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1、常微分方程常微分方程 线性方线性方程程1你现在浏览的是第一页，共33页2.1 2.1 线性方程线性方程2.2 2.2 变量可分离方程变量可分离方程2.3 2.3 全微分方程全微分方程2.4 2.4 变量替换法变量替换法2.5 2.5 一阶隐式方程一阶隐式方程2.6 2.6 近似解法近似解法2.7 2.7 一阶微分方程的应用一阶微分方程的应用2.8 2.8 习题课习题课本章的主要内容2你现在浏览的是第二页，共33页一、一、线性齐次方程线性齐次方程线性齐次方程线性齐次方程:若若中中时，时，求解思想：求解思想：2.1 2.1 线性方程线性方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程 将将 进行变形，将方程左
2、端进行变形，将方程左端整理成某一个函数的导数，再进行积分求解。整理成某一个函数的导数，再进行积分求解。3你现在浏览的是第三页，共33页例2.1.1求线性齐次方程求线性齐次方程的通解。的通解。解：对于方程两端乘以解：对于方程两端乘以 得得 由于由于 故故方程的通解为方程的通解为故故 其中其中为任意常数。为任意常数。4你现在浏览的是第四页，共33页一般地，对方程一般地，对方程即即 整理得通解为整理得通解为后得后得 两端同乘以两端同乘以 5你现在浏览的是第五页，共33页二、二、线性非齐次方程线性非齐次方程1.积分因子法积分因子法给方程两边乘以函数给方程两边乘以函数两种解法两种解法变成一个函数的导数，
3、变成一个函数的导数，使左边使左边整理得整理得：积分得通解积分得通解：称为方程的称为方程的积分因子积分因子。6你现在浏览的是第六页，共33页2.2.常数变易法常数变易法思想：将一个对应齐次方程的通解中的常数思想：将一个对应齐次方程的通解中的常数变为函数，代入原方程后确定出该方程的通解。变为函数，代入原方程后确定出该方程的通解。再把通解表达式中的常数再把通解表达式中的常数c 换成一个待定函数换成一个待定函数 。即令即令 先求先求 对应的齐次方程的通解为：对应的齐次方程的通解为：7你现在浏览的是第七页，共33页线性线性非齐次非齐次方程方程设想设想 待定函数待定函数8你现在浏览的是第八页，共33页一阶
4、线性非齐次一阶线性非齐次微分方程的通解：微分方程的通解：常数变易法：常数变易法：齐次方程通解中的常数变易为待定函数。9你现在浏览的是第九页，共33页非齐次方程的一个特解非齐次方程的一个特解对应齐次对应齐次方程通解方程通解一阶线性方程解的结构一阶线性方程解的结构注注高阶线性方程解的结构，高阶线性方程解的结构，高阶非齐次线性方程的常数变易法高阶非齐次线性方程的常数变易法.10你现在浏览的是第十页，共33页线性微分方程解的性质:1.1.齐次方程的解或者恒为零，或恒不为零。齐次方程的解或者恒为零，或恒不为零。2.2.齐次方程任何解的线性组合仍是它的解。齐次方程任何解的线性组合仍是它的解。3.3.齐次方
5、程的任一解与非齐次方程的任一解之和齐次方程的任一解与非齐次方程的任一解之和仍为非齐次方程的解。仍为非齐次方程的解。4.4.非齐次方程的两解之差为对应齐次方程的解。非齐次方程的两解之差为对应齐次方程的解。5.5.非齐次方程的任一解与对应齐次方程的齐次方程非齐次方程的任一解与对应齐次方程的齐次方程的通解之和是非齐次方程的通解。的通解之和是非齐次方程的通解。11你现在浏览的是第十一页，共33页解解练习练习12你现在浏览的是第十二页，共33页练习练习解初值问题解初值问题:解解改写方程：改写方程：特解特解:13你现在浏览的是第十三页，共33页解解 典型的一阶非齐次线性方程典型的一阶非齐次线性方程.分析分
6、析练习练习14你现在浏览的是第十四页，共33页既不是线性方程既不是线性方程,也不能分离变量也不能分离变量.改写方程：改写方程：以以x为为未知函数未知函数,的一阶非齐次线性方程的一阶非齐次线性方程.分析分析y 为为自变量自变量 解方程解方程练习练习15你现在浏览的是第十五页，共33页此外此外,y=1 也是原方程的解也是原方程的解.解解 解方程解方程 练习练习16你现在浏览的是第十六页，共33页解微分方程解微分方程解解原方程变形原方程变形一阶线性方程一阶线性方程原方程通解原方程通解:练习练习17你现在浏览的是第十七页，共33页分析分析这不是典型类型，这不是典型类型，解解线性方程线性方程练习练习18
