材料力学 扭转精.ppt

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1、材料力学材料力学 扭转扭转第1页，本讲稿共52页3-1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例1受受力力特特征征：在在杆杆件件两两端端垂垂直直于于杆杆轴轴线线的的平平面面内内作作用用一一对对大大小小相相等等，方方向向相相反反的的外外力力偶。偶。2变形特征变形特征：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。轴轴：以扭转为主要变形的构件称为轴：以扭转为主要变形的构件称为轴。第2页，本讲稿共52页第3页，本讲稿共52页受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的，所以本章主要介绍圆轴扭转。第4页，本讲稿共52页3-2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩

2、和扭矩图扭矩和扭矩图直接计算直接计算1 1外力偶矩外力偶矩第5页，本讲稿共52页按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算电机每秒输入功：电机每秒输入功：外力偶作功完成：外力偶作功完成：已知已知轴转速轴转速n n 转转/分钟分钟输出功率输出功率P P 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩M Me e第6页，本讲稿共52页例例3-2-1 传动轴如图所示，主动轮传动轴如图所示，主动轮A输入功率输入功率PA=50kW，从动轮，从动轮B、C、D输出功率分别为输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速，轴的转速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。，计算各轮上所受的外力偶矩。MAMBM

3、CBCADMD解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩第7页，本讲稿共52页2 2扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图扭矩的正负号规定：扭矩的正负号规定：按右手螺旋法则，按右手螺旋法则，T矢量背离截面为正，指向截面为矢量背离截面为正，指向截面为负（或矢量与截面外法线方向一致负（或矢量与截面外法线方向一致为正，反之为负）为正，反之为负）T称为截面称为截面n-n上的扭矩。上的扭矩。用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩T为正，如果由平为正，如果由平衡方程得到衡方程得到T为正，则说明是正的扭矩，如果为负，则是负为正，则说明是正的扭矩，如果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，的扭矩。

4、在画轴的扭矩图，正的扭矩画在正的扭矩画在x x轴上方，负的扭轴上方，负的扭矩画在矩画在x x轴下方。轴下方。注意注意MeMeMeTx第8页，本讲稿共52页扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。目目 的的扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。xT第9页，本讲稿共52页例例3-2-2 3-2-2 计算例计算例3-2-13-2-1中所示轴的扭矩，并作扭矩图。中所示轴的扭矩，并作扭矩图。MAMBMCBCADMD解：已知解：已知477.5Nm955Nm637NmT+-作扭矩图如左图示。作扭矩图如左图示。第10页，

5、本讲稿共52页例例3-2-3 3-2-3 已知：一传动轴，已知：一传动轴，n=300r/min n=300r/min，主动轮输入，主动轮输入 P P1 1=500kW=500kW，从动轮输出，从动轮输出 P P2 2=150kW=150kW，P P3 3=150kW=150kW，P P4 4=200kW=200kW，试绘制扭矩，试绘制扭矩图。图。解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩nA B C Dm2 m3 m1 m4112233第11页，本讲稿共52页求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）第12页，本讲稿共52页绘制扭矩图绘制扭矩图BC段为危险截面。段为危险截面。xTnA B C Dm

6、2 m3 m1 m44.789.566.37第13页，本讲稿共52页3-3 纯剪切纯剪切薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚（r：为平均半径）1实验：实验：实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶施加一对外力偶 m。一、薄壁圆筒扭转时的切应力一、薄壁圆筒扭转时的切应力 第14页，本讲稿共52页2 实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线变成斜直线。纵向线变成斜直线。3 结论：结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。变，只是绕轴线作了相对转动。各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角

7、度 。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。第15页，本讲稿共52页 acddxbdy 无正应力横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。4 与与 的关系：的关系：微小矩形单元体如图所示：微小矩形单元体如图所示：第16页，本讲稿共52页5 薄壁圆筒剪应力薄壁圆筒剪应力 大小：大小：A：平均半径所作圆的面积。第17页，本讲稿共52页二、切应力互等定理：二、切应力互等定理：上式称为剪应力互等定理为剪应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必

