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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date自动化车床管理-数学建模自动化车床管理-数学建模数学模型与数学软件综合训练论文训练题目：自动化车床管理-目录前言3摘要4关键词:41 问题的提出52 问题的分析53模型的假设64 模型的建立与求解6问题一.6问题二7问题三85 模型的检验与改正86 模型优缺点9总结9参考文献10前言随着社会的不断发展，数学的应用已由传统的工程技术领域扩展渗透到自然科学和社会科学许多领
2、域，并形成了许多交叉科学，如数理经济学、计量经济学、人口控制论、生物数学等。而应用数学方法解决实际问题，首要的和关键的一步就是建立实际问题的数学模型，因此掌握数学建模方法也就显得非常重要。计算机技术及数学软件的飞速发展和普及为数学模型的求解带来了极大的方便，使数学的应用更加广泛和实际可行。一年一度的全国大学生数学建模竞赛已成为规模最大的大学生课外科技活动。真正投入数学建模学习和竞赛的同学，在如何应用数学方法处理实际问题与利用数学软件求解方面肯定有不少收获，在如何查找资料如何撰写论文等方面也会得到锻炼和提高，这对他们以后的学习和工作将是非常有益的。数学建模是一门内容活泼、信息量大、涉及数学多个分
3、支的课程。在实际应用中，不但需要掌握相关数学分支的原理和方法，还要有实际问题的背景知识，无论是对从事数学建模教学的老师还是对学生都是挑战。数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术。与一门技术大致有章可循不同，艺术在某种意义下无法归纳出若干条普遍适用的准则或方法。尽管如此，还是有一些比较常用的基本的技术手段和方法。摘要 研究自动化车床管理的优化问题，首先假设车床出现故障时已完成的零件数作为参数，其服从正态分布，在此基础上，以更换刀具为决策变量，以生产零件的总费用为目标函数建立动态规划模型，利用计算机程序对检查问题逐一选取进行尝试，选取最优的检查间隔使得总费用最少，最后通过计算机彷真模拟结果吻合
4、很好。关键词:自动化车床管理; 正态分布; 动态规划; 计算机仿真1 问题的提出一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占95%，其他故障仅占 5%。工序出现故障是完全随机的，假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同. 如何通 过检查零件来确定工序是否出现故障. 现积累有 100 次故障出现时该刀具完成的零件数的记录，怎样计划在刀 具加工一定件数后定期更换新刀具. 已知生产工序的费用参数如下:故障时产出的零件损失费用 f = 200 元/件;进行检查的费用 t = 10 元/次;发现故障进行调节使恢复正常的平均费用 d = 3000 元/次 (
5、包括刀具费) ;未发现故障时更换一把新刀具的费用 i = 1000 元/次.(1) 假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格证品，试对该工序设计效益最 好的检查间隔 (生产多少零件检查一次) 和刀具更换策略.(2) 如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有 2% 为不合格品; 而工序故障时产出的零件有 40% 为合格品，60%为不合格品. 工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为 1500 元/次.对该工序设计效益最好 的检查间隔和刀具更换策略.。(3) 在 (2) 的情况，可否改进检查方式获得更高的效益.附：100次刀具故障记录（完成的零件数）459362624542
6、50958443374881550561245243498264074256570659368092665316448773460842811535938445275525137814743888245388626597758597556496975156289547716094029608856102928374736773586386996345555708441660610624841204476545643392802466875397905816217245315125774964684995446457645583787656667632177153108512 问题的分析该问题是
