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1、第一节二重积分的概念与性质第1页，本讲稿共30页三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义二、二重积分的定义二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 第十章第十章 第2页，本讲稿共30页1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、引例一、引例x0z yDS曲顶柱体曲顶柱体:底底:xoy 面上的闭区域面上的闭区域 D;顶顶:S:侧面侧面:以以 D 的边界为准线的边界为准线,母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面;回顾第3页，本讲稿共30页x0z y DSS:z=f(x,y)元素法元素法元素法元素法(1)分割分割(化整为零化整为零);(2)近似近似(以平代曲
2、以平代曲):1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 i第4页，本讲稿共30页x0z yD(3)求和求和(积零为整积零为整):.i S:z=f(x,y)元素法元素法元素法元素法(1)分割分割(化整为零化整为零);(2)近似近似(以平代曲以平代曲):1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积第5页，本讲稿共30页x0z yD(4)取极限取极限令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细 i.(3)求和求和(积零为整积零为整):S:z=f(x,y)元素法元素法元素法元素法(1)分割分割(化整为零化整为零);1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积(2)近似近似(以平代曲以平代曲):第6页，本讲稿共30页x0z
3、yD.(4)取极限取极限令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细(3)求和求和(积零为整积零为整):S:z=f(x,y)元素法元素法元素法元素法(1)分割分割(化整为零化整为零);1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积(2)近似近似(以平代曲以平代曲):第7页，本讲稿共30页x0z yV.(4)取极限取极限令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细V=(3)求和求和(积零为整积零为整):S:z=f(x,y)元素法元素法元素法元素法(1)分割分割(化整为零化整为零);1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积(2)近似近似(以平代曲以平代曲):第8页，本讲稿共30页2.平面薄片的质
4、量平面薄片的质量 平面薄片平面薄片:在在 xoy 平面上占有区域平面上占有区域 D,计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M.面密度面密度:D 的面积为的面积为,则则若若非常数非常数,则用则用元素法元素法:(1)分割分割(化整为零化整为零):D:(均匀薄片均匀薄片)第9页，本讲稿共30页(2)近似近似(以不变代变以不变代变):(3)求和求和(积零为整积零为整):(4)取极限取极限:第10页，本讲稿共30页两个问题的两个问题的共性：共性：(1)解决问题的思想和步骤相同解决问题的思想和步骤相同:(2)所求量的结构式相同所求量的结构式相同:“分割分割,近似近似,求和求和,取极限取极限”.曲顶柱体体积曲顶
5、柱体体积:平面薄片的质量平面薄片的质量:乘积和的极限乘积和的极限.第11页，本讲稿共30页二、二重积分的定义二、二重积分的定义定义定义:二重积分二重积分:(1)任意分割任意分割 D:第12页，本讲稿共30页积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素说明：说明：第13页，本讲稿共30页 在直角坐标系下用平行于坐标轴的在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域直线网来划分区域 D，故二重积分可写为故二重积分可写为D D则面积元素为则面积元素为引例
6、引例1中曲顶柱体体积中曲顶柱体体积:引例引例2中平面薄板的质量中平面薄板的质量:第14页，本讲稿共30页二重积分的二重积分的几何意义几何意义:表示以表示以 f(x,y)为顶为顶以以 D 为底为底的曲顶柱体的体积的曲顶柱体的体积.第15页，本讲稿共30页表示曲顶柱体的体积的负值表示曲顶柱体的体积的负值(3)当当 f(x,y)在在 D 上有正有负时上有正有负时,二重积分表示曲顶柱体体积的代数和二重积分表示曲顶柱体体积的代数和.第16页，本讲稿共30页例例1.根据二重积分的几何意义求积分的值根据二重积分的几何意义求积分的值.解解:积分区域积分区域 被积函数被积函数-aaD上半球面上半球面,圆域圆域.
7、第17页，本讲稿共30页三、二重积分的性质三、二重积分的性质 为为D 的面积的面积,则则 2.积分区域可加性积分区域可加性.第18页，本讲稿共30页特别特别,由于由于则则4.若在若在 D 上上5.设设D 的面积为的面积为 ,则则二重积分估值不等式二重积分估值不等式第19页，本讲稿共30页解解:三角形斜边方程三角形斜边方程例例2.x+y=2x+y=1第20页，本讲稿共30页解：解：例例3.第21页，本讲稿共30页例例4.解解:第22页，本讲稿共30页6.(积分中值定理积分中值定理)证证:由性质由性质5 可知可知,由连续函数介值定理由连续函数介值定理,至少有一点至少有一点在闭区域在闭区域 D 上上
8、 为为D 的面积的面积,则至少存在一点则至少存在一点使使使使连续连续,第23页，本讲稿共30页内容小结内容小结1.二重积分的定义二重积分的定义2.二重积分的性质二重积分的性质(与定积分性质相似与定积分性质相似)第24页，本讲稿共30页被积函数被积函数相同相同,且且非负非负,思考与练习思考与练习解解:由它们的积分域范围可知由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系比较下列积分值的大小关系:第25页，本讲稿共30页2.设设 D 是第二象限的一个有界闭域是第二象限的一个有界闭域,且且 0 y 1,则则的大小顺序为的大小顺序为()提示提示:因因 0 y 1,故故故在故在D上有上有第26页，本讲
9、稿共30页作业作业P137:4(1)(4),5(2)(3).第27页，本讲稿共30页(1)分割分割(化整为零化整为零)(2)近似近似(以直代曲以直代曲)(3)作和作和(积零为整积零为整)yxoy=f(x)ab分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值f(i)元素法元素法回顾回顾:曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积第28页，本讲稿共30页(4)取极限取极限yxoy=f(x)令分法无限变细令分法无限变细.ab.f(i)(1)分割分割(化整为零化整为零)(2)近似近似(以直代曲以直代曲)(3)作和作和(积零为整积零为整).分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值元素法元素法第29页，本讲稿共30页yxoy=f(x).f(i)A=.Aab(4)取极限取极限令分法无限变细令分法无限变细(1)分割分割(化整为零化整为零)(2)近似近似(以直代曲以直代曲)(3)作和作和(积零为整积零为整).分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值元素法元素法返回第30页，本讲稿共30页