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1、常微分方程常微分方程 线性方线性方程组的基本理论程组的基本理论1你现在浏览的是第一页，共29页一、线性齐次方程组解的结构一、线性齐次方程组解的结构 证明证明:Th4.5Th4.5 设设 是齐次线性方程组是齐次线性方程组的解的解,则它们的则它们的线性组合线性组合也是齐解。也是齐解。是齐次线性方程组的解是齐次线性方程组的解.2你现在浏览的是第二页，共29页线性相关及线性无关线性相关及线性无关则称此组函数向量在则称此组函数向量在 上线性相关上线性相关,否则称为线性无关否则称为线性无关.有有成立，成立，设设 为为 上的上的函数函数向量向量,若有一组不全为零的数若有一组不全为零的数?3你现在浏览的是第三
2、页，共29页例例4.3.1 证明证明在任何区间在任何区间I上都是线性相关的上都是线性相关的.证明证明:取取则则故故在在I上是线性相关的上是线性相关的.4你现在浏览的是第四页，共29页例例4.3.2 证明证明 在在 上上线性无关线性无关.只需只需证明证明:要使要使成立成立,线性无关线性无关.5你现在浏览的是第五页，共29页朗斯基判别准则朗斯基判别准则:设有设有n n个个函数向量函数向量为这些函数向量组的为这些函数向量组的朗斯基行列式朗斯基行列式.称称 6你现在浏览的是第六页，共29页Th4.6Th4.6 齐齐次线性方程组的次线性方程组的解组解组 在在线性相关线性相关的的充要条件充要条件是它们的朗
3、斯基行列式是它们的朗斯基行列式 由由 的任意性的任意性有有均线性相关均线性相关.则则所以所以证明证明:充分性充分性.在在 上线性相关上线性相关,设设7你现在浏览的是第七页，共29页则则 线性相关，线性相关，必要性必要性.若若 ,取取 ,有有考虑考虑 Th4.6Th4.6 齐次线性方程组的解组齐次线性方程组的解组 在在线性相关线性相关的数的数 ,使得使得即存在即存在不全为零不全为零由由解的叠加原理解的叠加原理 知知 是齐线性方程组的解是齐线性方程组的解,且且由由解的存在唯一性定理解的存在唯一性定理知知 ,所以齐解组所以齐解组 线性相关线性相关.8你现在浏览的是第八页，共29页Th4.7Th4.7
4、 设设 是是齐次线性齐次线性方程组方程组的任意的任意n n个解个解,则它们的朗斯基行列式则它们的朗斯基行列式 其中其中为齐次线性方程组对应的系数矩阵为齐次线性方程组对应的系数矩阵A(t)的对角线元素的对角线元素.-刘维尔公式刘维尔公式证明证明 :由由行列式的求导法则行列式的求导法则 及及 是解得证是解得证.9你现在浏览的是第九页，共29页推论推论4.14.1 齐次线性方程组的任一解组齐次线性方程组的任一解组 的的 在在 上或上或恒不为零恒不为零,或恒为零或恒为零.在在 上上线性无关线性无关推论推论4.24.2 齐次线性方程组的解组齐次线性方程组的解组 有有 .在在 上某点上某点 处，处，10你
5、现在浏览的是第十页，共29页Th4.8Th4.8 线性齐次微分方程组一定存在线性齐次微分方程组一定存在 个线性无关解个线性无关解.证明证明:由解的存在惟一性定理由解的存在惟一性定理,一定存在满足初始条件一定存在满足初始条件在在上上线性无关线性无关.因此因此的解的解11你现在浏览的是第十一页，共29页的的n n个个线性无关解线性无关解,则则Th4.9Th4.9（通解结构定理通解结构定理）设）设 是方程组是方程组 （1 1）是方程组是方程组 的的通解通解，其其中中 是任意常数是任意常数.（2 2）方程组）方程组 的任一解的任一解 均可表示为均可表示为 的的线性组合线性组合.12你现在浏览的是第十二
6、页，共29页证明：（证明：（1 1）由解的）由解的叠加原理叠加原理知知（1 1）是方程组是方程组 的的通解通解.是方程组是方程组 的解的解,故故 彼此独立彼此独立,所以所以 是通解是通解.13你现在浏览的是第十三页，共29页可知可知 线性无关线性无关,因为因为 是是n n个线性无关解个线性无关解,即它们构成即它们构成 n n维线性空间的基维线性空间的基,故对向量故对向量 一定一定 存在唯一确定的一组常数存在唯一确定的一组常数 满足满足 （2 2）方程组）方程组 的的任一解任一解 均可表示为均可表示为 的的线性组合线性组合.考虑考虑叠加原理叠加原理!解的唯一性解的唯一性!证明证明 设设 是是 任
7、一解任一解,并满足并满足 14你现在浏览的是第十四页，共29页推论推论4.3 方程组方程组 的的线性无关解的最大个数为线性无关解的最大个数为n.（2 2）方程组）方程组 的任一解的任一解 均可表示为均可表示为 的的线性组合线性组合.的的n n个个线性无关解线性无关解,则则Th4.9Th4.9（通解结构定理通解结构定理）设）设 是方程组是方程组 （1 1）通解通解15你现在浏览的是第十五页，共29页基本解组基本解组:称方程组称方程组 的的n n个线性无关解个线性无关解 为一个基本解组为一个基本解组.基解矩阵基解矩阵:由基本解组组成的矩阵为基解矩阵由基本解组组成的矩阵为基解矩阵.解矩阵解矩阵:如果
