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1、第四章第四章 扭扭 转转一、扭转的概念及一、扭转的概念及 外力偶矩的计算外力偶矩的计算材料力学对称扳手拧紧镙帽对称扳手拧紧镙帽工程中承受扭转变形的构件工程中承受扭转变形的构件扭扭 转转材料力学FF/MB 方向盘操纵杆方向盘操纵杆材料力学传动轴传动轴汽车传动轴汽车传动轴扭扭 转转材料力学蒸汽涡轮发电机蒸汽涡轮发电机材料力学构件特征构件特征：等圆截面直杆：等圆截面直杆圆轴圆轴。受力特征受力特征：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。变形特征变形特征：杆各横截面绕轴线发生相对转动。杆各横截面绕轴线发生相对转动。扭扭 转转/扭转的概念及外力偶矩的计算扭转的概念及外力偶矩
2、的计算上述例子都可以抽象上述例子都可以抽象为下面的下面的计算算简图：mA mB AB 材料力学n1 P1=27.5kWnP2=20kW7.5kWABC外加力偶矩与功率和转速的关系外加力偶矩与功率和转速的关系作用于轴上的外力偶矩一般不是直接给出的，而是先作用于轴上的外力偶矩一般不是直接给出的，而是先作用于轴上的外力偶矩一般不是直接给出的，而是先作用于轴上的外力偶矩一般不是直接给出的，而是先告诉轴的转速和传递的功率。告诉轴的转速和传递的功率。告诉轴的转速和传递的功率。告诉轴的转速和传递的功率。功率功率功率功率P-P-是单位时间内是单位时间内是单位时间内是单位时间内所做的功，单位为所做的功，单位为所
3、做的功，单位为所做的功，单位为kW kW n=960r/min mA mB mC 材料力学外加力偶矩与功率和转速的关系外加力偶矩与功率和转速的关系功率功率功功时时间间力偶矩力偶矩角位移角位移角速度角速度每分钟每分钟的转数的转数扭扭 转转/扭转的概念及外力偶矩的计算扭转的概念及外力偶矩的计算材料力学注注注注:传动轴上总会有一个传动轴上总会有一个传动轴上总会有一个传动轴上总会有一个主动力偶，其它是跟它主动力偶，其它是跟它主动力偶，其它是跟它主动力偶，其它是跟它平衡的阻力偶，主动力平衡的阻力偶，主动力平衡的阻力偶，主动力平衡的阻力偶，主动力偶与轴的转向相同，阻偶与轴的转向相同，阻偶与轴的转向相同，阻
4、偶与轴的转向相同，阻力偶与轴的转向相反。力偶与轴的转向相反。力偶与轴的转向相反。力偶与轴的转向相反。mA=274N.m mB=199N.m mC=75N.m n1 27.5kWn20kW7.5kWABC材料力学二、杆受扭时的内力计算二、杆受扭时的内力计算材料力学已知圆轴受外力偶矩作已知圆轴受外力偶矩作用，匀速转动。则用，匀速转动。则用截面法求内力：用截面法求内力：11扭扭 转转/杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算扭矩扭矩材料力学扭矩符号扭矩符号：按右手螺旋法则。扭矩矢量的指向与截面：按右手螺旋法则。扭矩矢量的指向与截面外法线的指向一致，为正；反之为负外法线的指向一致，为正；反之为负。扭扭 转
5、转/杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算MxMx材料力学扭扭 转转/杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算截面截面2-2上的内力：上的内力：材料力学（+）扭矩图扭矩图：扭矩随构件横截面的位置变化的图线：扭矩随构件横截面的位置变化的图线。（-）扭矩图扭矩图扭扭 转转/杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算材料力学三、圆轴扭转时的应力和变形三、圆轴扭转时的应力和变形材料力学1 1、实验观察、实验观察扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形观察变形规律：观察变形规律：圆周线圆周线形状、大小、间距不变，形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角
