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1、材料力学材料力学4 41 1 扭转的概念及实例扭转的概念及实例 4 42 2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算4 43 3 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 4 44 4 薄壁圆筒的扭转、薄壁圆筒的扭转、剪应力互等定理和剪应力互等定理和剪切胡克定律剪切胡克定律 4 45 5 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形4 46 6 圆轴扭转时的强度、刚度条件圆轴扭转时的强度、刚度条件4 47 7 密圈螺旋弹簧的应力和变形密圈螺旋弹簧的应力和变形4 48 8 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念 本章习题本章习题第第四四章章 扭转扭转(Torsion)汽车传动轴汽车传动轴4 41 1 扭转的概念扭转的概
2、念及及实例实例汽车方向盘汽车方向盘构件的受力特点：构件的受力特点：在垂直于杆件轴线的两个平面内，作在垂直于杆件轴线的两个平面内，作用一对大小相等、转向相反的力偶。用一对大小相等、转向相反的力偶。扭转变形特点：扭转变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动。各横截面绕轴线发生相对转动。ABOMeMeOBA轴轴(shaft)：以扭转为主要变形的直杆称为轴。如：机：以扭转为主要变形的直杆称为轴。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。外力偶矩外力偶矩Me（external moment）：其中：其中：P 功率，千瓦（功率，千瓦（kW）n 转速，转转速，转/分（分（rpm）
3、其中：其中：P 功率，马力（功率，马力（PS）n 转速，转转速，转/分（分（rpm）1PS=735.5Nm/s,1kW=1.36PS传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系为：传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系为：功率为力偶在单位时间内作的功：功率为力偶在单位时间内作的功：其中：其中：4-24-2 外力偶矩外力偶矩的的计算计算2 2 截面法求扭矩截面法求扭矩1 1 扭矩扭矩(torsional moment)：内力偶矩，记作内力偶矩，记作“T”。4 43 3 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 MeMexaaMeTx xaaMeTxaa3 扭矩的符号规定：扭矩的符号规定：右手螺旋法则右手螺旋法则（sc
4、rew theorem of right hand）右手拇指指向外法线方向为右手拇指指向外法线方向为 正正(+)(+),反之为反之为 负负(-(-)4 4 扭矩扭矩图图(torque diagram)：表示沿杆件轴线各横截：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图形。面上扭矩变化规律的图形。|T|max值及其截面位置值及其截面位置强度计算（危险截面）。强度计算（危险截面）。xT 扭矩变化规律扭矩变化规律作扭矩图的步骤：作扭矩图的步骤：求支座反力；求支座反力；分段求控制截面的扭矩值；分段求控制截面的扭矩值；作扭矩图。作扭矩图。E D C B Am4 m3 m2 m1112211m1AT122m2
5、 m1T210kNm15kNm30kNm5kNmTE D C B Am4 m3 m2 m111223344E D C B Am3 m2 m1523薄壁圆筒薄壁圆筒 (cylinder of thin wall):):一、一、薄壁圆筒的扭转：薄壁圆筒的扭转：1 1 实验前：实验前：(1)纵向线：纵向线：ab、cd(2)圆周线：圆周线：ac、bd4-4-4 4 薄壁圆筒的扭转、剪应力互等薄壁圆筒的扭转、剪应力互等定理和剪切胡克定律定理和剪切胡克定律 dxR2 2 实验后：实验后：（2 2）各纵向线均倾斜了同一微小角度）各纵向线均倾斜了同一微小角度 。（3 3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边