8、如果矩阵的矩阵的每一列每一列都是都是 的的解解,称这个矩阵为方程组的解矩阵称这个矩阵为方程组的解矩阵.Th4.10Th4.10 方程组方程组 一定存在一个基解矩阵一定存在一个基解矩阵 并若并若 为其任一解为其任一解,则则 .其中其中c是确定的是确定的n维常数向量维常数向量.16你现在浏览的是第十六页，共29页Th4.11Th4.11 方程组方程组 的一个的一个解矩阵解矩阵 为为基解基解矩阵矩阵 在在 上某点上某点 有有 证明证明 若若是是 的解矩阵的解矩阵,则有则有即即又因为又因为是基解矩阵是基解矩阵,所以所以17你现在浏览的是第十七页，共29页推论推论4.44.4 若若 是是 在在 上的基解
9、矩阵上的基解矩阵,方程组在区间方程组在区间 上的上的基解矩阵基解矩阵.是是非奇异非奇异 常数矩阵常数矩阵,则则 也是也是 现令现令两边关于两边关于t 求导得求导得证明证明:方程组方程组 的的基解矩阵基解矩阵满足矩阵方程满足矩阵方程故有故有即即是是 的解矩阵的解矩阵,又由于又由于C 的非奇异性的非奇异性,因此因此,也是方程组也是方程组 的基解矩阵的基解矩阵.18你现在浏览的是第十八页，共29页推论推论4.54.5 若若 是是 两个基解矩阵两个基解矩阵,则存在则存在非奇异常数矩阵非奇异常数矩阵C,使得使得 故故是是常数矩阵常数矩阵,且为非奇异的且为非奇异的,即有即有令令证明证明:因为因为是基解矩阵
10、是基解矩阵,故其逆矩阵故其逆矩阵存在存在,是是可微矩阵可微矩阵,且且19你现在浏览的是第十九页，共29页例例4.3.3 验证验证是方程组是方程组的的基本解矩阵基本解矩阵,并写出其并写出其通解通解.是方程组的一个解是方程组的一个解.解解:首先验证首先验证是解矩阵是解矩阵,表示表示第一列第一列,是解矩阵是解矩阵,通解为通解为:是方程组的基本解组是方程组的基本解组.20你现在浏览的是第二十页，共29页试证明以试证明以为基本解组的齐次线性微分为基本解组的齐次线性微分例例 4.3.4 设设在在上线性无关上线性无关,方程组具有下列形式方程组具有下列形式其中其中,是所求的一阶微分方程组的是所求的一阶微分方程
11、组的未知函数未知函数,是是的第的第个元素个元素.21你现在浏览的是第二十一页，共29页方程组的基解矩阵方程组的基解矩阵从而从而证明证明:设所求的微分方程组为设所求的微分方程组为代入微分方程组代入微分方程组22你现在浏览的是第二十二页，共29页例例 4.3.5 已知线性齐次微分方程组的已知线性齐次微分方程组的两组解两组解为为，试求该，试求该微分方程组微分方程组 解解:线性无关线性无关,所求方程组为所求方程组为 23你现在浏览的是第二十三页，共29页二、非齐次线性微分方程组解的结构二、非齐次线性微分方程组解的结构性质性质1 如果如果是非齐次方程组的解是非齐次方程组的解,是是 对应的齐次线性方程组的
12、解对应的齐次线性方程组的解,则则是非齐次方程组的解是非齐次方程组的解 性质性质2 如果如果是非齐次方程组的两个解是非齐次方程组的两个解,和和是对应齐次方程组的解是对应齐次方程组的解.则则性质性质3 设设的解的解 是方程组是方程组24你现在浏览的是第二十四页，共29页Th4.11Th4.11(通解结构定理通解结构定理)设设 是方程组齐次方程组的一个基解矩阵是方程组齐次方程组的一个基解矩阵,是非齐次方程组的某个解是非齐次方程组的某个解,则非齐次线性方程组的任则非齐次线性方程组的任一解一解可表示为可表示为 其中其中c为确定的常数为确定的常数列向量列向量.证明证明:由性质知由性质知,是齐次方程组的解是
13、齐次方程组的解,非齐次方程组的通解非齐次方程组的通解?25你现在浏览的是第二十五页，共29页设非齐次方程组解设非齐次方程组解代入非齐次方程组得代入非齐次方程组得因为因为齐次方程组的通解齐次方程组的通解从从到到积分积分,并取并取是可逆的是可逆的,常数变易法常数变易法求解非齐次方程组的特解求解非齐次方程组的特解.26你现在浏览的是第二十六页，共29页TH4.12TH4.12 若若 是齐次方程组的是齐次方程组的基解矩阵基解矩阵,则则 （1 1）向量函数）向量函数是非齐次方程组的解是非齐次方程组的解,并满足并满足 (2)非齐次方程组非齐次方程组的的通解通解是是 -非齐次方程组的常数变易公式非齐次方程组的常数变易公式.方程组满足初始条件方程组满足初始条件的解的解?27你现在浏览的是第二十七页，共29页解解 对应齐次方程组的对应齐次方程组的基解矩阵基解矩阵方程组的方程组的特解特解:的的逆矩阵逆矩阵例例4.3.6 求方程组求方程组的通解的通解.原方程的原方程的通解通解:28你现在浏览的是第二十八页，共29页作业作业:P199 1，4，6，8(1)，929你现在浏览的是第二十九页，共29页