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1、专题 基本不等式及其应用第1页，本讲稿共42页第2页，本讲稿共42页2.若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是 .解析：因为x0，所以 x+2 (当且仅当x=1时取等号)，所以有 ，即 的最大值为 ，故a .第3页，本讲稿共42页第4页，本讲稿共42页第5页，本讲稿共42页第6页，本讲稿共42页例1：(1)已知x ，求函数y=4x-2+的最大值(2)已知x0，y0，且 +=1，求x+y的最小值(3)求y=的最小值第7页，本讲稿共42页分析：创造应用基本不等式的条件，合理拆添项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的前提在于使等号成立的条件；求条件极值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函
2、数，代入法是最基本的方法，代换过程中要密切注意字母隐含的取值范围；函数y=bx+(a0，b0，为常数)的单调性与极值(或值域)要了解，并能在解题时灵活运用，特别是当问题不能满足均值不等式的条件之一“取等”时第8页，本讲稿共42页解析：(1)因为x ，所以5-4x0，所以 当且仅当5-4x=，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1.第9页，本讲稿共42页(2)因为x0，y0，+=1，所以x+y=(x+y)(+)=+106+10=16.当且仅当 =时，上式等号成立，又 +=1，所以x=4，y=12时，(x+y)min=16.第10页，本讲稿共42页(3)=此时，不能使用基本不等式，等
3、号取不到利用“对勾”函数的单调性解决，即当x=0时，得其最小值为 .第11页，本讲稿共42页【点评】(1)用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积，然后这两项的积或和或平方和为定值，然后用基本不等式求出最值；(2)在条件最值中，一种方法是消元转化为函数最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式使要求最值的表达式放缩为一个定值；(3)不管哪种题，哪种方法，求最值时要验证等号是否成立第12页，本讲稿共42页变式1.(1)若-4x1，则 的最大值为_；(2)若a，b，c0，且a2+ab+ac+bc=4，则2a+b+c的最小值为_(3)已知0 x ，则f(x)=sin
4、x+的最小值为_第13页，本讲稿共42页解析：(1)=(x-1)+=-(x-1)+因为-4x1，所以-(x-1)0，0.从而-(x-1)+2，第14页，本讲稿共42页所以-(x-1)+-1，当且仅当-(x-1)=，即x=2(舍)或x=0时取等号即()max=-1.第15页，本讲稿共42页(2)由a2+ab+ac+bc=4，分解因式得(a+b)(a+c)=4，所以2a+b+c=(a+b)+(a+c)2 =2 =4.(3)因为0 x ，则00，b0，所以1=a+b2，当且仅当a=b=时等号成立，即0ab .设ab=t，则t(0，第21页，本讲稿共42页令f(t)=t+，则问题等价于当t(0，时，求
5、f(t)的最小值因为f(t)=1-0，b0，所以1=a+b2 (当且仅当a=b=时等号成立)，所以0ab ，所以0anbn (nN*)第23页，本讲稿共42页设anbn=t，则t(0，令f(t)=t+.问题等价于当t(0，时，求f(t)的最小值因为f(t)=1-0，即函数y=+6x+504在15，+)上是增函数所以当x=15时，y取最小值，最小值为 +615+504=634(元)第32页，本讲稿共42页变式3.甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数
6、为b；固定部分为a元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/小时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?第33页，本讲稿共42页解析：(1)建模：依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 ，全程运输成本为y=(a+bv2)=sb(v+)，v(0，c第34页，本讲稿共42页(2)依题意，有s，b，a，v都是正数因此y=sb(v+)2s ；若 c，则当且仅当v=v=时，y取到最小值若 c，则y在(0，c上单调递减，所以当v=c时，y取到最小值综上所述，为了使全程运输成本最小，当 c时，行驶速度应该为v=；当 c时，行驶速度应该为v=c.第3
7、5页，本讲稿共42页1基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，“一正”是指各项均为正数；“二定”就是若积为定值则和有最小值，若和为定值则积有最大值；“三相等”就是必须验证等号成立的条件，这也是最容易出错的地方若等号不在给定的区间内，通常利用函数的单调性求最值第36页，本讲稿共42页2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用 第37页，本讲稿共42页3在不等式的证明过程中，常根据不等号的方向，结合基本不等式进行适度的放缩，以期得到需要证明的不等式第38页，本讲稿共42页第39页，本讲稿共42页第40页，本讲稿共42页第41页，本讲稿共42页本题的关键在于对式子进行巧妙地组合、分拆，为基本不等式的使用积极创造出“定”的条件，多次使用基本不等式时要注意多个等号成立的条件是否一致.第42页，本讲稿共42页