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1、自动化车床管理摘要本文通过对检查间隔、刀具更换策略以及检查方式的改进，优化了工序设计，从而提高了自动化车床的连续生产的效益。首先，我们对题目中给出的150次刀具故障记录进行了6SQ统计分析，发现了机器发生刀具故障的规律，由于机器发生刀具故障和其他故障是相互独立的，我们经过合理假设，推测出了机器发生其他故障的规律。问题一中，通过对自动化车床管理决策优化模型的模拟，我们以一个换刀间隔作为一个周期，求得周期内各项费用的期望值之和与合格零件数的比值，即以单个合格零件的平均费用为目标函数，运用Matlab软件，以穷举法进行求解，然后结合实际情况分区段得出一系列解。最终我们得出，在每隔514个零件进行一次
2、检查、连续检查1次后强制换刀时，单个合格零件的最小平均费用最小，为2.46057，并求得其他X组解。问题二中，针对出现了工序正常与否均可产出合格以及不合格零件的改变，我们通过对模型的模拟，决定仍以一个换刀间隔为周期。在问题一模型的基础上，本题增加了误检费和部分零件损失费。我们以单个合格零件的平均费用为目标函数，进行求解。最终我们得出，在每隔52个零件进行一次检查、连续检查10次后强制换刀时，单个合格零件的最小平均费用最小，为6.。问题三中，为了获得更高的效益，我们改变了对零件的检查方式，在一个周期的前期增大检查间隔，然后再逐渐减小检查间隔，最终得出如下检查间隔方案：44403734312927
3、2423211918171514131212111099887766655此时，最小平均费用为5.，低于之前的方案。 最后，我们在模型改进中重新对模型进行了思考，考虑以一次非刀具损坏作为一个周期，或者采用积分的方法计算期望值，由于时间不足，无法计算出结果。关键词：自动化管理 期望 良品率 概率论 1问题重述一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占90%，其它故障仅占10%。工序出现故障是完全随机的，假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。现积累有150次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如
4、附表。现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。已知生产工序的费用参数如下：故障时产生的零件损失费用f=300元/件；进行检查的费用t=20元/次；发现故障进行调节使恢复正常的平均费用d=3000元/次（包括刀具费）；未发现故障时更换一把新刀具的费用k=1200元/次。1） 假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品，试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。2） 如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有1%为不合格品；而工序故障时产出的零件有25%为合格品，75%为不合格品。工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次。对该工序
5、设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略。3） 在2）的情况，可否改进检查方式获得更高的效益。附：150次刀具故障记录（完成的零件数）548 571 578 582 599 568 568 578 582 517603 594 547 596 598 595 608 589 569 579533 591 584 570 569 560 581 590 575 572581 579 563 608 591 608 572 560 598 583567 580 542 604 562 568 609 564 574 572614 584 560 560 617 621 615 557 578 5785
6、88 571 562 573 604 629 587 577 596 572619 604 557 569 609 590 590 548 587 596569 562 578 561 581 588 609 586 571 615599 587 595 572 599 587 594 561 613 591544 591 607 595 610 608 564 536 618 590582 574 551 586 555 565 578 597 590 555612 583 619 558 566 567 580 562 563 534565 587 578 579 580 585 572
