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1、21230.yxyzRxyzxz已知 ， ， 的最小值为_.2223230296664433xzxyzyyxzxzxzxzxzxzxzxz由得，代入得，当且仅当时解析：取等号2.若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是.132 xxx解析：因为x0，所以x+2(当且仅当x=1时取等号)，所以有，即的最大值为，故a.1x211112 3 5313xxxxx 1515231xxx 23.xOyf xPQxPQ在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于 、两点，则线段长的最小值是_2222(4) ()42.xxxxPQxx 设交点为，则解，析：00214.4.ababyab已知 ， ，
2、则的最小值是_141 14()2145()2224“ ”43392abababbaabababbaab由题意有解析：，当且仅当，即，时取22412.5xyxyxyxy设 ， 为实数，若，则的最大值是_222224123132221()12282.55102xyxyxyxyxyxyxxyy 因为，所以，解析：的最大值是所以，即例1：(1)已知x，求函数y=4x-2+的最大值(2)已知x0，y0，且+=1，求x+y的最小值(3)求y=的最小值54145x1x9y2)3(222xxax分析：创造应用基本不等式的条件，合理拆添项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的前提在于使等号成立的条件；求条件极值
3、的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，代换过程中要密切注意字母隐含的取值范围；函数y=bx+(a0，b0，为常数)的单调性与极值(或值域)要了解，并能在解题时灵活运用，特别是当问题不能满足均值不等式的条件之一“取等”时解析：(1)因为x，所以5-4x0，所以当且仅当5-4x=，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1.54x451142451(54)3231 ,54yxxxx (2)因为x0，y0，+=1，所以x+y=(x+y)(+)=+106+10=16.当且仅当=时，上式等号成立，又+=1，所以x=4，y=12时，(x+y)min=16.1xy9
4、yx9xy1xy9yx9xy1xy9(3)=此时，不能使用基本不等式，等号取不到利用“对勾”函数的单调性解决，即当x=0时，得其最小值为.22222(3)(2)1222xxyxx2212(2)2xx3 2【点评】(1)用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积，然后这两项的积或和或平方和为定值，然后用基本不等式求出最值；(2)在条件最值中，一种方法是消元转化为函数最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式使要求最值的表达式放缩为一个定值；(3)不管哪种题，哪种方法，求最值时要验证等号是否成立变式1.(1)若-4x1，则的最大值为_；(2)若a，b，c0，且a2+
5、ab+ac+bc=4，则2a+b+c的最小值为_(3)已知0 x，则f(x)=sinx+的最小值为_22222xxx22sinx解析：(1)=(x-1)+=-(x-1)+因为-4x1，所以-(x-1)0，0.从而-(x-1)+2，22222xxx1211) 1(2xx11x 11x 121211x 11x 所以-(x-1)+-1，当且仅当-(x-1)=，即x=2(舍)或x=0时取等号即()max=-1.22222xxx11x 11x 12(2)由a2+ab+ac+bc=4，分解因式得(a+b)(a+c)=4，所以2a+b+c=(a+b)+(a+c)2=2=4.(3)因为0 x，则00，b0，所
6、以1=a+b2，当且仅当a=b=时等号成立，即0ab.设ab=t，则t(0，141412令f (t)=t+，则问题等价于当t(0，时，求f (t)的最小值因为f(t)=1-0，b0，所以1=a+b2(当且仅当a=b=时等号成立)，所以0ab，所以0anbn(nN*)221ba331ban41ab14n4112nnba11161616464设anbn=t，则t(0，令f(t)=t+.问题等价于当t(0，时，求f(t)的最小值因为f(t)=1-0，即函数y=+6x+504在15，+)上是增函数所以当x=15时，y取最小值，最小值为+615+504=634(元)1x6 0 0 xyy2600 x60
7、0 x60015变式3.甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/小时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?解析：(1)建模：依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为y=(a+bv2)=sb(v+)，v(0，csvabv(2)依题意，有s，b，a，v都是正数因此y=sb(v+)2s ；若c，则当且仅当v=v=时，y取到
8、最小值若c，则y在(0，c上单调递减，所以当v=c时，y取到最小值综上所述，为了使全程运输成本最小，当c时，行驶速度应该为v=；当c时，行驶速度应该为v=c.abvabababvababababab1基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，“一正”是指各项均为正数；“二定”就是若积为定值则和有最小值，若和为定值则积有最大值；“三相等”就是必须验证等号成立的条件，这也是最容易出错的地方若等号不在给定的区间内，通常利用函数的单调性求最值2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的
9、基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用3在不等式的证明过程中，常根据不等号的方向，结合基本不等式进行适度的放缩，以期得到需要证明的不等式222211()(4)_._ _1_xyxyyxR设 ，则的最小值为222222222222111()(4)5424291xyx yyxx yx yxyx y因为解析，当且仅当，即时，取“：”220112.21025_abcaaccaba ab 设，则的最小值是222221121025115115022.5011222254aaccaba abacaabababa abacaba ababa abacaba ababc 当且仅当，时等号成立解析：如取，满足条件本题的关键在于对式子进行巧妙地组合、分拆，为基本不等式的使用积极创造出“定”的条件，多次使用基本不等式时要注意多个等号成立的条件是否一致.