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1、常微分方程常微分方程 线性微线性微分方程的基本理论分方程的基本理论1你现在浏览的是第一页，共41页及其各阶导数及其各阶导数均为一次的均为一次的n n阶微分方程称为阶微分方程称为n n阶线性微分方程阶线性微分方程.一、基本概念一、基本概念n阶线性阶线性微分方程微分方程:未知函数未知函数一般形式为一般形式为:式中式中上的连续函数。上的连续函数。及及是区间是区间2你现在浏览的是第二页，共41页n阶线性齐次阶线性齐次微分方程微分方程:n n阶线性齐次微分方程，简称阶线性齐次微分方程，简称齐线性方程齐线性方程,（3.2.1）称称非齐线性方程非齐线性方程。3你现在浏览的是第三页，共41页上面两个方程分别为
2、齐次和非齐次的线性方程。上面两个方程分别为齐次和非齐次的线性方程。关于高阶方程同一阶方程一样关于高阶方程同一阶方程一样,也有相类似的也有相类似的解的存在惟一性定理解的存在惟一性定理.4你现在浏览的是第四页，共41页定理定理3.13.1：如果如果(3.2.1）的系的系数数 及右端函数及右端函数 在区间在区间 上连续，上连续，满足下列初始条件满足下列初始条件 方程（方程（3.2.13.2.1）存在惟一的解存在惟一的解 则对任一个则对任一个 及任意的及任意的 5你现在浏览的是第五页，共41页线性微分算子线性微分算子:为常数为常数.性质性质3.2 3.2 性质性质3.13.1例如例如:6你现在浏览的是
3、第六页，共41页二、齐次线性方程解的性质和结构二、齐次线性方程解的性质和结构定理定理3.23.2(叠加原理叠加原理)如果如果 是方程是方程（3.2.2）的的n n个解，个解，则它的线性组合则它的线性组合 也是方程也是方程（3.2.2）的解，这里的解，这里是常数是常数.7你现在浏览的是第七页，共41页例例1 1 验证验证是方程是方程 的解的解.解解:分别将分别将代入方程代入方程,得得所以为方程的解所以为方程的解.8你现在浏览的是第八页，共41页基本解组基本解组:如果方程如果方程（3.2.2）的任意一个解的任意一个解都可以表示为都可以表示为 ,则称则称是方程组是方程组（3.2.2）的基本解组。的基
4、本解组。线性相关线性相关:对定义在区间对定义在区间(a,b)上的函数组上的函数组 如果存在不全为如果存在不全为0 0的常数的常数 ,使得使得 在在(a,b)上恒成立上恒成立,称这些函数在所给的区间上线性称这些函数在所给的区间上线性相关，不然称这些函数线性无关相关，不然称这些函数线性无关.9你现在浏览的是第九页，共41页例例2:2:函数函数在任何区间在任何区间上都是上都是线性无关的，线性无关的，因为如果因为如果只有当所有的只有当所有的 时才成立时才成立.(3.2.5)事实上事实上,如果至少有一个如果至少有一个则则(3.2.5)式的左端是一个不高于式的左端是一个不高于n次的多项式，次的多项式，它最
5、多可有它最多可有n个不同的根个不同的根.它在所考虑的区间上它在所考虑的区间上不能有多于不能有多于n个零点个零点,更不可能恒为零更不可能恒为零.10你现在浏览的是第十页，共41页注注1 1：在函数在函数 中中有一个函数有一个函数等于零等于零,则函数则函数在（在（a,b）上线性相关。）上线性相关。则在（则在（a,b）上线性无关的充要条件为）上线性无关的充要条件为 或或在（在（a,b）上不恒为常数）上不恒为常数.注注2 2：考虑到考虑到两个函数构成的函数组两个函数构成的函数组 如果如果 或或 在在(a,b)上有定义上有定义,11你现在浏览的是第十一页，共41页注注3 3：函数组的线性相关与线性无关是
6、函数组的线性相关与线性无关是依赖于所取的区间依赖于所取的区间。例例4:4:函数函数 上上是线性无关是线性无关,而而在在上是线性相关的上是线性相关的.和和事实上事实上在区间在区间上不是常数上不是常数,分别在区分别在区间间和和上是常数上是常数.例例3:3:在任何区间上都线性无关在任何区间上都线性无关.在任何区间上都线性相关在任何区间上都线性相关.12你现在浏览的是第十二页，共41页Wronskian 行列式行列式:称为这些函数的称为这些函数的Wronskian行列式行列式,通常记做通常记做 由定义在区间（由定义在区间（a,b）上的）上的 k个个k-1k-1次可微函数次可微函数 所作成的行列式所作成