6、形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。（1 1）圆圆筒筒表表面面的的各各圆圆周周线线的的形形状状、大大小小和和间间距距均均未未改改变变，只只是是绕绕轴轴线线作作了了相相对对转转动动，两两端端截截面面有有相对扭转角相对扭转角 。acddxbdy （1 1）无正应力）无正应力3 3 与与 的关系：的关系：取微小矩形单元体如图所示：取微小矩形单元体如图所示：（2 2）横截面上各点处，只产）横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪生垂直于半径的均匀分布的剪应力应力 ，沿周向大小不变，方，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。向与该截面的扭矩方向一致。4 4 薄壁圆筒剪应力薄壁圆筒剪
7、应力 ：R二、剪应力互等定理二、剪应力互等定理（pairing principle of shear stresses）：acddxb dy tz 在单元体相互垂直的两个截面上，剪应力必然成对在单元体相互垂直的两个截面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两个面的交线，出现，且数值相等，两者都垂直于两个面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。其方向则共同指向或共同背离该交线。纯剪切纯剪切(pure shear)应力状态应力状态单元体的四个侧面单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力。上只有剪应力而无正应力。剪切虎克定律：剪切虎克定律：当剪应力不超过当剪应力不超过材料的剪切比例极限时
8、（材料的剪切比例极限时（p)，剪应力与剪应变成正比。剪应力与剪应变成正比。三、剪切虎克定律三、剪切虎克定律(Hookes law in shear)：各向同性材料：各向同性材料：pG 材料的剪切弹性模量材料的剪切弹性模量(shear modulus)四、四、剪切应变能剪切应变能(strain energy in shear)acddxb dy dzz xy单元体微功：单元体微功：剪切应变能密度：剪切应变能密度：剪切应变能：剪切应变能：（T为常量）为常量）一、等直圆杆扭转实验观察：一、等直圆杆扭转实验观察：各圆周线的形状、大小和各圆周线的形状、大小和间距均未改变，仅绕轴线间距均未改变，仅绕轴线作
9、相对转动；各纵向线均作相对转动；各纵向线均倾斜了同一微小角度倾斜了同一微小角度 。平面假设平面假设(plane assumption)：横截面变：横截面变形后仍为平面，只是刚形后仍为平面，只是刚性地绕杆轴线转动。性地绕杆轴线转动。4-5 4-5 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形二、等直圆杆扭转时横截面上的应力二、等直圆杆扭转时横截面上的应力1 1 变形几何关系变形几何关系(geometry relation of deformation)：距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到圆心的距离与到圆心的距离 成正比。成正比。扭转角沿轴线方向变化率扭转角沿轴线方向变化率AA/GG/2
10、 2 物理关系物理关系(physics relation)：剪切胡克定律：剪切胡克定律：3 静力学关系静力学关系(static mechanics relation)：OdAIp为横截面的极惯性矩为横截面的极惯性矩。应力分布应力分布（实心截面）（实心截面）（空心截面）（空心截面）例例4-3 4-3 判别下面截面上剪应力分布是否正确。判别下面截面上剪应力分布是否正确。三、等直圆杆扭转时的变形三、等直圆杆扭转时的变形GIp截面的抗扭刚度截面的抗扭刚度(torsional rigidity)2.2.单位扭转角单位扭转角 (unit torsional angle)：1.1.相对扭转角相对扭转角 (r
11、elative torsional angle)：一、等直圆杆扭转时的破坏现象一、等直圆杆扭转时的破坏现象低碳钢试件：低碳钢试件：沿横截面断开。沿横截面断开。铸铁试件：铸铁试件：沿与轴线约成沿与轴线约成45 的螺旋线断的螺旋线断开。开。4-6 4-6 圆轴扭转时的强度、刚度条件圆轴扭转时的强度、刚度条件(a)A(b)(c)(d)x xnt转角转角 符号符号规定：规定：轴正向转至截面外法线轴正向转至截面外法线逆逆时针为正；反之为负。时针为正；反之为负。45000 max=450min=-0-450max=09000-由由知当知当Wt 抗扭截面模量抗扭截面模量(section modulus in
