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1、第一节：二重积分的概念与性质现在学习的是第1页，共28页柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.1、引例：曲顶柱体的体积、引例：曲顶柱体的体积一、二重积分的基本概念一、二重积分的基本概念现在学习的是第2页，共28页曲顶柱体曲顶柱体（1）底是底是 x o y 面上的有界闭区域；面上的有界闭区域；（2）侧面是以侧面是以 D 的边界的边界曲线为准线而母线平行曲线为准线而母线平行于于 z 轴的柱面；轴的柱面；（3）顶是曲面顶是曲面 z=f(x,y)，现在学习的是第3页，共28页计算曲顶柱体体积的一般方法：计算曲顶柱体体积的一般方法：用若干个小
2、平顶柱体体积之和近似表示曲用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，现在学习的是第4页，共28页1：用一组曲线网将用一组曲线网将 D 任意分成任意分成 n 个小闭区域：个小闭区域：将曲顶柱体分成将曲顶柱体分成 n 个小曲顶柱体个小曲顶柱体以以表示以表示以为底的第为底的第 i 个小曲顶柱体的体积个小曲顶柱体的体积现在学习的是第5页，共28页2：近似计算近似计算3：取极限求取极限求 V 的精确值的精确值以以和和 V 的体积的体积表示表示内任意两点内任意两点间距离的最大值，称为间距离的最大值，称为的直径的直
3、径现在学习的是第6页，共28页求平面薄片的质量求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块（将薄片分割成若干小块（n），），取典型小块，将其近似看作均匀薄片，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，薄片总质量的近似值为薄片总质量的近似值为每个小块的质量近似为每个小块的质量近似为 薄片总质量的精确值为薄片总质量的精确值为现在学习的是第7页，共28页 定义：定义：设设 f(x,y)是有界闭区域是有界闭区域 D 上的有界函数：上的有界函数：（1）：）：分割分割：用一组曲线网将：用一组曲线网将 D 任意分成任意分成 n 个小区域个小区域（2）：）：作和作和：在每个小区域：在每个小区域并作和并作和（3）：）：取极限：
4、令取极限：令上任取一点上任取一点作乘积作乘积为为的直径，并记的直径，并记现在学习的是第8页，共28页如果当如果当则称此极限为则称此极限为 f(x,y)在在 D 上的二重积分，记为上的二重积分，记为时，上述和的极限存在，且与小时，上述和的极限存在，且与小区域的分法及点区域的分法及点的取法无关，的取法无关，积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面积积元元素素现在学习的是第9页，共28页（1）如果如果 f(x,y)在在 有界闭区域有界闭区域 D 上连续，则上连续，则 f(x,y
5、)在在 D 上一定可积。上一定可积。（2）如果如果 f(x,y)在在 D 上可积，则该积分与上可积，则该积分与 D 因此，在直角坐标系中，用平行于因此，在直角坐标系中，用平行于 x 轴和轴和 y 轴的轴的两组直线分割两组直线分割 D，如图所示，如图所示的分法和分点的分法和分点的取法无关，的取法无关，几点说明几点说明现在学习的是第10页，共28页（3）几何意义：当几何意义：当 f(x,y)0 时，二重积分时，二重积分表示曲顶柱体的体积；表示曲顶柱体的体积；当当 f(x,y)0 时，此时曲顶柱体位于时，此时曲顶柱体位于 x 0 y 平平面的下方，且二重积分的值也为负，故二重积分面的下方，且二重积分
6、的值也为负，故二重积分表示的是曲顶柱体体积的相反数。表示的是曲顶柱体体积的相反数。如果如果 f(x,y)在在 D 上有正有负，此时将上有正有负，此时将 x o y 面面上方的曲顶柱体体积取为正，上方的曲顶柱体体积取为正，x o y 面下方的曲面下方的曲顶柱体体积取为负，则顶柱体体积取为负，则 f(x,y)在在 D 上的二重上的二重积分即为这些曲顶柱体体积的代数和。积分即为这些曲顶柱体体积的代数和。现在学习的是第11页，共28页（3）几何意义：当几何意义：当 f(x,y)0 时，二重积分时，二重积分表示曲顶柱体的体积；表示曲顶柱体的体积；当当 f(x,y)0 时，此时曲顶柱体位于时，此时曲顶柱体
7、位于 x 0 y 平平面的下方，且二重积分的值也为负，故二重积分面的下方，且二重积分的值也为负，故二重积分表示的是曲顶柱体体积的相反数。表示的是曲顶柱体体积的相反数。（4）二重积分的物理意义：）二重积分的物理意义：平面薄片的质量平面薄片的质量现在学习的是第12页，共28页（二）二重积分的性质（二）二重积分的性质性质性质1：常数因子可以提到积分号外面，即常数因子可以提到积分号外面，即性质性质2：和或差的积分等于积分的和或差，即和或差的积分等于积分的和或差，即（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）现在学习的是第13页，共28页性质性质3：二重积分的可加性：如果积分区域二重
8、积分的可加性：如果积分区域 D 被被性质性质4：如果在区域如果在区域 D 上总有，上总有，f(x,y)1,是是 D 的面积，则的面积，则一曲线分成两部分一曲线分成两部分和和，则，则 几何意义：高为几何意义：高为 1 的平顶柱体的体积的平顶柱体的体积现在学习的是第14页，共28页性质性质5：如果在如果在 D 上总有上总有则有不等式则有不等式特殊地，由于特殊地，由于所以又有不等式所以又有不等式现在学习的是第15页，共28页解解现在学习的是第16页，共28页性质性质6：设设 M、m 分别是分别是 f(x,y)在在 D 上的最上的最大值和最小值，大值和最小值，是是 D 的面积，则的面积，则因为因为所以
9、由性质所以由性质 5 有有由性质由性质 1 有有 由性质由性质4 有有（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）现在学习的是第17页，共28页解解现在学习的是第18页，共28页解解现在学习的是第19页，共28页性质性质7：二重积分的中值定理：设二重积分的中值定理：设 f(x,y)在在 D上连续，上连续，是是 D 的面积，则在的面积，则在 D 上至少存在一点上至少存在一点(,)，使得使得因为当因为当 0 时时，由性质，由性质 6 有有由连续函数的介值定理知，在由连续函数的介值定理知，在 D 上至少存在一点上至少存在一点(,)，使得，使得现在学习的是第20页，共28页二重积分的定义二重积分的定义
10、二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）四、小结现在学习的是第21页，共28页思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，找将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处出它们的相同之处与不同之处.现在学习的是第22页，共28页 定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数被积函数为定义在平面区域上的二元函数思考题解答思考题解答现在学习的是第23页，共28页作业第九章:重积分习题习题9 1:4,5 现在学习的是第24页，共28页练练 习习 题题现在学习的是第25页，共28页现在学习的是第26页，共28页现在学习的是第27页，共28页练习题答案练习题答案现在学习的是第28页，共28页