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1、第一节二重积分的概念和性质第1页，本讲稿共30页第一节 二重积分的概念和性质三、二重积分的性质三、二重积分的性质 一、问题的提出一、问题的提出 二、二重积分的定义二、二重积分的定义 第2页，本讲稿共30页1 1 分割分割2 2 近似近似 (以直代曲以直代曲)3 3 求和求和yxoy=f(x)ab.分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积f(i).第3页，本讲稿共30页4 取极限取极限yxoy=f(x)令分法无限变细令分法无限变细.ab.分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值1 分割分割2 近似近似 (以直代曲以直代曲)3
2、 求和求和1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积.f(i)第4页，本讲稿共30页4 取极限取极限yxoy=f(x)令分法无限变细令分法无限变细.分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值1 分割分割2 近似近似 (以直代曲以直代曲)3 求和求和1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积.f(i)S=.S.ab第5页，本讲稿共30页问题：问题：如何计算曲顶柱体的体积？如何计算曲顶柱体的体积？一、问题的提出一、问题的提出1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:底：底：xoy 面上的闭区域 D顶顶:连续曲面侧面：侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面求其体积.第6页，本讲稿共30页柱
3、体体积柱体体积=底面积底面积高高特点：平顶特点：平顶.柱体体积柱体体积=？特点：曲顶特点：曲顶.问题：问题：如何计算曲顶柱体的体积？如何计算曲顶柱体的体积？“分割,近似,求和,取极限”解决问题的思路解决问题的思路:类似定积分解决问题的思想:第7页，本讲稿共30页x0z y DSS:z=f(x,y)分割分割：任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零2 近似近似：以平代曲：以平代曲.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 i第8页，本讲稿共30页x0z yDS:z=f(x,y)3 求和：求和：2 近似：近似：以平代曲以平代曲 分割分割：任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零.i.曲顶柱体的体积
4、曲顶柱体的体积第9页，本讲稿共30页x0z yDS:z=f(x,y)3 求和求和4 取极限取极限令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细 i2 近似：近似：以平代曲以平代曲 分割：分割：任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零.V=.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积第10页，本讲稿共30页x0z yV.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积S:z=f(x,y)3 求和求和4 取极限取极限令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细2 近似：近似：以平代曲以平代曲分割：分割：任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零V=第11页，本讲稿共30页求平面薄片的质量求平面薄片的
5、质量 将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，所有小块质量之所有小块质量之和近似等于薄片总质量和近似等于薄片总质量第12页，本讲稿共30页两个问题的两个问题的共性共性：(1)(1)解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2)(2)所求量的结构式相同所求量的结构式相同“分割分割,近似近似,求和求和,取极限取极限”曲顶柱体体积曲顶柱体体积:平面薄片的质量平面薄片的质量:第13页，本讲稿共30页二、二重积分的定义二、二重积分的定义.定义定义:将区域将区域 D 任意任意分成分成 n 个小区域个小区域任取一点一点若存在一个常数若存在一
6、个常数 I,使使可积可积,在在D上的上的二重积分二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域是定义在有界区域 D上的有界函数上的有界函数,第14页，本讲稿共30页0 xyD D直角坐标系下面积元素直角坐标系下面积元素图示图示第15页，本讲稿共30页引例引例1中曲顶柱体体积中曲顶柱体体积:引例引例2中平面薄板的质量中平面薄板的质量:如果如果 在在D上可积上可积,也常也常二重积分记作二重积分记作这时这时分区域分区域D,因此面积元素因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划可用平行坐标轴的直线来划 记作记作第16页，本讲稿共30页2.注解注解:(1)二重积分的存在性：二重积分的存在
7、性：若函数若函数在在D上可积上可积.在有界闭区域在有界闭区域上连续上连续,则则()二重积分几何意义二重积分几何意义：当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值第17页，本讲稿共30页三、二重积分的性质三、二重积分的性质性质性质当当 为常数时，为常数时，性质性质定积分的性质定积分的性质性质性质.性质性质第18页，本讲稿共30页性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质.若若 为为D的面积，的面积，性质性质4性质性质4第19页，本讲稿共30页性质性质若在若在D上
8、上特殊地特殊地则有则有如果在如果在 上上性质性质 特殊地特殊地第20页，本讲稿共30页性质性质性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）第21页，本讲稿共30页证证:由性质6 可知,由连续函数介值定理,至少有一点使因此性质性质第22页，本讲稿共30页解解第23页，本讲稿共30页解解第24页，本讲稿共30页解解第25页，本讲稿共30页四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的第26页，本讲稿共30页同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算第27页，本讲稿共30页例例4.求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.解解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为第28页，本讲稿共30页二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）四、小结第29页，本讲稿共30页 作业：作业：p-136习题习题10-1 2,4(2)(3),5(3)(4)第30页，本讲稿共30页