6、度。同的角度。纵向线纵向线倾斜了同一个角度，小倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。方格变成了平行四边形。定性分析横截面上的应力定性分析横截面上的应力（1）（2）刚性平面截面假设刚性平面截面假设圆轴的横截面变形后保持为平圆轴的横截面变形后保持为平圆轴的横截面变形后保持为平圆轴的横截面变形后保持为平面，圆轴上端截面上所绘的径面，圆轴上端截面上所绘的径面，圆轴上端截面上所绘的径面，圆轴上端截面上所绘的径向线保持直线。向线保持直线。向线保持直线。向线保持直线。材料力学圆轴圆轴许多个套在一起的薄壁圆管，各个薄壁圆许多个套在一起的薄壁圆管，各个薄壁圆管扭转时截面的相对扭转角相同。管扭转时截面的相对扭
7、转角相同。扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形横截面上的剪应力处处垂直于径向，横截面上的剪应力处处垂直于径向，且方向同且方向同 旋转方向。旋转方向。Mx 横截面上各点横截面上各点 剪应力的方向。剪应力的方向。材料力学要知道圆轴扭转时，其横截面上剪应力的分布规律，要知道圆轴扭转时，其横截面上剪应力的分布规律，由于横截面上有无穷多个点，而我们现在只知道其由于横截面上有无穷多个点，而我们现在只知道其分布内力的合成结果，只通过静力学的知识无法解分布内力的合成结果，只通过静力学的知识无法解出，是一个超静定问题，必须从三方面考虑。出，是一个超静定问题，必须从三方面考虑。TorsionM
8、echanics of Materials 材料力学3 3、理论分析、理论分析(1)几何分析几何分析扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形微段扭转微段扭转变形变形 dj jD取楔形体取楔形体O1O2ABCD 为为研研究对象究对象材料力学式中式中 表示扭转角表示扭转角沿轴长的变化率称为沿轴长的变化率称为单位单位扭转角扭转角，在同一截面上，在同一截面上，=常数。常数。扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形剪应变的变化规律剪应变的变化规律：材料力学扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学(2)物理条件物理条件剪切胡克定律剪切胡克定律材料力学
9、(3)静力平衡条件静力平衡条件(单位扭转角单位扭转角,单位：单位：rad/m)称为极惯性矩，是截面的几何性质，与截面的几何形状、称为极惯性矩，是截面的几何性质，与截面的几何形状、尺寸有关。尺寸有关。扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形 材料力学在扭矩相同的条件下，在扭矩相同的条件下，因此因此 表示圆轴抵抗变形的能力，称为圆轴的表示圆轴抵抗变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度抗扭刚度。（横截面上剪应（横截面上剪应力的计算公式。）力的计算公式。）式中式中 称为称为抗扭截面模量抗扭截面模量。扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学D=2R(4)公式中几何量公式中
10、几何量 与与 的计算。的计算。a、实心圆截面实心圆截面因此因此而而dA扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学b、空心圆截面空心圆截面Dd式中式中而而扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学四、圆轴的强度条件和刚度条件四、圆轴的强度条件和刚度条件材料力学受扭圆轴破坏的标志：受扭圆轴破坏的标志：塑性材料塑性材料：首先发生屈服，最后沿横截面被剪断。：首先发生屈服，最后沿横截面被剪断。脆性材料脆性材料：变形很小，在与轴线约成：变形很小，在与轴线约成45的面上的面上断裂。断裂。扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件（一）强度条件（一
11、）强度条件圆轴的强度条件为圆轴的强度条件为式中式中（u为为扭转极限应力扭转极限应力,n为安全系数）为安全系数）材料力学解：解：由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：轴的最大剪应力轴的最大剪应力例题例题4-1 某汽车传动轴，用某汽车传动轴，用45号钢无缝钢管制成，其外径号钢无缝钢管制成，其外径D=90mm,壁厚壁厚t=2.5mm，使用时最大扭矩为使用时最大扭矩为Mx=1500 N.m,试校核此轴的强度。试校核此轴的强度。已知已知=60MPa。若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相当，则实心轴的直径当，则实心轴的直径 为？为？
