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1、自动化车床管理摘要 本文是关于一道工序用自动化车床连续加工零件，通过设计最优化的检查间隔和更换刀具周期来使工序出现故障时损失费用最小的问题。对于出现故障的原因，通过证明5%的其他故障对产生的平均费用影响不大，所以我们忽略了仅占5%的其它故障。另外，我们对100次刀具故障记录进行Excel软件处理，得出它是服从正态分布的，最终通过Matlab编程得出了结果。 对于问题一：工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的均为合格品，我们通过建立概率模型，将问题转化为三个部分，即，并考虑各个部分的检查费、故障维修费、废品零件损失费和换刀费，从而求得每一种情况下的一个周期内的损失费用及一个周期内生产正品
2、的个数，由此求出一个周期内每个正品所承担的平均损失费用。在保证最小的情况下求出相应的检查间隔和刀具更换周期。最终通过Matlab编程计算得：=27，=269，=3.58844。对于问题二：本问是在问题一的基础上加以改进的，即要求工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品，所以刀具变坏之前就会有2%的零件损失费，而在刀具变坏之后只有60%的零件损失费。另外工序正常时也会被误认有故障停机而产生停机损失费用，从而建立概率模型，同样将问题转化为三个部分，即，由此求出一个周期内每个正品所承担的平均损失费用。在使最小的情况下求出相应的检查间
3、隔和刀具更换周期。最终通Matlab编程计算得：=46，=275，=13.7230。对于问题三：此问对问题二中检查方式进行的改进，通过连续检查两个产品，并计算出两个产品都为正品、一正一次和都为次品时各自相应出现故障的概率，以确认工序是否有故障，从而建立了自动化车床生产工序较为合理的管理方案。关键词：正态分布 概率模型 Matlab软件 计算机拟合一、问题重述问题背景：本文是关于自动化车床连续加工某种零件而主要由刀具（刀具损坏故障占95%, 其它故障仅占5%）损坏造成工序出现故障，从而需要支付额外的损失费用且使费用最小的问题。每次工序出现故障是完全随机的, 假定在生产任一零件时出现故障的机会均同
4、。工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。现积累有100次刀具故障记录（数据见附录），故障出现时该刀具完成的零件数如附表。现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具，使整个过程损失费用达到最小。已知生产工序的费用参数如下： 故障时产出的零件损失费用 f=200元/件； 进行检查的费用 t=10元/次； 发现故障进行调节使恢复正常的平均费用 d=3000元/次(包括刀具费)； 未发现故障时更换一把新刀具的费用 k=1000元/次。 本文需要解决的问题：1)假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品,通过确定检查间隔周期也即是生产多少零件才检查一次和刀具更换周期也即是每加工
5、多少零件更换成新刀具，来使损失的费用达到最小。2)如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品，也即是在刀具变坏之前有2%产品的零件损失费；而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品，也即是在刀具变坏之后有60%产品的零件损失费而不是按100%。工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次。来设计检查间隔周期和刀具更换周期使损失费用最小。3）在2)的情况, 可否改进检查方式获得更高的效益。 二、模型假设假设1：在生产任一零件是出现故障的机会均相同。假设2：工序出现故障完全是由于刀具损坏，即不计5%的其他故障。假设3：工序出现故障是完全随机的。假设4：更换刀具
6、所用时间忽略不计。假设5：刀具生产任一零件所用时间均相同。假设6：刀具更换时用同一型号的刀具。三、符号说明符号符号说明定期更换刀具前完成的零件数两次检查之间完成的零件数刀具实际完成零件数故障时产出的零件损失费用进行检查的费用发现故障进行调节使恢复正常的平均费用(包括刀具费) 一周期内生产正品的个数未发现故障时更换一把新刀具的费用 一个周期内每个正品所承担的平均损失费用本工序一周期内的损失费用一周期内所损失费用的平均值一周期内生产正品的平均数目刀具完成个零件后出现故障的概率密度工序正常而误认有故障停机产生的损失费三、问题分析此题研究的是自动化车床连续加工某种零件损失费用最小的优化问题。要使损失费