7、的行列式13你现在浏览的是第十三页，共41页证明证明:由假设知存在一组不全为零的常数由假设知存在一组不全为零的常数使得使得依次将此恒等式对依次将此恒等式对 t 微分微分,得到得到 n 个恒等式个恒等式定理定理3.33.3 如果函数组如果函数组 在区间在区间(a,b)上上线性相关线性相关,则在则在(a,b)上它们的上它们的Wronskian行列式恒等于零行列式恒等于零,即即.14你现在浏览的是第十四页，共41页上述上述n个恒等式所组成的方程组是关于个恒等式所组成的方程组是关于的的齐次方程组齐次方程组,它的它的系数行列式系数行列式就是就是Wronskian行列式行列式,由线性代数的知识知由线性代数
8、的知识知,要使方程组存在要使方程组存在非零解非零解,则必有则必有15你现在浏览的是第十五页，共41页如果函数组如果函数组 的的某点某点处处 不等于不等于0,0,即即 ,推论推论 3.13.1Wronskian行列式在区间（行列式在区间（a,b）上）上则该函数组在区间则该函数组在区间上上线性无关线性无关。定理定理3.33.3 如果函数组如果函数组 在区间在区间(a,b)上上线性相关线性相关,则在则在(a,b)上它们的上它们的Wronskian行列式恒等于零行列式恒等于零,即即.16你现在浏览的是第十六页，共41页显然对所有的显然对所有的 t,恒有恒有但但在在上上线性无关线性无关.事实上事实上,假
9、设存在恒等式假设存在恒等式则当则当时时,有有当当时时,有有故故在在上线性无关上线性无关.注注:定理定理3.33.3的的逆定理不一定成立逆定理不一定成立.例例17你现在浏览的是第十七页，共41页定理定理3.43.4 若函数组若函数组 是是齐线性方程齐线性方程在区间（在区间（a,b）上的）上的n n个线性无关的个线性无关的解解,则它们的则它们的Wronskian 行列式行列式在该区间上任何点都不为零在该区间上任何点都不为零.证明证明:用用反证法反证法假设有假设有使得使得18你现在浏览的是第十八页，共41页其系数行列式其系数行列式故它有故它有非零解非零解现以这组解现以这组解构造函数构造函数由定理由定
10、理3.2 知知,是齐线性方程的解是齐线性方程的解.考虑关于考虑关于的的齐次线性代数方程组齐次线性代数方程组19你现在浏览的是第十九页，共41页即这个解即这个解满足初始条件满足初始条件又又也是齐线性方程满足初始条件的解也是齐线性方程满足初始条件的解,由由解的惟一性解的惟一性知知,由由不全为零不全为零,知矛盾知矛盾,从而定理得证从而定理得证.20你现在浏览的是第二十页，共41页则该则该解组解组在（在（a,b）上）上线性相关线性相关.使得它的使得它的Wronskian 行列式行列式在区间（在区间（a,b）上的）上的n n个解。如果存在个解。如果存在 推论推论3.23.2：设设是方程是方程(3.2.2
11、)推论推论3.3:3.3:方程方程（3.2.2）的的n n个解个解 在其定义区间（在其定义区间（a,b）上）上线性无关的充要条件线性无关的充要条件存在一点存在一点 使得使得 是在该区间上是在该区间上21你现在浏览的是第二十一页，共41页定理定理3.53.5 n 阶阶齐次线性方程齐次线性方程（3.2.2）一定一定存在存在n个线性无关的解个线性无关的解.线性无关解组线性无关解组,基本解组及通解的关系基本解组及通解的关系?证明证明:由定理由定理3.1 知知,方程满足方程满足初始条件初始条件的解一定存在的解一定存在,因因为为所以这所以这 n 个解一定线性无关个解一定线性无关,故定理得证故定理得证.22
12、你现在浏览的是第二十二页，共41页定理定理3.63.6 如果如果 是是n n阶阶齐次方程齐次方程（3.2.2）的的 n 个个线性无关的解线性无关的解。即方程即方程（3.2.2）的任一解的任一解 都可以都可以表示成表示成证明证明:设设是方程是方程(3.2.2)的任一解的任一解,并且满足条并且满足条件件则它一定是该方程的则它一定是该方程的基本解组基本解组，23你现在浏览的是第二十三页，共41页考虑方程组考虑方程组由于它的由于它的系数行列式系数行列式是方程的是方程的n个线性无关解的个线性无关解的Wronskian 行列式在行列式在 处的值处的值,故它故它不为零不为零.因而上面的方程组有因而上面的方程
13、组有惟一解惟一解现以这现以这组解组解构造函数构造函数由由解的叠加原理解的叠加原理和和惟一性定理惟一性定理得得即即24你现在浏览的是第二十四页，共41页定理定理3.7(通解结构定理通解结构定理)若若 是方程（是方程（3.2.23.2.2）的的n个线性无关的解个线性无关的解，则方程的，则方程的通解通解可以表示成可以表示成 其中其中 是任意常数是任意常数.25你现在浏览的是第二十五页，共41页定理定理3.83.8是方程是方程（3.2.2）的的n n个解，个解，设设 (等价等价命题命题)(1)(1)方程方程（3.2.2）的的通解通解为为 (2)(2)是方程的是方程的基本解组基本解组.(3)(3)在在(