12、扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学所以此轴安全。所以此轴安全。若此轴改为实心轴，而若此轴改为实心轴，而式中式中解得：解得：扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学实心轴的横截面面积为实心轴的横截面面积为空心轴的横截面面积空心轴的横截面面积空心轴与实心轴的重量之比：空心轴与实心轴的重量之比：因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节约材料、比较经济。约材料、比较经济。扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。采用空心轴可有
13、效地减轻轴的重量，节约材料。因为因为 根据应力分布规律根据应力分布规律，轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴心附近处的材料没有较好地发挥其作用；心附近处的材料没有较好地发挥其作用；从截面的几何性质分析，从截面的几何性质分析，横截面面积相同的条件下，空心轴材料横截面面积相同的条件下，空心轴材料分布远离轴心，其极惯性矩分布远离轴心，其极惯性矩Ip必大于实心轴，扭转截面系数必大于实心轴，扭转截面系数Wp也比也比较大，强度和刚度均可提高；较大，强度和刚度均可提高；通常所讲保持强度不变，即指最大切应力值不变；保持刚度不通常所讲保持强度不变，即指最大切应力值不变；保
14、持刚度不变，即指截面图形极惯性矩保持不变。变，即指截面图形极惯性矩保持不变。对于轴的强度或刚度，采用空心轴比实心轴都较为合理。对于轴的强度或刚度，采用空心轴比实心轴都较为合理。扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学扭转扭转变形计算式变形计算式单位扭转角单位扭转角:微段两端截面的相对扭转角为微段两端截面的相对扭转角为扭矩不变的等直轴扭矩不变的等直轴各段扭矩为不同值的阶梯轴各段扭矩为不同值的阶梯轴mA mB AB 材料力学（二）刚度条件（二）刚度条件或或 的数值按照对机器的要求决定：的数值按照对机器的要求决定：精密机器的轴：精密机器的轴：一般传动轴：一般传动轴：精度要
15、求不高的轴：精度要求不高的轴：扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学 例例4-2 传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率P1=400kW，从动轮B，C 分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知=70MPa，=1/m，G=80GPa。(1)试确定AB 段的直径d1 和BC 段的直径d2；(2)若AB和BC 两段选同一直径，试确定直径d；(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?解：解：1.1.外力外力 2.2.扭矩图扭矩图 扭矩扭矩Mx-图图材料力学 按刚度条件按刚度条件 3.3.直径直径d1d1的选取的选取 按强度条件按强度条件 材料力
16、学 按刚度条件按刚度条件 4.4.直径直径d d2 2的选取的选取 按强度条件按强度条件 5.5.选同一直径时选同一直径时材料力学 6.6.将主动轮装在两从动轮之间将主动轮装在两从动轮之间受力合理受力合理材料力学例例4-3 已已知知：MA=180 N.m，MB=320 N.m，MC=140 N.m，Ip=3105 mm4，l=2 m，G=80 GPa，q q=0.5()/m。j jAC=?校核轴的刚度校核轴的刚度解解：1.变形分析变形分析2.刚度校核刚度校核轴的刚度足够轴的刚度足够例题例题4-4 图示圆截面杆图示圆截面杆AB左端固定，承受一集度为左端固定，承受一集度为t的的均布力偶矩作用。试导
