、四象限B. 一、二、三象限 C. 一、三、四象限D. 一、二、四象限 5. 使两个直角三角形全等的条件是（ ） A. 一锐角对应相等B. 一条边对应相等 C. 两锐角对应相等D. 两条边对应相等 6. 在半径为5cm的O中，有弦AB，如果圆心到AB的距离为4cm，那么弦AB的长为（ ） A. 8cmB. 4cmC. 6cmD. 5cm 7. 下列因式分解中错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 一个一元二次方程的两根之和是，两根之积为，这个方程是（ ） A. B. C. D. 9. 已知m

12、、n是实数，且，那么mn的值是（ ） A. B. C. 或D. 1 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 三角形的内心到三角形各顶点的距离相等 D. 圆内接平行四边形是矩形 11. 下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知方程的两根为，下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 13. 已知和的半径分别为2和3，两圆相交于A、B，且AB2，则的长为（ ） A. B. C. D. 14. 已知是锐角，那么等于（ ） A. B. C. D. 15. 已知：正方形的周长为x，它的

13、外接圆的半径为y，则y与x的函数关系是（ ） A. B. C. D. 16. 如果圆柱底面直径为6cm，母线长为4cm，那么圆柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 17. 如图，O的面积为，圆心O到弦AB的距离为2，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 18. 在ABC中，C90，如果，那么sinA的值为（ ） A. B. C. D. 19. 一只船以每小时20海里的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北偏东60，2小时后船在C处看见这个灯塔在船的北偏东30，则灯塔B到船的航线AC的距离为（ ） A. 海里B. 海里 C. 20海里D. 10海里 20. 如图，

14、矩形纸片ABCD的长AD8cm，宽AB4cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为（ ）A. B. C. D. 二. 计算： 三. 用换元法解方程： 四. 列方程或方程组解应用题 甲、乙二人从A地去相距64千米的B地，乙先行10分钟后甲才出发，当甲行至10千米处时，发现有文件遗忘在A地，便立即返回，取了文件又立即从A地向B地行进，结果二人同时到达B地，又知甲比乙每小时多走2千米，求甲、乙二人的速度。五. 已知二次函数，只有当时，。 （1）求a，b的值； （2）x为何值时，的函数值大于零。六. 已知O的半径为R，过已知点P作直线与O交于A、B两点，试判断PAPB与的

15、关系，并加以证明。七. 如图，直角梯形ABCD中，ABCD，ADAB，以BC为直径的O与AD切于点E，交AB于F。已知。连结BE、CE。 （1）求证：关于x的方程有两个相等的实数根； （2）有一小圆O与O外切，且与AD、AB相切，若。求此小圆的半径。八. 已知：如图，ABC中，点O在边AB上，O过点B且与BC交于点E，但O与边AC不相交。又EFAC，垂足为F。设，。 （1）求证：EF是O的切线； （2）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）作AMBC于M，当直线AM与O相切时，求OB的长。试题答案一. 选择题。 1. B2. C3. B4. D5. D6. C7. D 8.

16、 A9. C10. D11. C12. B13. C14. C 15. B16. A17. A18. C19. A20. B二. 解：原式1三. 四. 列方程或方程组解应用题 解：设甲的速度为x千米/小时，则乙的速度为千米/小时 根据题意，得： 整理，得： 解这个方程，得：（舍） 经检验，是原方程的根。 答：甲的速度为8千米/小时，乙的速度为6千米/小时。五. 已知二次函数，只有当时，。 （1）求a，b的值； （2）x为何值时，的函数值大于零。 解：（1）已知函数 时， 由根与系数的关系知： ，即 （2） 根据图象知（图略）时函数值大于零。六. 解：（1）当P点在O外时，。（如图） 证明：过P

17、作O的切线PE，E为切点 连结PO，OE PE是O的切线，PAB是O的割线 OEPE，且OER （2）当P点在O内时，。（如图） 证明：过P作直径交O于C、D 由相交弦定理： O的半径为R （3）当P在O上时，或（如图） 证明：不妨设P点与A点重合。则PA0 PAPB0 POR 综上所述，七. 如图，直角梯形ABCD中，ABCD，ADAB，以BC为直径的O与AD切于点E，交AB于F。已知。连结BE、CE。 （1）求证：关于x的方程有两个相等的实数根； （2）有一小圆O与O外切，且与AD、AB相切，若。求此小圆的半径。 （1）证明：连结OE，OEAD AD切O于E，OEAD ADAB，ABCD

18、OECDAB E为AD中点， BC是O直径，CEB90 又CFB90 CFAB，ADAB ADCF CFADb 在RtBFC中， 方程有两个相等的实数根 （2）解：连结OO，过O作OMAB于M，过O作ONOM于N，延长NO交AD于P。 设O半径为r 由（1） 在中， O与O外切 整理，得： ，依题意舍去 小圆O的半径为八. 已知：如图，ABC中，点O在边AB上，O过点B且与BC交于点E，但O与边AC不相交。又EFAC，垂足为F。设，。 （1）求证：EF是O的切线； （2）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）作AMBC于M，当直线AM与O相切时，求OB的长。 （1）证明：连结OE ABAC，OBOE ABCC，ABCOEB OEBC OEAC EFAC OEEF 点E在O上 EF是O的切线 （2）解：作AMBC于M，则 在中， 即 O与边AC不相交，O点到AC的距离等于EF EF大于O半径，即 解得： 又EF小于B点到AC的距离 即 自变量x的取值范围是 （3）解：当AM与O相切时，设切点为N 连结ON，则ONAM AMBC ONBC ，设O的半径为R 解得：