7、用最小就得确定检查间隔以及刀具的更换周期，通过题中给出的100次刀具故障记录，由Excel、6QS软件对数据的模拟整合确定了刀具实际使用寿命服从正态分布，再通过刀具实际使用寿命、检查间隔和刀具更换周期的关系来求损失费用最小。针对问题一：其假定工序故障时产出的零件均为不合格产品，正常时产出的都是合格产品，可以知道在刀具实际坏之前其不需要考虑零件的损失费用，而检查间隔远小于刀具更换周期，所以刀具实际的使用寿命有三种情况：小于检查间隔、介于检查间隔和更换周期之间和大于更换周期。通过对刀具处在各种情况下时所存在的各种费用的分析和讨论，进而求出刀具在各阶段时所损失的费用，故障时完成零件数的概率分布已知，
8、由积分可以得到在一个周期内总的平均损失费用，再除以正品的总数得到一个周期内每个正品的平均损失费用，最后求得该工序的最小损失费用。针对问题二：工序正常工作时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品，因此在刀具变坏之前就会有零件损失费；而工序故障时所产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品，因而在刀具变坏之后就会有60%的零件损失费而不是问题一中的100%的零件损失费。此外还得考虑在刀具变坏之前所有的检查点都会有2%的误认为有故障而产生的停机损失费，同样可以分为问题一中的三个阶段，得到一个周期内总的平均损失费用，再除以总的正品数得到一个周期内每个正品的平均损失费用，从而得到最小损失费用。针对问
9、题三：在（2）的情况下，只检查一个零件即使在工序正常的情况下也有很大的可能被误认为故障停机，所以可以通过检查两次来进行判断是否有故障，既是1）若零件为次品，则有故障；2）若第一次为正品，第二次为正品则正常，第二次为次品则有故障。虽然增加了检查了次数增加了检查费用，但很大程度上减少了工序正常时而被误认为有故障的损失费用。从而进一步减少了总的损失费。四、数据分析分析表中数据可知（见附录）： 大部分数据集中在区间400，800，少部分分布在区间0，400及800，1200，所以我们可以先假设其为正态分布，然后对其进行验证。经计算得：数据期望为：；方差为：由Excel软件对100组故障时的数据进行数据
10、整合、散点分析得出分布函数的散点图如下所示：图 1、分布函数图由图2知:在显著性水平时，其服从正态分布，其中，故得其密度函数表达式为：图 2、密度函数图对正态分布运用假设检验进行验证如下：原假设为：；备择假设为：；使用统计量，且为：则有：而显著性水平为，所以有，即,故接受,其确实为正态分布。五、模型建立1. 问题（一）1.1模型的分析该模型是在理想前提下（即工序在故障时生产的全是次品，在正常时生产的全是正品），求在费用最小时的检查间隔以及换刀周期。我们把刀具的实际寿命分三种情况讨论：，然后求得一个周期内的平均损失费用和一个周期内生产正品的平均个数，从而求得一个周期内每个正品所承担的平均损失费用
11、，通过使值最小来求得此时的检查间隔和换刀周期。1.2模型的建立1.2.1确定目标函数本文求解检查间隔问题是通过确定最小损失费用来实现的。要求最小损失费用，则一周期内每个正品所承担的损失费用也要达到最小，所以我们建立如下函数：接着，我们应求出一周期内所损失费用的平均值：因为表示一周期内生产正品的个数，分析易知：所以我们可求出一周期内生产正品的平均数目：1.2.2确定约束条件i).代表定期更换刀具前完成的零件数（即刀具更换周期），而代表两次检查之间完成的零件数（即检查间隔），因为刀具更换周期显然大于检查间隔，所以：ii).因为代表离最近的检查次数，而为检查间隔，所以：iii).由题易知：、均代表零
12、件件数，应都为正整数，所以：1.2.3综上所述，得到问题一的最优化模型 （”代表取整）1.3 模型的求解 为了解决问题，我们必须先得出和，其中代表本工序一周期内的损失费用，由检查费、换刀费、故障修理费和废品零件损失费构成。分析知：应分为三种情况对其讨论，分类如下图所示：i).当时，刀具尚未出故障，但已到刀具更新周期，所以在点时产生换刀费用；检查的次数为，所以检查费用为。因此此时总费用为：；ii)当时，刀具在第次检查后点前寿命终结，在点时换刀，产生换刀费用；检查次数为，所以检查费用为；在到之间，由于刀具已出故障，所以在此区间产生的零件均为次品，将产生废品零件损失费；因此此时总费用为：；iii)当