7、568 592 574587 563 579 597 564 585 577 580 575 6412模型的假设与符号说明2.1模型的假设假设1：对零件进行检查后才进行换刀。假设2：当检查出不合格的零件时，立刻停止行生产，直到排除机器故障。假设3：在问题一和问题二中进行等间隔检查。假设4：问题一中出现损坏零件时，其数量为一个间隔内零件数的一半。假设5：当检查出不合格的零件时，立刻停止行生产，直到排除机器故障。2.2符号说明每生产个零件时，对零件进行一次检查；每进行次检查后，强制更换一次刀具；单个合格零件的平均最低费用；一个周期内生产零件发生的费用每对零件进行一次检查的费用；每生产一个零件，机器
8、发生其他故障的概率；每生产一个不合格的零件造成的损失；发现刀具故障进行调节使机器恢复正常的平均费用；发现其他故障进行调节使机器恢复正常的平均费用；未发现机器故障时，更换一把刀具的费用；一个周期内生产的合格零件的数量；因误判造成的停机损失费。3问题分析本问题是一个决策优化模型，要求我们通过对检查间隔、刀具更换策略以及检查方式的改进，优化工序设计，从而提高该自动化车床的连续生产的效益。题目中给出了150次刀具故障记录，通过对数据的分析，我们可以得出机器发生刀具故障的规律并推测出发生其他故障的规律。针对问题一，我们可以通过对模型的模拟，分析可能出现的费用。工作人员通过检查零件是否合格，确定工序是否出
9、现故障，检查费用为=20元/次。当零件不合格时，可能出现两种故障：第一、刀具损坏故障，其维修费用为=3000元/次；第二、其他故障，因为无需更换刀具，故假设在总维修费用中减去更换一个道具的费用，维修费用为=1800元/次。而零件不合格又会产生零件损失，费用为=300元/件；对该批次零件重新进行检查，费用为=20元/次。为了降低刀具损坏故障造成的损失，在加工一定件数零件后，不管刀具是否损坏，均对其进行更换，更换费用为=1200元/每次。因此，为了提高工序设计的效益，即降低总费用，我们可以将目标函数转化为一个换刀周期内单个合格零件的平均费用，即一个周期内上述五种费用和其对应概率的乘积的累积和，与该
10、周期内生产的合格零件数的比值。采用穷举法，对周期内检测零件的零件间隔数以及强制换刀时的已生产零件数进行求解，即可求得使单个合格零件的平均费用最小的方案。问题二中，通过对模型的模拟，我们发现，除了工序是否正常不能决定零件是否合格外，其他条件均未改变。所以，我们仍以一个换刀周期内单个合格零件的平均费用作为目标函数。由于工序正常时产出的零件不全是合格品，会造成因故障误判造成的停机损失，费用为=1500元/次；工序故障时产出的零件不全为不合格品，会加大对零件返检的难度与费用。为此，我们暂时不考虑对零件进行返检的费用，通过对其他费用各自产生概率的求解，求得总费用的期望值，最终得出与该周期内生产的合格零件
11、数的比值，从而得出目标函数。然后运用软件求解，即可得出最终结果。问题三中，我们可以结合实际情况，首先从良品率对问题二进行分析改进。然后，我们可以改进检查方式，以一个梯度对零件进行检查，在周期开始时，以较大的间隔进行检查，然后不断缩小检查间隔，从而既提高了零件的良品率，又降低了检测费用以及生产出不合格零件造成的损失。4数据分析4.1刀具故障规律的分析针对题目中给出的150次刀具故障记录，我们应用EXCEL软件进行了6SQ统计分析，输入数据可得到统计信息表1，如下：表1 统计信息表统计量参数置信区间数据个数150置信度（%）0.95平均值581.18平均值581.18小数位数0LCI579.标准偏
12、差20.区间宽度3.LCI582.方差420.中位数580偏度-0.LCI578峰度0.UCI85最小值517箱线图标准偏差20.512中位数580下须线527.875LCI18.最大值641上须线634.875UCI23.然后我们将题目中所给数据绘制成图1，如下：图1 故障数据条形统计图根据图形特点，我们假设故障数据服从正态分布，并用安德森-达令正态性检验对猜想进行验证,得到以下结果表2，如下：表2 安德森-达令正态性检验安德森-达令正态性检验AD统计量0.P值0.检验结果服从正态分布最终，我们得出刀具损坏规律的正态分布函数：4.2其他故障规律的分析考虑实际可知，机器发生故障时，刀具损坏故障
13、与其他故障是相互独立的，其发生概率是通过大量的统计后得出的结果。所以，我们不能通过刀具故障的规律来推断其他故障发生的规律。但是，题目中给出，刀具损坏故障占90%，其它故障仅占10%。由刀具故障记录知，生产XXX个零件时，共发生150次道具损坏故障，则可得出每生产一个零件发生其他故障的概率。即，每生产一个零件，机器发生其他故障的概率为。4.3所需数据的处理刀具故障服从正太分布，则，由可知，在生产个零件后，发生刀具故障的概率为。则在生产个零件后，发生其他故障的概率为。5问题一的解答5.1模型分析根据上述分析，我们把相邻两次换刀的期间作为一个周期时，得出了问题一的模拟模型，做出示意图2如下，从中可清