14、a,b)上上线性无关线性无关.(4)存在存在使使(5)任给任给有有 26你现在浏览的是第二十六页，共41页定理定理 3.9 3.9(刘维尔公式刘维尔公式)注注1 1：在在 内有一点为零，内有一点为零，则在整个则在整个上恒为零上恒为零.设设 是（是（3.2.23.2.2）的任意）的任意n个解，个解，是它的是它的WronskianWronskian行列式，则对行列式，则对(a,b)上上任意任意都有都有 一点，一点，上述公式我们称为刘维尔上述公式我们称为刘维尔(Liouville)公式公式.27你现在浏览的是第二十七页，共41页注注2 2：对二阶微分方程：对二阶微分方程 若若 是方程的是方程的一个解
15、一个解，则可得，则可得通解通解.设设 是与是与 不同不同的解，则由刘维尔公式推得的解，则由刘维尔公式推得用用 乘以上式两端可得乘以上式两端可得 由此得由此得 28你现在浏览的是第二十八页，共41页取取 ,则则为为另一个解另一个解，因为，因为所以所以与与线性无关线性无关.29你现在浏览的是第二十九页，共41页例例5 5 求方程求方程 的通解的通解.解：易知解：易知 为一特解，所以为一特解，所以 30你现在浏览的是第三十页，共41页三、非齐次线性方程解的结构三、非齐次线性方程解的结构定理定理3.103.10n阶线性阶线性非齐次方程非齐次方程的通解的通解等于它的等于它的一个特解一个特解与它所对应的与
16、它所对应的齐次方程的通解之和齐次方程的通解之和.31你现在浏览的是第三十一页，共41页证明证明:设设是方程是方程（3.2.10)的一个的一个特解特解，是方程是方程（3.2.2)的的通解通解。是方程（是方程（3.2.10)的的解解。首先我们证明首先我们证明所以所以是方程是方程（3.2.10)的解。的解。即即事实上事实上(3.2.10)32你现在浏览的是第三十二页，共41页是是非齐方程非齐方程的的通解通解。其次证其次证即证对于即证对于非齐方程的任意一解非齐方程的任意一解总可以表示为总可以表示为其中其中是由是由中的中的任意常数取任意常数取某一特定的值某一特定的值而得到的。而得到的。所以所以是是齐次方
17、程的解齐次方程的解，于是于是事实上，事实上，因为因为可由可由中的任意常数取某一特定的值而得到。中的任意常数取某一特定的值而得到。其中其中33你现在浏览的是第三十三页，共41页定理定理 3.11 3.11 设设 与与 分别是非齐次线性方程分别是非齐次线性方程和和则则 是方程是方程 的解。的解。的解的解,证明：证明：34你现在浏览的是第三十四页，共41页常数变易法求特解常数变易法求特解是齐线性方程的是齐线性方程的设设 n个线性无关的解，个线性无关的解，因而因而齐线性方程的通解齐线性方程的通解为为(3.2.11)为求非齐线性方程的一个特解为求非齐线性方程的一个特解,将将(3.2.11)中的常中的常数
18、数看成关于看成关于 t 的函数的函数,此时此时(3.2.11)式变式变为为(3.2.12)将将(3.2.12)代入齐线性方程得到一代入齐线性方程得到一个个所满足的关系式所满足的关系式.(3.2.10)(3.2.2)35你现在浏览的是第三十五页，共41页我们还需要另外我们还需要另外 n-1个条件来求出个条件来求出 在理论上这些条件是任意给出的在理论上这些条件是任意给出的,为了运算的方便为了运算的方便,我们按下面的方法来给出这我们按下面的方法来给出这 n-1 个条件个条件.对对(3.2.12)式两边对式两边对 t 求导求导得得令令得到得到(3.2.12)36你现在浏览的是第三十六页，共41页对上式
19、两边继续对对上式两边继续对t 求导求导,重复上述做法重复上述做法,令令继续上述做法继续上述做法,直到获得第直到获得第 n-1 个条件个条件令令37你现在浏览的是第三十七页，共41页最后最后,将上式两边对将上式两边对 t 求导得求导得将上面得到的将上面得到的代入代入(3.2.10),得得到到由由n 个未知函数个未知函数所满足的方程组所满足的方程组:(3.2.10)38你现在浏览的是第三十八页，共41页 该方程组的该方程组的系数行列式系数行列式恰好是恰好是齐齐线性方程的线性方程的n 个线性无关解的个线性无关解的 Woolskin 行列式行列式,故它不等于零故它不等于零,因而该方程组有因而该方程组有惟一解惟一解.从而从而非齐非齐线性方程的线性方程的通解通解39你现在浏览的是第三十九页，共41页例例6 6 求方程求方程 的通解，的通解，已知它的对应已知它的对应齐次线性方程的两个解为齐次线性方程的两个解为 解：利用解：利用常数变易法常数变易法，令，令 将它代入方程，可得关于将它代入方程，可得关于 的方程的方程 原方程通解原方程通解:解得解得 40你现在浏览的是第四十页，共41页作业作业:P127,1，3,7,8，1041你现在浏览的是第四十一页，共41页