8、然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。则共同指向或共同背离该交线。acddxb dy tz第18页，本讲稿共52页三、切应变三、切应变 剪切胡克定律剪切胡克定律 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为态称为纯剪切应力状态。纯剪切应力状态。第19页，本讲稿共52页 T=m 剪切虎克定律：剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（p)，剪应力与剪应变成正比关系。，剪应力与剪应变成

9、正比关系。第20页，本讲稿共52页式中：式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故无量纲，故G的量纲与的量纲与 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的值可通过实验确定，钢材的G值值约为约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：（推导详见后面章节）：可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算可

10、见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。出来。第21页，本讲稿共52页 1.横截面变形后仍为平面；横截面变形后仍为平面；2.轴向无伸缩；轴向无伸缩；3.纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。平面假设：平面假设：变形前为平面的横截面变变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角面一样绕轴线旋转了一个角度。度。3-4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力一、等直圆杆扭转实验观察：一、等直圆杆扭转实验观察：第22页，本讲稿共52页二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1.变形几何关系：变形几何关

11、系：距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到与到圆心的距离圆心的距离 成正比。成正比。扭转角沿长度方向变化扭转角沿长度方向变化率。率。第23页，本讲稿共52页2.物理关系：物理关系：虎克定律：代入上式得：第24页，本讲稿共52页3.静力学关系：静力学关系：OdA令代入物理关系式 得：第25页，本讲稿共52页横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。4.公式讨论：公式讨论：仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。该点到圆心的距

12、离。该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。第26页，本讲稿共52页单位：单位：mm4，m4。尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是只是Ip值不同。值不同。对于实心圆截面：DdO第27页，本讲稿共52页对于空心圆截面：dDOd第28页，本讲稿共52页 应力分布应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻结构轻便，应用广泛。便，应用广泛。第29页，本讲稿共52页 确定最大剪应力：确定最大剪

13、应力：由知：当Wt 抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：第30页，本讲稿共52页 三、强度条件三、强度条件强度条件强度条件：，t t许用切应力许用切应力；轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于纯剪切状态纯剪切状态，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力t t与与许用正应力许用正应力之间存在下述关系：之间存在下述关系：对于塑性材料对于塑性材料 t t(0.5一一

14、0.577)对于脆性材料，对于脆性材料，t t(0.81.0)l 式中，式中，l代表许用拉应力。代表许用拉应力。第31页，本讲稿共52页强度计算三方面：强度计算三方面：校核强度：设计截面尺寸：计算许可载荷：第32页，本讲稿共52页例例3-4-1：一厚度为：一厚度为30mm、内直径为、内直径为230mm 的空心圆管，承受扭矩的空心圆管，承受扭矩T=180 kNm。试求管中的最大剪应力，使用：。试求管中的最大剪应力，使用：(1)薄壁管的近似理论；薄壁管的近似理论；(2)精确的扭转理论。精确的扭转理论。解：解：(1)利用薄壁管的近似理论可求得利用薄壁管的近似理论可求得(2)利用精确的扭转理论可求得利

15、用精确的扭转理论可求得第33页，本讲稿共52页例例3-4-2：一空心圆轴，内外径之比为：一空心圆轴，内外径之比为=0.5，两端受扭转力偶矩作用，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保最大许可扭矩为，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？（按强度计算）。持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？（按强度计算）。解：设空心圆轴的内、外径原分别为解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一倍后内外径，面积增大一倍后内外径分别变为分别变为d1、D1，最大许可扭矩为最大许可扭矩为1第34页，本讲稿共52页例例3-4-3：某

16、某汽汽车车主主传传动动轴轴钢钢管管外外径径D=76mm，壁壁厚厚t=2.5mm，传传递递扭扭矩矩T=1.98kNm，t t=100MPa，试校核轴的强度。，试校核轴的强度。解：计算截面参数：解：计算截面参数：由强度条件：由强度条件：故轴的强度满足要求。故轴的强度满足要求。第35页，本讲稿共52页同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空空心轴较实心轴合理心轴较实心轴合理。空心轴与实心轴的截面面积比空心轴与实心轴的截面面积比(重量比重量比)为：为：由上式解出：由上式解出：d=46.9mm。若将空心轴改成实心轴，仍使若将空心轴改成实心轴，