14、楚的看出一个周期内生产零件的流程以及产生的各种费用。图2 问题一的模拟模型5.2模型建立目标函数：我们假设一个周期内每间隔生产个零件，进行一次检查；当连续检测次时，不管机器是否发生故障，均将刀具进行更换。则，一个周期内共产生如下费用：1、检测费用：一个周期内对零件进行检查的费用。其中， 表示检查的次数；为每对零件进行一次检查的费用。2、零件损坏费用：我们假设零件出现损坏时，被检查零件所在批次的零件有一半是损坏的，则造成的费用包括对零件进行返检的费用与零件损失费用：其中，分别为生产个零件时，机器发生刀具损坏故障、发生其他故障的概率；为一个检查间隔内零件的数量；为每损坏一个零件造成的损失费用；为每
15、对零件进行一次检查的费用。3、故障换刀费用：发现机器故障（包括刀具故障时），进行调节使机器恢复正常的平均费用。其中，为对零件连续检查次时，出现刀具故障的概率；为发现刀具故障进行调节使机器恢复正常的平均费用。4、故障换其他费用：发现机器故障，刀具未故障时，进行调节使机器恢复正常的平均费用。其中，为每生产单个零件，出现非刀具故障的概率；为发现其他故障进行调节使机器恢复正常的平均费用。5、定期换刀费用：当连续检测次时，不管机器是否发生故障，均更换刀具其中，为不发生故障换刀的概率；为未发现机器故障时，更换一把刀具的费用。6、合格零件数：由问题一知，只有既不发生刀具损坏故障，又不发生其他故障时，生产的零
16、件才合格，则：其中，分别为生产个零件时，机器发生刀具损坏故障、发生其他故障的概率。约束条件：根据实际情况，我们可以判断的取值范围得出模型：综上所述，我们可以得出一个周期内产生的全部费用，与该周期内生产的合格零件数的比值，从而建立问题一的模型：5.3模型求解我们采用穷举法，运用Matlab软件进行求解，得出了问题一的最优解：即，每隔514个零件进行一次检查，共检查1次，在生产514个零件后强制更换刀具，此时单个零件的平均成本为元2.46057。5.4结果分析分析结果，由于机器在生产514个零件内发生故障的概率非常小，使得零件检查间隔非常大，降低了零件的良品率，这与实际生活不相符合。而分析目标函数
17、，知的值又处于上下波动。为此，我们重新计算，求得的各个波谷值，重新对最优结果进行求解，并取成本小于5的，结果如下表3：表3 问题一的其他结果成本检查周期换刀周期检查次数2.51451412.26152222.17652832.13353243.7753973.6054093.6854483.42546133.50550113.46552124.3356117故，根据实际情况，我们可以根据检查零件工人数的多少以及检查的快慢从上述表格中取得所需最优解。6问题二的解答6.1模型分析与问题一中的模型对比，我们发现，问题二中只是增加了工序正常时，产出的零件不全是合格品，以及工序故障时，产出的零件不全为不
18、合格品这两种情况。这样，就会出现在机器正常运转时的误检费用并增加机器故障时的零件损失费用。对上述条件进行模拟分析，作图3如下：图3 问题二的模拟模型6.2模型建立目标函数：我们仍将相邻两次换刀的期间作为一个周期，假设一个周期内每间隔生产个零件进行一次检查，当连续检查次时，不管机器是否发生故障，均更换刀具。则，一个周期内产生的费用如下：1、检测费用：一个周期内对零件进行检查的费用。其中， 表示检查的次数；为每对零件进行一次检查的费用。2、零件损坏费用：与问题一不同，当机器正常运转时可能出现零件损坏；当机器出现故障时，又可能因为生产出合格零件而未检测出，使前几个检测间隔内生产出更多的损坏零件：其中
19、，分别为生产个零件时，机器发生刀具损坏故障、发生其他故障的概率；为一个检查间隔内零件的数量；为每损坏一个零件造成的损失费用；为每对零件进行一次检查的费用。3、故障换刀费用：发现机器故障（包括刀具故障时），进行调节使机器恢复正常的平均费用。其中，为对零件连续检查次时，出现刀具故障的概率；为发现刀具故障进行调节使机器恢复正常的平均费用。4、故障换其他费用：发现机器故障，刀具未故障时，进行调节使机器恢复正常的平均费用。其中，为每生产单个零件，出现非刀具故障的概率；为发现其他故障进行调节使机器恢复正常的平均费用。5、定期换刀费用：当连续检测次时，不管机器是否发生故障，均更换刀具其中，为不发生故障换刀的