13、时，由于刀具在第次和第次之间出现故障，所以将产生故障修理费；检查次数为，所以检查费用为；在到之间，由于刀具已出故障，所以在此区间产生的零件均为次品，将产生废品零件损失费；因此此时总费用为。对其讨论的流程图如下：综上所述，可得出本工序一周期内的损失费用为： （”代表取整）注：代表离最近的检查次数最终，将相关数据代入，由Matlab软件编程得出最后结果为：=27，=269，=3.588441.4 模型结果分析通过对模型一的最后结果观察分析知，定期更换刀具前完成的零件数为=265，两次检查之间完成的零件数为=27，且一个周期内每个正品所承担的平均损失费用最小值为=3.58844。本工序最多要检查45
14、次，且分别在第10、20、30、40次检查时更换刀具。在对数据的相对比较下，检查间隔波动对平均最小费用的影响相对于换刀间隔波动对平均最小费用的影响大。2. 问题（二）2.1 模型的讨论该模型中工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品，求在费用最小时的检查间隔以及换刀周期。我们把刀具的实际寿命分三种情况讨论：，然后求得一个周期内的平均损失费用和一个周期内生产正品的平均个数，从而求得一个周期内每个正品所承担的平均损失费用，通过使值最小来求得此时的检查间隔和换刀周期。2.2模型的建立2.2.1确定目标函数本文求解检查间隔问题是通过确
15、定最小损失费用来实现的。要求最小损失费用，则一周期内每个正品所承担的损失费用也要达到最小，所以我们建立如下函数：接着，我们可求出一周期内所损失费用的平均值：因为表示一周期内生产正品的个数，由上述分布区间分类讨论易知：所以我们可求出一周期内生产正品的平均数目：2.2.2确定约束条件i).代表定期更换刀具前完成的零件数（即刀具更换周期），而代表两次检查之间完成的零件数（即检查间隔），因为刀具更换周期显然大于检查间隔，所以：ii).因为代表离最近的检查次数，而为检查间隔，所以：iii).由题易知：、均代表零件件数，应都为正整数，所以：2.2.3综上所述，得到问题二的最优化模型 （”代表取整）2.3
16、模型的求解 为了解决问题，我们必须先得出和，其中代表本工序一周期内的损失费用，由检查费、换刀费、故障修理费、废品零件损失费和停机损失费构成。分析知：应分为三种情况对其讨论，分类如下图所示：i).当时，刀具尚未出故障，但已到刀具更新周期，所以在点时产生换刀费用；检查的次数为，所以检查费用为；在每一次检查中当查出次品时，都会误认为有故障而停机，而正常工序中产出次品的概率为2%，所以停机损失费为：；因为正常工序中产出次品的概率为2%，所以产出的次品个数为，所以废品零件损失费为：。因此此时总费用为：；ii)当时，刀具在第次检查后点前寿命终结，在点时换刀，产生换刀费用；检查次数为，所以检查费用为；在每一
17、次检查中当查出次品时，都会误认为有故障而停机，而正常工序中产出次品的概率为2%，所以停机损失费为：；在到之间，由于刀具已出故障，所以在此区间产生的零件为故障时生产的零件，即有60%为次品，产生的废品零件损失费，而在件正常情况下产出的零件中有2%的为次品，将产生的废品零件损失费；因此此时总费用为：；iii)当时，由于刀具在第次和第次之间出现故障，所以将产生故障修理费；检查次数为，所以检查费用为；在每一次检查中当查出次品时，都会误认为有故障而停机，而正常工序中产出次品的概率为2%，所以停机损失费为：；在到之间，由于刀具已出故障，所以在此区间产生的零件为故障时生产的零件，即有60%为次品，产生的废品
18、零件损失费，而在件正常情况下产出的零件中有2%的为次品，将产生的废品零件损失费；因此此时总费用为。综上所述，可得出本工序一周期内的损失费用为：（”代表取整）注：代表离最近的检查次数最终，将相关数据代入，由Matlab软件编程得出最后结果为：=46，=275，=13.72302.4 模型结果分析对模型二的最后结果观察分析知，本工序最多要检查26次，且分别在第6、12、18、24次检查时更换刀具，与一比较，检查次数明显减少，检查费用也减少，但是出现故障的概率就会相应增大，所以一个周期内每个正品所承担的平均损失费用也相应的增大。这更加符合实际，增大了本模型的可行性。问题三：3 模型的探讨此问题是在（
19、2）的情况下，对检查方式的改进来使损失费用最小，而（2）中工序检查一个产品即使正常时也可能会被误认为有故障产生损失费，这样误差会很大，所以可以通过多次检查来使判断更加准确，但检查次数太多又会增加额外的检查费用，所以可以选择检查两次，虽然在之前基础上增加了一次的检查费用，但很大程度的减少了工序正常时误判有故障而产生的损失费。对检查有如下三种情况： (1)如果检查时第一个产品为次品即不合格品，则工序出现故障。我们可以用条件概率知识验证，其中事件A：第一个产品为次品；事件B：工序正常，p表示故障的平均概率，则有：所以第一个产品为次品的概率为：故得到该情况下正常的条件概率和故障时的条件概率，如下表：1