7、你现在浏览的是第十八页，共33页解解积分方程积分方程平行于平行于 y 轴的动直线被曲线轴的动直线被曲线 y=f(x)阴影部分的面积阴影部分的面积,截下的线段截下的线段PQ之长之长数值上等于数值上等于求曲线求曲线 y=f(x).所求曲线方程所求曲线方程练习练习19你现在浏览的是第十九页，共33页 求微分方程求微分方程 的一个解的一个解 所围平面图形绕所围平面图形绕 x 轴轴旋转体体积最小旋转体体积最小.解解练习练习改写微分方程改写微分方程20你现在浏览的是第二十页，共33页数，求微分方程数，求微分方程 的的 周期解。周期解。解：齐次方程解：齐次方程 的通解为的通解为 方程方程 的通解为的通解为
8、例：例：2.1.3 2.1.3 为了使为了使 以以 为周期，须满足为周期，须满足 是以是以 为周期的周期函数，为周期的周期函数，是正常是正常设设 21你现在浏览的是第二十一页，共33页整理得整理得为周期为周期 以以（令（令）将将c c 的表达式代入通解的表达式代入通解,再一次利用再一次利用f(x)的周期性得的周期性得:22你现在浏览的是第二十二页，共33页例例2.1.4 2.1.4 求初值问题求初值问题的解。的解。解：方程两边同乘以解：方程两边同乘以2 2y 后得后得令令 代入得代入得 通解为通解为将将 代入得代入得 代入初值条件得代入初值条件得26你现在浏览的是第二十六页，共33页解解伯努利
9、方程伯努利方程作变换作变换原方程的通解原方程的通解:练习练习27你现在浏览的是第二十七页，共33页解方程解方程解解y 视为自变量视为自变量,两边除以两边除以的伯努利方程的伯努利方程.练习练习28你现在浏览的是第二十八页，共33页例例2 2 湖泊的污染湖泊的污染设一个化工厂每立方米的废水中含有设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸，盐酸，这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20立方米每小时立方米每小时.开始湖中有水开始湖中有水400000立方米立方米.河水中流入不含盐酸的水是河水中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时立方米每小时,湖泊中混合均匀
10、的水的流出的速率是湖泊中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米立方米每小时每小时,求该厂排污求该厂排污1年时年时,湖泊水中盐酸的含湖泊水中盐酸的含量量.解解:设设t 时刻湖泊中所含盐酸的数量为时刻湖泊中所含盐酸的数量为考虑考虑 内湖泊中盐酸的变化内湖泊中盐酸的变化.四、四、线性微分方程的应用举例线性微分方程的应用举例29你现在浏览的是第二十九页，共33页因此有因此有该方程有积分因子该方程有积分因子两边同乘以两边同乘以后后,整理得整理得积分得积分得?30你现在浏览的是第三十页，共33页利用初始条件得利用初始条件得故故31你现在浏览的是第三十一页，共33页(雅各布第一雅各布第一 伯努利伯努利)书
11、中给出的伯努利数在很多地方有用书中给出的伯努利数在很多地方有用,而伯努利定理而伯努利定理Bernoulli Bernoulli(1654(1654 1705)1705)瑞士数学家瑞士数学家,数学家数学家.和极坐标下的曲率半径公式和极坐标下的曲率半径公式,16951695年年 猜度术猜度术,则是大数定律的最早形式则是大数定律的最早形式.提出了著名的伯努利方程提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多位他家祖孙三代出过十多位 16941694年他首次给出了直角坐标年他首次给出了直角坐标 17131713年出版了他的巨著年出版了他的巨著这是组合数学与概率论史上的一件大事这是组合数学与概率论史上的一件大事,此外此外,他对双纽线、他对双纽线、悬链线和对数螺线都有深入的研究悬链线和对数螺线都有深入的研究.32你现在浏览的是第三十二页，共33页P.40 1（2，3，6，7，8，9，13，15）2（2，3），5，6作 业33你现在浏览的是第三十三页，共33页