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1、第4章 随机变量的数学期望现在学习的是第1页，共84页4.1 随机变量的数学期望o分赌本问题(17世纪)o甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元.o无平局，谁先赢3局，则获全部赌注.o当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博.o问如何分赌本?现在学习的是第2页，共84页两种分法 1.按已赌局数分：则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3 2.按已赌局数和再赌下去的“期望”分：因为再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4 现在学习的是第3页，共84页 次数 30 10 60 环数 8 9 10环数 8 9 10 次数 20 50 30 甲乙 次数 0.
2、3 0.1 0.6 环数 8 9 10现在学习的是第4页，共84页数学期望的定义定义2.2.1 设离散随机变量X的分布列为P(X=xn)=pn,n=1,2,.若级数绝对收敛，则称该级数为X 的数学期望，记为现在学习的是第5页，共84页说明说明:(1)对于离散型随机变量对于离散型随机变量X,EX就是就是X的各个可能取值的各个可能取值与其对应概率的乘积之和。与其对应概率的乘积之和。(2)(2)数学期望是一个实数数学期望是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加权平均数加权平均数,与一般的平均值不同。它从本质上体现与一般的平均值不同。它从本质上体现了随机变量了随机变量 X 取可能值的取可能值的
3、真正的平均值。真正的平均值。现在学习的是第6页，共84页则E(X)=10.2+00.1+10.4+20.3=0.8.X 1 0 1 2P 0.2 0.1 0.4 0.3例例现在学习的是第7页，共84页连续随机变量的数学期望定义2.2.2 设连续随机变量X的密度函数为f(x),若积分绝对收敛，则称该积分为X 的数学期望，记为现在学习的是第8页，共84页求E().解:的概率密度为因此例例 设的分布函数为现在学习的是第9页，共84页例例：设随机变量X的概率密度为求E(X)现在学习的是第10页，共84页o数学期望简称为期望.o数学期望又称为均值.o数学期望是一种加权平均.注 意 点现在学习的是第11页
4、，共84页例例 设随机变量 X 的概率分布为=(02+2)1/2+(12+2)1/4+(22+2)1/4解:E(X2+2)=1+3/4+6/4=13/4X 0 1 2P 1/2 1/4 1/4X2+2 2 3 6P 1/2 1/4 1/4求E(X)E(2X)E(X+2)E(X2+2).现在学习的是第12页，共84页随机变量的函数的数学期望随机变量的函数的数学期望定理设 Y=g(X)是随机变量X的函数，若 E(g(X)存在，则现在学习的是第13页，共84页例设 X 求下列 X 的函数的数学期望.(1)2X1,(2)(X 2)2解:(1)E(2X 1)=(2)E(X 2)2=现在学习的是第14页，
5、共84页定理 设 Z=g(X,Y)是随机变量X,Y 的函数，若 E(Z)存在，则(1)二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为则有E(Z)=(2)二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为则有E(Z)=现在学习的是第15页，共84页012-10.10.30.1500.20.050200.10.1设Z=XY求E(Z)Z 0 0 0 -1 0 2 -2 0 4P 0.1 0.2 0 0.3 0.05 0.1 0.15 0 0.1Z 0 -1 2 -2 4P 0.35 0.3 0.1 0.15 0.1现在学习的是第16页，共84页例例:二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为求E(XY).解解:现在学习
6、的是第17页，共84页数学期望的性质(1)E(c)=c(2)E(aX)=aE(X)(5)E(g1(X)+g2(X)=E(g1(X)+E(g2(X)(3)E(X+Y)=EX+EY;(4)E(aX+bY+c)=aEX+bEY+c;E(X1+X2+Xn)=EX1+EX2+EXn;(6)若X,Y是相互独立的两个随机变量,则E(XY)=EXEY;推广到n个随机变量现在学习的是第18页，共84页E(XY)=EXEY是X,Y相互独立的必要而不充分条件.说明说明例例:二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为试验证E(XY)=EXEY,但X与Y是不独立的.证明:现在学习的是第19页，共84页同理同理所以E(XY
7、)=EXEY因为所以X与Y是不独立的.现在学习的是第20页，共84页 例例 一个仪器由两个主要部件组成,其长度为此二部件长度之和。又已知该两个部件的长度和是两个相互独立的随机变量,其分布律如下表示,求E(+)和E()。91011p 0.3 0.5 0.267p0.40.6解:E=90.3+100.5+110.2=9.9 E=60.4+70.6=6.6 E(+)=E()+E()=9.9+6.6=16.5 E()=E()E()=9.96.6=65.34 E(2)=620.4+720.6=43.8 (E)2 (?)现在学习的是第21页，共84页例例:设国际市场对我国某种出口商品的需求量是随机变量XU
8、2000,4000(吨)。每销售1吨该商品可赚取外汇3万元;若销售不出去则每吨商品需贮存费1万元。问应该组织多少货源才能使国家收益最大?解解:设应该组织设应该组织t t吨货源吨货源,t2000,4000.国家收益国家收益(万元万元)Y=g(X)Y=g(X):X X的密度函数为的密度函数为因此现在学习的是第22页，共84页当t=3500吨时平均收益最大,为8250万元。现在学习的是第23页，共84页例例:据统计一位40岁的健康者在5年内活着或者自杀死亡的概率为p(0pa).问(1)应该如何确定b,才能使保险公司获得期望收益?(2)若有m人参加保险,公司可期望从中收益多少？现在学习的是第24页，共