12、 torsion)；mm3或或m3。实心圆截面：实心圆截面：空心圆截面：空心圆截面：二、强度条件：二、强度条件：等截面圆轴：等截面圆轴：(称为许用剪应力称为许用剪应力)(1)(1)校核强度：校核强度：(2)(2)设计截面尺寸：设计截面尺寸：(3)(3)计算许可载荷：计算许可载荷：强度条件：强度条件：三、刚度条件：三、刚度条件：称为许用单位扭转角。称为许用单位扭转角。(1)(1)校核刚度：校核刚度：(2)(2)设计截面尺寸：设计截面尺寸：(3)(3)计算许可载荷：计算许可载荷：例例4-4 功率为功率为150kW，转速为转速为15.4转转/秒的电动机转秒的电动机转子轴，许用剪应力子轴，许用剪应力
13、=30M Pa,试校核其强度。试校核其强度。解：解：(1)(1)求扭矩及扭矩图求扭矩及扭矩图(2)(2)计算剪应力强度计算剪应力强度(3)(3)此轴满足强度要求。此轴满足强度要求。D3=135D2=75 D1=70ABCmmTmx解解:bb例例4-6 长为长为l=2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，的作用，若杆的内外径之比为若杆的内外径之比为 =0.8，G=80GPa，许用剪应力许用剪应力 =30MPa，试设计杆的外径；若试设计杆的外径；若=2/m，试校核此试校核此杆的刚度，并求右端面转角。杆的刚度，并求右端面转角。解解:(1)(1)(1)(1)杆的外径杆的外径D
14、 0.0226m(2)(2)校核刚度校核刚度40NmxT40NmxT(3)(3)右端面转角右端面转角：例例4-7 某某传传动动轴轴设设计计要要求求转转速速n=500r/min，输输入入功功率率P1=500马马力力，输输出出功功率率分分别别P2=200马马力力及及P3=300马马力力，已知：已知：G=80GPa，=70MPa，=1/m，试求：，试求：(1)AB 段直径段直径 d1和和 BC 段直径段直径 d2？(2)若全轴选同一直径，应为多少？若全轴选同一直径，应为多少？(3)主动轮与从动轮如何安排合理？主动轮与从动轮如何安排合理？500mm400mmP1P3P2ACBTx7.024kNm4.2
15、1kNm解解:(1)(1)(1)(1)作扭矩图作扭矩图(2)(2)强度条件：强度条件：d1d2500mm400mmP1P3P2ACB(3)(3)刚度条件刚度条件Tx7.024kNm4.21kNmd1d2500mm400mmP1P3P2ACB(4)全轴选同一直径全轴选同一直径(5)轴轴上上绝绝对对值值最最大大的的扭扭矩矩越越小小越越合合理理，所所以以，1轮轮和和2轮轮应应该该换换位位。换换位位后后,轴轴的的扭扭矩矩如如图图所所示示,此此时时,轴轴的最大直径才为的最大直径才为75mm。Tx7.02kNm4.21kNmd1d2500mm400mmP1P3P2ACB+Tx2.814kNm4.21kNm
16、解解:(a)(b)一、弹簧杆横截面上的应力一、弹簧杆横截面上的应力=+1 1 2 2FFST4-7 4-7 密圈螺旋弹簧的应力和变形密圈螺旋弹簧的应力和变形DF FS ST Td弹簧杆的强度条件弹簧杆的强度条件:弹簧指数弹簧指数曲度系数。曲度系数。考虑弹簧曲率及考虑弹簧曲率及 1并非均匀分布的影响：并非均匀分布的影响：二、弹簧的变形二、弹簧的变形外力功：外力功：应变能：应变能：F F非圆截面等直杆：非圆截面等直杆：平面假设不成立，即各截面发生翘曲平面假设不成立，即各截面发生翘曲(warping)不保持平面。因此，须由弹性力学方法求解。不保持平面。因此，须由弹性力学方法求解。4-8 4-8 非圆
17、截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念自由扭转自由扭转(un(unrestricted torsion)：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相邻截面杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相邻截面的翘曲程度完全相同。的翘曲程度完全相同。横截面上没有正应力，只有剪应力。横截面上没有正应力，只有剪应力。约束扭转约束扭转(restricted torsion)：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面的翘杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面的翘曲程度不同。曲程度不同。横截面上既有正应力，也有剪应力。横截面上既有正应力，也有剪应力。杆件扭转时，横截面上边缘各点的剪应力都与截面边界杆件扭转时
18、，横截面上边缘各点的剪应力都与截面边界相切。相切。截面凸角处的剪应力等于零。截面凸角处的剪应力等于零。一一、矩形截面杆上的剪应力、矩形截面杆上的剪应力:h bh 1T max 注意！注意！b1.1.剪应力分布：剪应力分布：横截面边缘各点的横截面边缘各点的剪应力形成与边界向切的环流。剪应力形成与边界向切的环流。2 2.最大剪应力：最大剪应力：在长边的中点在长边的中点3.3.单位扭转角单位扭转角其中：In相当极惯性矩相当极惯性矩一、选择题一、选择题1、剪应力互等定理的运用条件是、剪应力互等定理的运用条件是 。A、纯剪切应力状态；、纯剪切应力状态；B、平衡应力状态；、平衡应力状态；C、线弹性范围；、