17、出计算截面均布力偶矩作用。试导出计算截面B的扭转角公式。的扭转角公式。Lt xdx解：解：取微段作为研究对象。取微段作为研究对象。Mx(x)Mx(x)L-xtMx(x)根据平衡条件求得横截面上的扭根据平衡条件求得横截面上的扭矩为：矩为：微段两端截面的相对扭转角为微段两端截面的相对扭转角为AB扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学因此因此扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件LtAB材料力学五、圆轴扭转时斜截面上的应力五、圆轴扭转时斜截面上的应力材料力学材料力学 n n扭扭 转转/圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力TTn nabc
18、def材料力学斜截面上的正应力和剪应力为斜截面上的正应力和剪应力为:1、讨论：讨论：2、3、4、扭扭 转转/圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力 若材料抗拉压能力差，构件沿若材料抗拉压能力差，构件沿4545斜截面发生破坏（脆性材料）。斜截面发生破坏（脆性材料）。结论：结论：若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏(塑性材料）；塑性材料）；材料力学 对于脆性材料对于脆性材料对于脆性材料对于脆性材料,抗拉能力很抗拉能力很抗拉能力很抗拉能力很差差差差,所以在拉应力最大的倾所以在拉应力最大的倾所以在拉应力最大的倾所以在拉应力最大的倾角为角为角为角为4
19、545 及及及及135135 的斜截面上被的斜截面上被的斜截面上被的斜截面上被拉断。拉断。拉断。拉断。对对对对于塑性材料于塑性材料于塑性材料于塑性材料,抗剪能力比抗抗剪能力比抗抗剪能力比抗抗剪能力比抗拉能力差拉能力差拉能力差拉能力差,所以在剪所以在剪所以在剪所以在剪应应应应力最大力最大力最大力最大的横截面上被剪断。的横截面上被剪断。的横截面上被剪断。的横截面上被剪断。材料力学六、扭转的静不定问题六、扭转的静不定问题材料力学例题例题4-5 一两端固定的圆截面杆一两端固定的圆截面杆AB受力偶矩作用如图。已知受力偶矩作用如图。已知AC段为实心轴，直径段为实心轴，直径D=10cm，BC段为空心轴，壁厚
20、段为空心轴，壁厚t=0.5cm，要求，要求：1）作扭矩图；）作扭矩图；2）若材料的）若材料的=100MPa，试校核强度。，试校核强度。扭扭 转转/扭转的静不定问题扭转的静不定问题20KN.mllC3)试计算截面试计算截面C的扭转角的扭转角材料力学例题例题4-6 一组合杆由实心杆一组合杆由实心杆1和空心管和空心管2结合在一起所组成，杆和结合在一起所组成，杆和管的材料相同。剪切模量为管的材料相同。剪切模量为G,试求组合杆承受外力偶矩试求组合杆承受外力偶矩M以后，以后，杆和管内的最大剪应力，并绘出横截面上应力分布的规律。如果杆和管内的最大剪应力，并绘出横截面上应力分布的规律。如果杆和管的材料不相同，
21、结果又怎样？杆和管的材料不相同，结果又怎样？12Mn12解：解：（1 1）静力学关系）静力学关系（2）变形协调条件）变形协调条件扭扭 转转/扭转的静不定问题扭转的静不定问题材料力学（3）物理关系：）物理关系：代入变形协调方程，得补充方程代入变形协调方程，得补充方程（4）补充方程与静力平衡方程联立，解得）补充方程与静力平衡方程联立，解得扭扭 转转/扭转的静不定问题扭转的静不定问题材料力学（5）最大剪应力）最大剪应力杆杆1 1：管管2 2：扭扭 转转/扭转的静不定问题扭转的静不定问题材料力学静不定问题的解法：静不定问题的解法：（1）建立静力平衡方程；）建立静力平衡方程；（2）由变形协调条件建立变形
22、协调方程；）由变形协调条件建立变形协调方程；（3）应用扭矩与相对扭转角之间的物理关系：）应用扭矩与相对扭转角之间的物理关系：，代入变形协调方程，得到补充方程；代入变形协调方程，得到补充方程；（4）补充方程与静力平衡方程联立，求解所有的未知反）补充方程与静力平衡方程联立，求解所有的未知反力偶或扭矩。力偶或扭矩。材料力学七、圆轴扭转变形能七、圆轴扭转变形能材料力学LmBA圆截面杆的变形能圆截面杆的变形能式中式中 Mx圆杆横截面上的扭矩；圆杆横截面上的扭矩；圆杆横截面对圆心的极惯性矩。圆杆横截面对圆心的极惯性矩。扭扭 转转/圆轴扭转变形能圆轴扭转变形能om材料力学受力复杂的圆截面杆受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量扭矩沿杆的轴线为变量)d dxMxMxMxMx整个杆的扭转变形能为整个杆的扭转变形能为可取微段分析：可取微段分析：扭扭 转转/圆轴扭转变形能圆轴扭转变形能 xdxLtAB材料力学