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1、量子力学 第八章第1页，本讲稿共36页3.Uhlenbeck和Goudsmit的假设 i.电子具有自旋角动量 ，ii.电子具有自旋磁矩 4.对自旋(spin)的讨论i.不是机械自转第四个自由度ii.是电子的内禀性质iii.其它粒子(如质子、中子)也具有自旋 iv.自旋无经典对应量 v.自旋假定不作为QM的基本原理第2页，本讲稿共36页8.1 电子自旋态与自旋算符电子自旋态与自旋算符8.1.1 电子电子自旋态的描述自旋态的描述1.旋量波函数旋量波函数旋量的上分量旋量的上分量旋量的下分量旋量的下分量自旋向上自旋向上 的几率的几率 自旋向下自旋向下 的几率的几率 第3页，本讲稿共36页若旋量波函数可
2、分离变量若旋量波函数可分离变量2.旋量波函数的归一化旋量波函数的归一化3.自旋态波函数自旋态波函数第4页，本讲稿共36页8.1.2 电子自旋角动量算符电子自旋角动量算符1.对易关系对易关系i.ii.2.的本征值的本征值可见，自旋向上、向下态 都是 的本征态，本征值都是(进而所有自旋态)第5页，本讲稿共36页于是同理，3.自旋量子数自旋磁量子数：电子自旋量子数zyx自旋向上态自旋向下态第6页，本讲稿共36页8.1.3 Pauli矩阵矩阵或(2)综合综合(1),(2)1.Pauli算符及其代数性质算符及其代数性质第7页，本讲稿共36页2.Pauli矩阵矩阵 Pauli算符在算符在 表象中的矩阵表象
3、中的矩阵设又取 第8页，本讲稿共36页例.设 的各分量算符对易，证明 若 是常矢量，证明 证明：第9页，本讲稿共36页第10页，本讲稿共36页8.2总角动量的本征态总角动量的本征态8.2.1 总角动量总角动量若若 分别具有确定值分别具有确定值那末，那末，是否有确定测值？测值如何？是否有确定测值？测值如何？第11页，本讲稿共36页8.2.2 无耦合表象与耦合表象无耦合表象与耦合表象1.无耦合表象无耦合表象 两两对易两两对易有共同本征矢有共同本征矢且有且有 为基矢的表象为基矢的表象无耦合表象无耦合表象第12页，本讲稿共36页2.耦合表象耦合表象两两对易两两对易有共同本征矢有共同本征矢 为基矢的表象
4、为基矢的表象耦合表象耦合表象第13页，本讲稿共36页8.2.3 j与与 j1、j2的关系的关系按无耦合表象基矢 计算 按耦合表象基矢 计算1.取定值的态矢子空间维数取定值的态矢子空间维数2.S矩阵元矩阵元第14页，本讲稿共36页时时于是克莱布希-高登系数3.j 的可能取值的可能取值 的最大值依次是 而第15页，本讲稿共36页8.2.4 电子轨道角动量与自旋角动量的耦合电子轨道角动量与自旋角动量的耦合 总角动量总角动量CG系数有专门表，系数有专门表，本题本题 第16页，本讲稿共36页的共同本征函数的共同本征函数:注意注意:上述上述m是总角动量的磁量子数是总角动量的磁量子数,可换为可换为第17页，
5、本讲稿共36页例例1.不查克莱布希不查克莱布希-高登系数表，导出自旋轨高登系数表，导出自旋轨道耦合总角动量及其道耦合总角动量及其z z分量的共同本征矢。分量的共同本征矢。解：设 的共同本征函数 都是 的本征函数，对应相同本征值。第18页，本讲稿共36页 都是 的本征函数，本征值差 因此，代回到 的方程得 还是 的本征函数注意到第19页，本讲稿共36页解久期方程，得由此知，的本征值是 ，其中将j=l+1/2代回得:，归一化得同理 时第20页，本讲稿共36页例例2 p.153练习练习2 解：解：第21页，本讲稿共36页8.3 碱金属原子的双线结构与反常碱金属原子的双线结构与反常Zeeman效应效应