19、线弹性范围；D、各向同性材料。、各向同性材料。2、当当剪剪应应力力超超过过材材料料的的剪剪切切比比例例极极限限时时，剪剪切切虎虎克克定律与剪应力互等定理定律与剪应力互等定理 。A、前者成立，后者不成立；、前者成立，后者不成立；B、前者不成立，后者成立；、前者不成立，后者成立；C、都成立；、都成立；D、都不成立。、都不成立。BB 本本 章章 习习 题题3、根据圆轴扭转的平面假设，可以认为圆转扭转时、根据圆轴扭转的平面假设，可以认为圆转扭转时其横截面其横截面 。A、形状尺寸不变，直径仍为直线；、形状尺寸不变，直径仍为直线；B、形状尺寸改变，直径仍为直线；、形状尺寸改变，直径仍为直线；C、形状尺寸不
20、变，直径不保持直线；、形状尺寸不变，直径不保持直线；D、形状尺寸改变，直径不保持直线。、形状尺寸改变，直径不保持直线。4、一圆轴用碳钢制作，校核其扭转刚度时，发现单、一圆轴用碳钢制作，校核其扭转刚度时，发现单位长度扭转角超过了许用值。为保证此轴的扭转刚度，位长度扭转角超过了许用值。为保证此轴的扭转刚度，采用措施采用措施 最有效。最有效。A、改用合金钢材料；、改用合金钢材料；B、增加表面光洁度；、增加表面光洁度；C、增加轴的直径；、增加轴的直径；D、减小轴的长度。、减小轴的长度。AC5、低碳钢试件扭转破坏是、低碳钢试件扭转破坏是 。A、沿横截面拉断；、沿横截面拉断；B、沿、沿45o螺旋面拉断；螺
21、旋面拉断；C、沿横截面剪断；、沿横截面剪断；D、沿、沿45o螺旋面剪断。螺旋面剪断。6、根据、根据 可得出结论：矩形截面杆受扭时，横可得出结论：矩形截面杆受扭时，横截面上边缘各点的剪应力必平行于截面周边，且角点截面上边缘各点的剪应力必平行于截面周边，且角点处剪应力为零。处剪应力为零。A、平面假设；、平面假设；B、剪应力互等定理；、剪应力互等定理；C、各向同性假设；、各向同性假设；D、剪切虎克定律。、剪切虎克定律。AB7、在横截面面积相等的条件下，、在横截面面积相等的条件下，截面杆的抗扭截面杆的抗扭强度最高。强度最高。A、正方形；、正方形；B、矩形；、矩形；C、实心圆形；、实心圆形；D、空心圆形
22、。、空心圆形。8、剪应力互等定理与剪切胡克定律的正确适用范围、剪应力互等定理与剪切胡克定律的正确适用范围是（是（）A、都只有比例极限范围内成立、都只有比例极限范围内成立B、超过比例极限时都成立、超过比例极限时都成立C、剪应力互等定理在比例极限范围内成立，剪切胡、剪应力互等定理在比例极限范围内成立，剪切胡克定律不受比例极限限制克定律不受比例极限限制D、剪切胡克定律在比例极限范围内成立，剪应力互、剪切胡克定律在比例极限范围内成立，剪应力互等定理不受比例极限限制等定理不受比例极限限制 DD1、内内外外径径分分别别为为20mm和和40mm的的空空心心圆圆截截面面轴轴，受受扭扭矩矩T=1kNm作作用用，
23、计计算算横横截截面面上上距距离离圆圆心心15mm的的A点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。解：解：二、计算题二、计算题2、圆圆截截面面橡橡胶胶棒棒的的直直径径d=40mm,受受扭扭后后,原原来来表表面面上上的的圆圆周周线线和和纵纵向向线线间间夹夹角角由由900变变为为880。若若杆杆长长 l=300mm，试试求求两两端端截截面面间间的的扭扭转转角角；若若材材料料的的剪剪变变模模量量G=2.7MPa，试试求求杆杆横横截截面面上上最最大大剪剪应应力力和和杆杆端端的外力偶矩的外力偶矩Me。解：由解：由3、一一厚厚度度为为30mm、内内直直径径为为230mm
24、 的的空空心心圆圆管管，承承受受扭扭矩矩T=180 kNm。试试求求管管中中的的最最大大剪剪应应力力，使使用：用：(1)薄壁管的近似理论；薄壁管的近似理论；(2)精确的扭转理论。精确的扭转理论。解：解：(1)(1)利用薄壁管的近似理论可求得：利用薄壁管的近似理论可求得：(2)(2)利用精确的扭转理论可求得：利用精确的扭转理论可求得：4、已已知知一一直直径径d=50mm的的钢钢制制圆圆轴轴在在扭扭转转角角为为 60时时，轴内最大剪应力等于轴内最大剪应力等于90MPa，G=80GPa。求该轴长度。求该轴长度。解：解：5、传传 动动 轴轴 传传 递递 外外 力力 偶偶 矩矩 Me 5kNm，材材 料料 的的=30MPa，G=80GPa，=0.50/m，试试选选择择轴轴的的直径直径d。解解：（：（1）强度条件：）强度条件：（2）刚度条件：）刚度条件：故轴的直径故轴的直径d95mm。