20、概率；为未发现机器故障时，更换一把刀具的费用。6、误检费用：因为检测失误，造成机器停机的费用：其中，表示停机损失费用;表示被检测出的概率。7、合格零件数：一个周期内生产的全部零件中，是合格品的数量：其中，分别为机器发生刀具损坏故障、发生其他故障的概率。约束条件：根据实际情况，我们可以判断的取值范围。得出模型：综上所述，我们可以得出一个周期内产生的全部费用，与该周期内生产的合格零件数的比值，从而建立问题一的模型：6.3模型求解与问题一相同，我们运用软件求得结果如下：即，每隔52个零件进行一次检查，共检查10次，在生产520个零件后强制更换刀具，此时单个零件的平均成本为元6.。6.4结果分析与问题
21、一相比，问题二的结果较为合理，此时良品率为0.。7问题三的解答7.1模型分析通过上述问题一和问题二的分析求解，我们发现机器在一个使用周期的前期出现故障的可能性较低，运行稳定；而在使用周期的后期，故障率大大增加。所以，我们考虑改进等间隔检查方式，使之在前期检查间隔较大，然后逐渐减小检查间隔，从而获得更高的效益。 7.2模型建立目标函数：假设机器在时刻时，未发生故障；则在时间内发生故障的概率会增大，单位时间内检查次数也会增大。其中，是机器在时间内发生故障的概率。因此，是设备到时刻未发生故障的条件下，时间内发生故障的条件概率。这里，根据以上分析，检查方式可表示如下：第一次检查时间间隔为第二次检查时间
22、间隔为第三次检查时间间隔为以置信区间的下界开始向下计算，得到检查周期结果列表4如下：表4 一个周期内的检查间隔444037343129272423211918171514131212111099887766655将以上带入问题二的目标函数中，即可得到期望损失费用5.，此费用小于问题二中的期望损失费用。8. 模型的评价、改进及推广8.1模型的评价优点：(1) 本文建模思想比较简单，易于理解，且模型操作性强。(2) 模型考虑了10%的非刀具故障，减少了非刀具故障对检查间隔和换刀间隔的影响。(3) 对零件的检查采取了等间隔抽查，简化了模型，使模型便于建立和求解。(4) 对故障（刀具、非刀具）发生的概
23、率进行了讨论，并利用“平均费用期望”作为目标函数综合考虑了各种情况。(5) 模型三采用不等间隔检查法，大大减小了工序正常时误检的概率和工序故障时误检的概率，即减少了工序正常时误检停机产生的费用和工序故障而误检正常造成的次品损失费用。缺点：(1) 模型均采用等间隔检查法，而实际生产中刀具在开始的一段时间内发生故障的概率较小，在后面发生的概率较大。8.2模型的改进(1) 我们可以把一次非刀具损坏作为一个周期。(2) 我们可以通过对每个区间产生不合格零件概率的积分，求得车床故障时产生的损坏零件数。8.3模型的推广本文所建立的模型针对的是单道工序加工单一零件的情况，但可以扩展到多道工序和多个零件的复杂
24、车床管理系统。在多道工序中，我们可以通过统计分析各道工序发生故障的概率，为工序的检查确定优先级，有效的控制故障发生的次数。当生产多个零件时，可以采用随机检查一组零件的方式，把这组零件当做一个整体来考虑，再综合利用以上模型，就可以求解出最优的检查间隔和换刀间隔。本模型还可以用于其他产业的连续生产。参考文献1盛骤，谢式千，概率论与数理统计，高等教育出版社，2008。2戴朝寿,孙世良,数学建模简明教程,高等教育出版社。3宋来忠，王志明，数学建模与实验，北京科学出版社，2005。4石敏，林超有，方斌，自动化车床管理，数学的实践与认识，2000。附录附录一，数据分析：原始数据参数直方图计算表不合格数据数
25、据置信度（%）95.00%组下限组上限组中值频数正态概率不合格个数2548小数位数0516.5519.9518.210.1517571区间个数37519.9523.3521.600.1641578区间宽度3.523.3526.752500.582526.7530.1528.400.599统计量530.1533.5531.810.568数据个数150533.5536.9535.220.568平均值581.18536.9540.3538.600.578标准偏差20.540.3543.754210.582方差420.543.7547.1545.420.517偏度-0.547.1550.5548.82
26、0.603峰度0.550.5553.9552.210.594553.9557.3555.640.547最小值517557.3560.755950.596第一四分位数568560.7564.1562.4120.598中位数580564.1567.5565.850.595第三四分位数594.75567.5570.9569.290.608最大值641570.9574.3572.6130.589574.3577.757640.569置信区间577.7581.1579.4180.579平均值581.1584.5582.870.533LCI579.584.5587.9586.2100.591LCI582.