20、-p1/81/43/81/25/83/47/8正常下的 条件概率0.00470.01100.01960.03230.05260.09100.1892故障时的 条件概率0.99530.98900.98040.96770.94740.90900.8108由表可见正常时的条件概率远小于故障时的条件概率。所以第一个产品问次品时工序出现故障。(2)如果检查时第一个产品为正品，第二个产品也为正品，则认为工序正常。同（1）则其正常下的条件概率为：故可取p=1/8时，所以可以认为工序正常。(3)如果检查时第一个产品为正品，第二个产品为次品，则认为工序故障。同上可求得正常下的条件概率为： 此时取p=1/8时，即
21、，所以可以认为工序故障。六、误差分析本文是通过确定检查间隔和刀具的更换周期来求损失费用最小的问题，其中存在着一些误差，如检查时有可能会有多个次品通过而不是本文中的只有一个次品，还有对故障进行维修时需要消耗一定的时间也会产生一定的误差。虽然都很小，我们认为误差主要有三个方面的来源：第一，工序出现故障不完全是由刀具的损坏造成的（刀具损坏故障占95%, 其它故障仅占5%）。生产任一零件时的概率都是相同的，因此仅占5%的这部分故障可以近似看成是服从均匀分布的，且均值为11400，其所占的概率很小，对结果几乎没有影响，但仍然会产生损失费。第二，在进行检查时，通过只检查一个或是两个零件是否为正品来判断工序
22、是否正常不太准确，存在一定的误差。在正常工序下生产出来的产品有正品次品，在故障时也同样有正品和次品，仅仅通过一两次的检查就断定工序是否为正常或故障是十分不准确的，其存在偶然性，毕竟这几种可能都是有一定的概率出现的。第三，所给的100次刀具故障记录太少，而且其中有些数据不太符合实际，如84、1153等。刀具记录的数据太少使我们用软件进行数据处理以及图形整合时不太准确，另外一些数据偏离太大不精确，使我们需要的图形和实际产生的图形不太一致，因此可以通过搜索记录更多的数据，并对不符合实际的数据进行剔除来使图形更加准确，因此我们对原数据进行稳定性和灵敏度分析如下：稳定性的分析：由上图的极差图与平均值图的
23、显示可知：数据的波动不是很大，在稳定性要求的波动范围内，数据可用。灵敏度的分析：580590600600600590580196.577196.577190196.577200200200258265261269261264259262726272627264.081093.3.716533.588443.655823.834144.101347.14%5.71%3.57%0.00%1.87%6.84%7.52%用值来代表相对误差来表示；其中为3.58844；通过上表可以得出，在样本均值与样本方差有一定差距的基础上，对结果值的影响任然不是很大，所以我们在文中采用的方法是合理的。七、模型的评价1
24、、模型的优点：1.1模型三运用了条件概率知识，很好的改进了只通过一次检查来判断工序是否正常的检查方式，明确了通过两次检查评判的优势。1.2 该模型在计算各个阶段的损失费用时十分明确，即零件损失费、检查费、更换刀具费和调节恢复正常费，不会遗漏。 1.3该模型使用等间距检查的方式来评判故障，更加具有操作性。 1.4该模型通过分段将刀具实际寿命、更换周期以及检查间隔很好的分开，更加清楚方便的计算每个阶段所损失的费用，进而求得总的最小损失费用。 1.5 该模型只考虑一个周期内的最小损失费用，使问题简单化，计算更加方便。 2、模型的不足：2.1 该模型将工序出现故障的原因全部归咎于刀具的损坏，这是不合题
25、意和实际的，忽略了5%的其它故障。2.2 本文在换刀时需要花费一定的时间，而在这段时间内我们只考虑检查一个产品，实际上可能会有多个不合格产品通过。2.3 实际在进行维修故障时需要一定的时间，而该模型并未考虑，这会出现一定的误差。八、模型的改进和推广1、模型的改进1.1 可以对模型的维修时间进行相应的确定。1.2 查询更多的刀具故障记录，使软件统计结果时更加趋于准确。1.3本工序中检查间隔始终一定，这有一定的不合理性。因为刀具在刚开始使用时出现故障的概率很小，此时的检查应该较为稀疏，以减小费用；而在刀具使用一定次数之后，出现故障的概率大大提高，所以此时的检查应该较为密集，以确保安全。1.4对于仅
26、占5%的其它故障可以根据其服从均匀分布，考虑到损失费用的计算当中，具体如下：设为考虑5% 的其它故障所产生的平均费用: 则目标函数改为:由于刀具故障平均间隔为件，并且有题设知刀具故障占95%，非刀具故障占5%，得非刀具故障的平均时间的间隔为 件，故5% 的其它故障服从均值为11400的均匀分布,为了便于简化计算我们可认为5% 的其它故障发生在第11400 件产品上, 取代无5% 的其它故障时的情形. 由此来看该产品所在周期记费的差别. 我们可合理的认为故障点在x 的中点. 当然也有误判情况. 很明显双方记费主要差别在 时的情形.双方还应有3000 与1000 的费用差别，不过这对解与影响不大.