7、车床管理的最优化问题，经初步分析题意可知，我们利用动态规划建立模型. 首先假定车床出现 故障时已完成的最大的零件数 1200 个作为一个生产过程，机床生产 x 件零件就检查一次，则整个过程可分为1200/x(当1200/x为整数) 或1200/x+ 1 (当 1200/x不为整数) 个阶段. 由于 x 是任意的，阶段数很难确定，根据假设，我们自行编制了 C 语言程序，可迅速搜索到最优零件数选取方式，从而得到最优阶段数，以及在此阶段数下采取什么样的策略得到最优结果.3模型的假设（1）车床出现故障时已完成的零件数作为随机变量 y ，y 服从正态分布，即 。(2) 因刀具损坏故障占 95%，其他故障
8、占 5%，即假设车床出故障是由刀具损坏引起;；(3) 相邻两次检查之间出现故障可以认为是均匀分布且刀具在第 1 阶段初是新刀具；(4) 所给的 100 次刀具故障记录是准确的.。符号说明:：y : 车床出现故障时已完成的零件数;f : 故障时生产的零件损失费用;t: 进行检查的费用;d : 发现故障进行调节使恢复正常的平均费用;i: 未发现故障时更换一把新刀具的费用;b: 工序正常而误认有故障停机产生的损失费用;p (y ) : y 正态分布密度函数.d 1: 换的损失费d 2: 不换的损失费4 模型的建立与求解自动化车床在加工零件时，由于刀具损坏等原因使该工序出现故障，因此，要计划在刀具加工
9、一定件数后 定期更换新刀具，以避免巨大的损失. 由所给 100 次刀具故障记录中以计算可知，零件参数的数学期望 N =600，方差 2= 38663104，则有 y N (600，38663104).问题一： 假定工序故障时产生的零件均为不合格品，正常时产生的零件均为合格品，设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略.阶段变量 状态变量 b k : b k 为第 k 阶段初的刀具使用的周期数，由于已知刀具在第 1 阶段初是新刀具，因此第 1 阶段初只有 b 1 = 1一种状态，即第 1 阶段初状态集合为 b 1 = 1 在第 2 阶段初，因第 1 阶段初的新刀具已用 了 1 个周期即 b 1 = 1
10、，在第 3 阶段初，可以是第 1 阶段的新刀具用了 2 个周期，也可以是第 2 阶段初更新的刀具用了1个周期数.因此，b 3 = 1，2，由此可推知，第 H 阶段的状态集合 b k = 1，2，k .决策变量第 k 年初继续使用原刀具，还是更新原设备，用 K表示继续使用，用 R表示更新，则对第 k 阶段任何状态 b k 决策变量 均为 :状态转移方程 :阶段指标 为第 H 阶段状态为 b k ，决策为 时刀具运行1个阶段时费用，由假4知:基本递推方程: (b k ) 表示从第 K阶段初开始，使用了 bk 的刀具，并按最优更新策略到第 1200/ x或1200/x+ 1 阶段末的费用.fk(bk
11、)=我们来考虑第 k 阶段的情况，若第 k - 1 阶段已经换刀，那么本阶段有两种情况，即换刀与不换刀.并且假定在这阶段中刀坏和不坏是呈均匀分布的. 若检查结果为换刀，则该刀在1/2阶段时已经损失，于是损失费用若检查结果的不换刀，则损失费就是并且换或不换看 d 1 - d 2 是否大于零，即 ， 则不换刀.现在再来考虑若第 k - 1阶段没有换刀，本阶段还是有两种情况: 换刀和不换刀，同样假定在这阶段 中刀坏与不坏是呈均匀分布的，则检验结果若为换刀损失费为若为不换，则并且当 d 1 d 2 时不换刀，对此算法利用 C 语言编程对 x 进行搜索得到最优决策，当生产 48 个零件检查一次刀 具，最
12、少费用为 13221.6552 元. 生产过程中共分为 25 个阶段，分别在 1，8，15，22 阶段初更换新刀具，其余的阶 段不换刀具.问题二: 由于工序正常时产生有 2%不合格品，而工序故障时产出的零件有 40%为合格品，而且工序正常 而误认有故障停机产生的损失费用为 1500 元/次 故可用问题一所用动态规划原理来求解. 而且阶段变量 K ，状态变量 b k ，决策变量Uk 不发生改变，而只改变阶段指标 V k (b k ，U k ) 和 f k (b k ) ，则有对模型二，同样采用计算机来寻找最佳阶段数，仿照模型一分析方法得到同样的流程过程. 当第 k - 1阶段换，判断条件为若换则