27、587.9591.3589.6120.584中位数591.3594.759330.570LCI578594.7598.1596.4100.569UCI585598.1601.5599.830.560标准偏差601.5604.9603.240.581LCI18.604.9608.3606.650.590UCI23.608.3611.761040.575611.7615.1613.450.572箱线图615.1618.5616.820.581下须线527.875618.5621.9620.230.579上须线634.875621.9625.3623.600.563625.3628.762700.6
28、08安德森-达令正态性检验628.7632.1630.410.591AD统计量0.632.1635.5633.800.608P值0.635.5638.9637.200.572检验结果服从正态分布638.9642.3640.610.附录二，问题一程序代码及结果：代码一：clear;clc;x1=548,571,578,582,599,568,568,578,582,517;x2=603,594,547,596,598,595,608,589,569,579;x3=533,591,584,570,569,560,581,590,575,572;x4=581,579,563,608,591,608,
29、572,560,598,583;x5=567,580,542,604,562,568,609,564,574,572;x6=614,584,560,560,617,621,615,557,578,578;x7=588,571,562,573,604,629,587,577,596,572;x8=619,604,557,569,609,590,590,548,587,596;x9=569,562,578,561,581,588,609,586,571,615;x10=599,587,595,572,599,587,594,561,613,591;x11=544,591,607,595,610,6
30、08,564,536,618,590;x12=582,574,551,586,555,565,578,597,590,555;x13=612,583,619,558,566,567,580,562,563,534;x14=565,587,578,579,580,585,572,568,592,574;x15=587,563,579,597,564,585,577,580,575,641;x=x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11,x12,x13,x14,x15;save data x;load datamuhat,sigmahat,muci,sigmaci= no
31、rmfit(x)r=zeros(1,4);k=zeros(1,3);i=0;w=zeros();for n=400:600 for m=1:600 if n=k(2) if k(2)=k(3); i=i+1; w(i,1)=k(1); w(i,2)=m; w(i,3)=n; w(i,4)=n/m; w(i,5)=f2/n; endend end endendD=muhat,sigmahat;Title=JunZhi BiaoZhunCha JunZhiXin FangZhiXin;xlswrite(train0301.xls,Title,Sheet1,A1);xlswrite(train030
32、1.xls,D,Sheet1,A2:B2);xlswrite(train0301.xls,muci,Sheet1,C2);xlswrite(train0301.xls,sigmaci,Sheet1,D2);xlswrite(Train0301.xls,w,sheet2);结果表格一：JunZhiBiaoZhunChaJunZhiXinFangZhiXin581.1820.51291577.870418.42478584.489623.13906结果表格二（部分）：2.51451410.2.51651610.2.5257151851810.2.26152220.2.51951910.2.5205
33、2010.2.26252420.2.17652830.2.13353240.2.17753130.2.52552510.2.26553020.2.52652610.2.17853430.2.13453640.2.52752710.3.7753970.998583.6054090.3.52952910.3.6854480.代码二（画图）：clear;clc;x1=548,571,578,582,599,568,568,578,582,517;x2=603,594,547,596,598,595,608,589,569,579;x3=533,591,584,570,569,560,581,590,