27、2、模型的推广1.1本文是采用单一工序生产单一产品的检查方式，在实际生活中对多道工序生产多产品具有很好的指导意义。1.2 在现代工厂中常常需要合理安排检查次数以及检查时间来考虑检查产品的合格性，以便减少经济损失提高效率，本文为其提供了很好的方案选择。1.3 本文所应用的概率模型在各方面都可以得到应用。如传送系统的效率问题，报童卖报问题，随机人口模型。九、参考文献1 宣明 数学建模与数学实验 ，浙江 浙江大学出版社 20102 谢金星优化建模与LINDO/LINGO软件 ， 北京 清华大学出版社 20053 宋来忠 数学建模与实验 ，北京 科学出版社 20054 盛骤 谢式千 概率论与数理统计，
28、浙江 高等教育出版社 20015 朱道元 数学建模案例精选，北京 科学出版社 2003十、附录程序1function fun1k=1;for M=84:600 %由于更换周期小于平均值，故从更换最小值循环到平均值 for N=1:M-1 %N为更换周期中检查间隔的值 p=normcdf(M,600,196.62917); %使用寿命不超过M的概率 Wa=0;Wb=0;Wc=0;a=fix(M/N);q2=0; for Q=1:1200 %刀具实际寿命的循环 b=fix(Q/N); if Q=a*N %W值的第三种情况； q1=normcdf(b+1)*N,600,196.62917)-norm
29、cdf(b*N,600,196.62917); Wc=Wc+(b+1)*10+3000+q1*N*200); G=Q; end if a*NQM %W值的第一种情况 Wa=10*a+1000;G=M; end end W(k)=(Wa*(1-p)+Wb*q2+Wc*q1)/G %目标函数Z的取值，（Wa*(1-p)+Wb*q2+ Wc *q1）为E(W)，G为E(G)值 T1(k)=M; T2(k)=N; k=k+1; endend z n=min(W(1:k-1) %求Z的每个零件的最小期望损失费用，z即为最小值，n为取最小值时的k值。 T1(n),T2(n) %T1(n)为换刀周期，T2(
30、n)为检查周期。程序2function fun2k=1;for M=84:600 %由于更换周期小于平均值，故从更换最小值循环到平均值。 for N=1:M-1 %N为更换周期中检查间隔的值 p=normcdf(M,600,196.62917); %使用寿命不超过M的概率 Wa=0;Wb=0;Wc=0;a=fix(M/N);q2=0; for Q=1:M+1 %刀具实际寿命的循环 b=fix(Q/N); if Qa*N %W值的第三种情况 q1=normcdf(b+1)*N,600,196.62917)-normcdf(b*N,600,196.62917); Wc=Wc+(b+1)*10+30
31、00+q1*N*200)*0.6+1500*0.02*a+200*Q*0.02; G=Q*0.98+N*q1*0.4; end if a*N=Q=M %W值的第一种情况 Wa=10*a+1000+200*M*0.02+1500*0.02*a; G=M*0.98; end end W(k)=(Wa*(1-p)+Wb*q2+Wc*q1)/G %目标函数Z的取值，（Wa*(1-p)+Wb*q2+ Wc *q1）为E(W)，G为E(G)值 T1(k)=M; T2(k)=N; k=k+1; endend z n=min(W(1:k-1) %求Z的每个零件的最小期望损失费用，z即为最小值，n为取最小值时的
32、k值。 T1(n),T2(n) %T1(n)为换刀周期，T2(n)为检查周期。100次刀具故障记录(完成的零件数)4593626245425095844337488155056124524349826407425657065936809266531644877346084281153593844527552513781474388824538862659775859755649697515628954771609402960885610292837473677358638699634555570844166061062484120447654564339280246687539790581621724531512577496468499544645764558378765666763217715310851