13、损失费不换则损失费当第 k - 1 阶段不换判断条件为换，则不换，则在这种策略下编程运算结果为生产241个零件检查一次，最少费用为13515174，共分5个阶段，第1，2，3，4阶段是换刀的，第5阶段不换刀.。问题三: 在第二问的假设下，我们已知每生产241次检查一次所花的费用是最少的. 在这种策略下，更换刀 具所花费的刀具费很高. 例如在第2阶段更换刀具在第三阶段其损坏的概率很少，可能不换比换花钱更少. 于是 我们这样做对每一阶段都来判断换的花费多还是不换的花费多，哪个花费少采取哪个方案.。若 k 阶段换的花费应该是若不换, 则若d 1 d 2 则换.5 模型的检验与改正检验 y 服从正态分
14、布，用 x 2 检验法检验：假设 计算得 =6002 = 38663104因为 为正态分布 N (600，38663.04)的分布函数. 在所给100次刀具故障记录数据中,最小数为 84，最大数为 1153，可取 83.5 为下界，1200 为上界，将 (83.5，1200) 按等间距 89 划分为 12 个小区间，发现前三个小 区间的 值与后三个小区间的 值都太小，应适当合并小区间，于是可列于表 1:表格 1小区间 83.5, 350.5 8646.65 350.5, 439.5 9817.78 439.5, 528.5 1522521.69 528.5, 617.5 2352929.97
15、617.5, 706.5 1832419.11 706.5, 795.5 1326912.66 795.5, 884.5 7495.6 884.5, 1200 7495.6n从而得 的观测值为对显著性水平 ，查 分布表得自由度为 5 所对应的临界值 ，由于 8.98， 所以不否定 H 0 ，即认为 y N (600，38663.04)。在确定阶段数时，我们假设从生产 1 个零件时就开始检验，从而阶段数为 1200 次，而生产 1 个就出现刀具 损坏的事情发生的可能性很小，可见这步运算是没有必要的，有待改正，我们提出的改正方法如下: 若出现故障 造成损失比检查和维修的费用还要少，则不必检验. 通
16、过编程，得出 34 次以前是不必检验的。6 模型优缺点(1) 本模型巧妙地运用动态规划原理来求解，并采取逐次选取进行尝试，借助计算机编程进行搜索，得到 每生产 x 个零件需检查一次使得总费用最小的最优结果.(2) 在问题三中通过对问题二进行改进检查方式，得到比较好的经济效益.(3) 本模型具有较高的应用价值，特别在大工厂里，为避免造成巨大的经济损失应该决定设备生产零件就 检查一次，何时更换设备，利用此模型便得到很好的解决问题.(4) 由于对生产多少个零件对刀具进行检查与更新是随机的，我们利用逐步搜索法可能使计算机循环次 数增大，计算速度减慢致使不能得到最优结果.(5) 当某个参数作微小变动，可
17、能使计算结果相差很大.总结 通过本次的数学模型与数学软件综合训练课程设计，使我更全面的掌握了与数学模型与数学软件综合训练相关内容和技术，包括对各种数学模型的建立，分析，和求解，并熟悉了有关数学软件的运用等的能力，综合运用了各方面的相关知识，提高解决实际问题的能力。在这次作课程设计中，我先认真的对题目进行解读，然后建立了数学模型，期间与同学进行了多次讨论和修改，最后定案，进行正式规划阶段。培养了我们的实际操作能力，而这种实际操作能力的培养单靠课堂教学是远远不够的，必须从课堂走向实践。通过这次课程设计，让我们找出自身状况与实际需要的差距，并在以后的学习期间及时补充相关知识。使得达到了专业学习的预期目的。在这次的数学模型与数学软件综合训练课程设计之后，我们感到不仅我们的实际动手能力有所提高，更重要的是通过对设计流程的了解，进一步激发了我们对专业知识的兴趣，并能够结合实际存在的问题在专业领域内进行更深入的学习。参考文献 1 范贻昌. 实用管理运筹学M . 天津: 天津大学出版社，1993，301 311. 2 汪国强. 数学建模优秀案例选编M . 广州: 华南理工大学出版社，1995. 3 谭浩强等. C 语言程序设计教程M . 北京: 高等教育出版社，1997.