6、8.3.1 双线结构双线结构(光谱精细结构光谱精细结构)1.Hamiltonian 屏蔽屏蔽Coulomb势势自旋自旋-轨道耦合轨道耦合2.不计自旋轨道耦合不计自旋轨道耦合有效电荷第22页，本讲稿共36页 两两对易，或i.采用无耦合表象其共同本征矢度简并本征能量ii.采用耦合表象两两对易，或耦合表象与无耦合表象都是好表象。第23页，本讲稿共36页2.计及自旋轨道耦合计及自旋轨道耦合iii.钠黄线(589.3nm)的解释 钠原子基态：第一激发态:价电子3p3s的跃迁，发射589.3nm谱线。i.无耦合表象不再是好表象 与 不对易没有共同本征函数系。第24页，本讲稿共36页ii.耦合表象仍是好表象
7、彼此对易守恒量完全集，共同本征函数对于形如的哈密顿，iii.能级分裂的定性解释第25页，本讲稿共36页iv.能级分裂的定量计算 可采用微扰法可采用微扰法v.光谱的双线结构基态能级是3s能级，没有自旋轨道耦合分裂；3p能级分裂为两个能级 和 。8.3.2 反常反常Zeeman效应效应1.处在磁场中原子的处在磁场中原子的Hamiltonian 原子中电子运动的范围10-10m，可忽略B2项第26页，本讲稿共36页 彼此对易，其共同本征态 或2.能级分裂的解释分裂为2j+1个能级不是 的本征态，但相差不大第27页，本讲稿共36页8.4 自旋单态与三重态自旋单态与三重态 自旋纠缠态自旋纠缠态8.4.1
8、 二电子体系的总自旋二电子体系的总自旋1.查查CG系数表系数表或写为或写为同理同理自自旋旋三三重重态态自旋单态自旋单态电子交换对称反对称第28页，本讲稿共36页2.不查不查CG系数表系数表无耦合表象基矢，即无耦合表象基矢，即 的共同本征矢的共同本征矢也是也是 属于属于 的本征矢的本征矢利用利用p157(7)的六个式子的六个式子可用可用 助记助记验证可得验证可得第29页，本讲稿共36页例例1：两自旋：两自旋1/2的非全同粒子，的非全同粒子，求体系总自旋及其求体系总自旋及其z分量的可测值及相应几率。分量的可测值及相应几率。解：解：由由可得可得体系的状态体系的状态：第30页，本讲稿共36页例例2：两
9、自旋：两自旋1/2的一维全同谐振子，求体系的定的一维全同谐振子，求体系的定态能量及波函数。态能量及波函数。解：解：不含自旋不含自旋考虑到费米子体系波函数是反对称波函数，考虑到费米子体系波函数是反对称波函数，体系定态能量及波函数：体系定态能量及波函数：第31页，本讲稿共36页!8.4.2 自旋纠缠态自旋纠缠态1.可分离态与纠缠态可分离态与纠缠态2.单体与二体力学量单体与二体力学量3.Bell基基的共同本征矢的共同本征矢?第32页，本讲稿共36页4.EPR佯谬佯谬 (Einstain-Podolsky-Rosen)对定域系统对定域系统(如氦原子内的二电子如氦原子内的二电子)和非定域系和非定域系统统
10、(如处于磁场中的二电子如处于磁场中的二电子)都存在这种纠缠态。都存在这种纠缠态。若对电子若对电子1测量得测量得电子电子2肯定处于肯定处于 EPR对对QM的批评：的批评：电子纠缠非定域电子纠缠非定域电子电子1在地在地2在月纠缠仍存在在月纠缠仍存在在地球测在地球测1的自旋可的自旋可决定决定在月球上的在月球上的2的状态！的状态！EPR的结论：的结论：QM理论不完备，不能描述真实世界理论不完备，不能描述真实世界第33页，本讲稿共36页SternGerlach实验 基态银原子束在不均匀磁场分裂为两束。测量裂距S，计算可得原子磁矩为 实验结果：第34页，本讲稿共36页1.轨道磁矩？原子束应裂为(2l+1)可见，原子束分裂不是轨道角动量引起。2.原子核有磁矩，但很小。原子磁矩的来源第35页，本讲稿共36页3s3p589.3nm589.6nm589.0nm计及自旋轨道耦合加弱磁场钠原子能级分裂示意图第36页，本讲稿共36页