34、575,572;x4=581,579,563,608,591,608,572,560,598,583;x5=567,580,542,604,562,568,609,564,574,572;x6=614,584,560,560,617,621,615,557,578,578;x7=588,571,562,573,604,629,587,577,596,572;x8=619,604,557,569,609,590,590,548,587,596;x9=569,562,578,561,581,588,609,586,571,615;x10=599,587,595,572,599,587,594,56
35、1,613,591;x11=544,591,607,595,610,608,564,536,618,590;x12=582,574,551,586,555,565,578,597,590,555;x13=612,583,619,558,566,567,580,562,563,534;x14=565,587,578,579,580,585,572,568,592,574;x15=587,563,579,597,564,585,577,580,575,641;x=x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11,x12,x13,x14,x15;save data x;load
36、datamuhat,sigmahat,muci,sigmaci= normfit(x) m,n=meshgrid(1:600,1:600);k=m*n;p1=normcdf(n,muhat,sigmahat);p2=normcdf(n,5230.62,sigmahat);z=(n*20+(p1+p2)*m*320/2+p1*3000+p2*1800+(1-p1)*1200)./(k-(p1+p2)*m/2);plot3(m,n,z);%figure;mesh(m,n,z);附录三，问题二程序运算及结果：代码：clear;clc;x1=548,571,578,582,599,568,568,57
37、8,582,517;x2=603,594,547,596,598,595,608,589,569,579;x3=533,591,584,570,569,560,581,590,575,572;x4=581,579,563,608,591,608,572,560,598,583;x5=567,580,542,604,562,568,609,564,574,572;x6=614,584,560,560,617,621,615,557,578,578;x7=588,571,562,573,604,629,587,577,596,572;x8=619,604,557,569,609,590,590,5
38、48,587,596;x9=569,562,578,561,581,588,609,586,571,615;x10=599,587,595,572,599,587,594,561,613,591;x11=544,591,607,595,610,608,564,536,618,590;x12=582,574,551,586,555,565,578,597,590,555;x13=612,583,619,558,566,567,580,562,563,534;x14=565,587,578,579,580,585,572,568,592,574;x15=587,563,579,597,564,58
39、5,577,580,575,641;x=x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11,x12,x13,x14,x15;save data x;load data muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(x)r=zeros();w=zeros();b=zeros(1,3);i=0;for m=1:800 for n=1:800 if m*n800k=m*n;p1=normcdf(k,muhat,sigmahat);p2=normcdf(k,5230.62,sigmahat);f1=(20*n+(p1+p2)*0.75+(1-p1-p2)*0.01)*k*300+p1*3000+p2*1800+(1-p1)*1200+(1-p1-p2)*0.01*1500*n);f2=(k*(0.25*(p1+p2)+0.99*(1-p1-p2);