17、仍使，则，则第36页，本讲稿共52页例例3-4-4：功率为功率为150150kW，转速为，转速为15.415.4转转/秒的电动机转子轴如图，许秒的电动机转子轴如图，许用剪应力用剪应力 =30=30M Pa,Pa,试校核其强度。试校核其强度。Tm解：解：求扭矩及扭矩图求扭矩及扭矩图计算并校核剪应力强度计算并校核剪应力强度此轴满足强度要求。此轴满足强度要求。x第37页，本讲稿共52页3-5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形一、扭转时的变形一、扭转时的变形由公式由公式知：长为知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角一段杆两截面间相对扭转角 为对于阶梯轴，两端面间相对扭转角对于阶梯轴，两端面间相对扭转角

18、为为第38页，本讲稿共52页二、单位扭转角二、单位扭转角 ：或三、刚度条件三、刚度条件或GIp 抗扭刚度抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。称为许用单位扭转角。称为许用单位扭转角。第39页，本讲稿共52页刚度计算的三方面：刚度计算的三方面：校核刚度：设计截面尺寸：计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。第40页，本讲稿共52页例例3-5-1：图示圆截面轴图示圆截面轴AC，承受扭力矩，承受扭力矩MA，MB与与MC 作用，试计算该作用，试计算该轴的总扭转角轴的总扭转角AC(即截面即截面C对截面对截面A的相对转角的相对转角)，并校核轴的刚度。，并校核轴的刚度。已知

19、已知MA180Nm，MB320 N m，MC140Nm，I3.0105mm4，l=2m，G80GPa，0.50m。解：解：1扭转变形分析扭转变形分析利用截面法，得利用截面法，得AB段、段、BC段的扭矩分别为：段的扭矩分别为：T1180 Nm，T2-140 Nm第41页，本讲稿共52页设其扭转角分别为设其扭转角分别为AB和和BC，则：，则：第42页，本讲稿共52页 各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。由此得轴由此得轴AC的总扭转角为的总扭转角为 2 刚度校核刚度校核 轴轴AC为等截面轴，而为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转

20、刚段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。度。AB段的扭转角变化率为：段的扭转角变化率为：可见，该轴的扭转刚度可见，该轴的扭转刚度符合要求符合要求。第43页，本讲稿共52页 例例3-5-2：长为长为 L=2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如的作用，如图，若杆的内外径之比为图，若杆的内外径之比为 =0.8=0.8，G=80=80GPa ，许用剪应力，许用剪应力 =30=30MPa，试设计杆的外径；若，试设计杆的外径；若 =2=2/m ，试校核此杆的刚度，并，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。求右端面转角。第44页，本讲稿共52页 由扭转刚度条件校核刚度由扭转刚

21、度条件校核刚度解：解：设计杆的外径设计杆的外径代入数值得：代入数值得：D 0.0226m。第45页，本讲稿共52页40NmxT右端面转角右端面转角为：为：第46页，本讲稿共52页 例例3-5-3：某传动轴设计要求转速某传动轴设计要求转速n=500 r/min，输入功率，输入功率N1=500 马力，马力，输出功率分别输出功率分别 N2=200马力及马力及 N3=300马力，已知：马力，已知：G=80GPa，=70M Pa，=1/m ，试确定：，试确定：AB 段直径段直径 d1和和 BC 段直径段直径 d2？若全轴选同一直径，应为多少？若全轴选同一直径，应为多少？主动轮与从动轮如何安排合理？主动轮

22、与从动轮如何安排合理？500400N1N3N2ACB第47页，本讲稿共52页解：解：图示状态下图示状态下,扭矩如图扭矩如图，由强度条件得：，由强度条件得：Tx7.024 4.21(kNm)第48页，本讲稿共52页 综上：综上：全轴选同一直径时全轴选同一直径时由刚度条件得：由刚度条件得：第49页，本讲稿共52页 轴上的轴上的绝对值绝对值最大最大的的扭矩扭矩越小越越小越合理，所以，合理，所以，1轮和轮和2轮应该轮应该换换位。位。换位后换位后,轴的扭矩如图所示轴的扭矩如图所示,此时此时,轴的最大直径才为轴的最大直径才为7575mm。Tx 4.21(kNm)2.814第50页，本讲稿共52页Any question?Any question?第51页，本讲稿共52页祝大家学习愉快祝大家学习愉快!第52页，本讲稿共52页