9、84页解:设 i表示公司从第i名参加者身上所得收益,则i是随机变量,其分布如右表示:iaa-bPp1-p总收益为=1+2+m,由E(i)=ap+(a-b)(1-p)=a-b(1-p)0有 a b 0,求E,D.解解:现在学习的是第36页，共84页例例.已知XN(,2),求EX,DX。解解:现在学习的是第37页，共84页(1)X为随机变量,c为常数,则 D(c)=c2D.方差的其他性质方差的其他性质证明:D(+)=(2)若随机变量,相互独立,则 D(+)=D+D.E(+)-E(+)2=E(-E)+(-E)2 =E(-E)2+(-E)2+2(-E)(-E)=E(-E)2+E(-E)2+2E(-E)
10、(-E)=D+D+2E(-E)(-E)E(-E)(-E)=E-E-(E)+EE =E()-EE-EE+EE=EE-EE-EE+EE=0 D(+)=D+D.现在学习的是第38页，共84页若随机变量,相互独立,则 D(-)=D+D.若随机变量 1,2,n相互独立,则D(1 2 n)=D(1)+D(2)+D(n)若随机变量,相互独立,则 D(a b+c)=a2D+b2D.D(a1 1 a2 2 an n)=a12D(1)+a22D(2)+an2D(n)现在学习的是第39页，共84页例例 若B(n,p),求E,D.解解:设表示n次贝努里试验中“成功”的次数,再设i表示第i次贝努里试验的结果,即由于由于
11、=1+2+n,则现在学习的是第40页，共84页例例 若N(,2),从而求求E,D.解:由题可知随机变量是均值为0和方差为1的随机变量。例例 若满足E=,D=20,求E,D.解解:随机变量是零均值和方差为1的随机变量。随机变量称为的标准化随机变量:现在学习的是第41页，共84页例2.3.1 设 X,求 E(X),D(X).解:(1)E(X)=1(2)E(X2)=7/6所以,D(X)=E(X2)E(X)2=7/6 1=1/6现在学习的是第42页，共84页课堂练习 设则方差 D(X)=()。1/6现在学习的是第43页，共84页常用分布的数学期望 方差 指数分布 E():E(X)=1/D(X)=1/2
12、 正态分布 N(,2):E(X)=D(X)=2 均匀分布 U(a,b):E(X)=(a+b)/2 D(X)=(b a)2/12X P():E(X)=D(X)=X B(n,p):E(X)=np D(X)=np(1-p)现在学习的是第44页，共84页随机变量的标准化 设 D(X)0,令则有 E(Y)=0,D(Y)=1.称 Y 为 X 的标准化.现在学习的是第45页，共84页正态变量的线性不变性定理 设 X N(,2)，则当a 0 时，Y=aX+b N().由此得：若 X N(,2)，则 Y=(X)/N(0,1).a+b,a22定理 设 X N(1,12)，Y N(2,22)，相互独立 X+Y N(
13、).现在学习的是第46页，共84页设 X U(0,2)，则当a 0 时，Y=aX+b U().定理 设 X N(1,12)，Y N(2,22)，相互独立 a X+bY N().现在学习的是第47页，共84页 协方差，相关系数协方差，相关系数协方差，相关系数协方差，相关系数一一一一.协方差定义与性质协方差定义与性质协方差定义与性质协方差定义与性质1.协方差定义协方差定义 若X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,则称 当COV(X,Y)=0时，称X与Y不相关。“X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？COV(X,Y)=EXE(X)YE(Y).为X与Y的协方差协方差,易见 COV(X,Y)=E(X
14、Y)E(X)E(Y).现在学习的是第48页，共84页例例:设(X,Y)在D=(X,Y)：x2+y21上服从均匀分布，求证：X与Y不相关，但不是相互独立的。E(XY)解解:E(X)E(Y)则 COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0所以 X与Y不相关现在学习的是第49页，共84页 例：设 服从 上的均匀分布，令 ，判断 与 是否相关，是否独立.解：，但很显然，与并不独立现在学习的是第50页，共84页2.协方差性质协方差性质(1)COV(X,Y)=COV(Y,X);(2)COV(X,X)=D(X);COV(X,c)=0(3)COV(aX,bY)=COV(X,Y),其中a,b为 常数；ab
15、(4)COV(X+Y，Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);(5)D(X Y)=D(X)+D(Y)2COV(X,Y).(6)当X与Y相互独立时,则cov(X,Y)=0;现在学习的是第51页，共84页例例:设随机变量XB(12,0.5),Y N(0,1),COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y 的方差方差,V与W的协方差协方差.解解:D(V)=D(4X+3Y+1)=D(4X+3Y)=D(4X)+D(3Y)+12COV(X,Y).=16 D(X)+9D(Y)+12COV(X,Y)=48+9 12=45D(W)=D(-2X+4Y)=4D(X)+16D(Y)8COV(X,Y
16、)=36COV(V,W)=-8 D(X)+12D(Y)+10COV(X,Y)=-22现在学习的是第52页，共84页二二二二.相关系数相关系数相关系数相关系数 1.1.定义定义 若X,Y的方差和协方差均存在,且DX0,DY0，则称为X与Y的相关系数相关系数.注：注：若记若记称为X的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且量纲不同现在学习的是第53页，共84页2.相关系数的性质相关系数的性质 1.设设(X,Y)服从区域服从区域D:0 x1,0yx上的均匀分布上的均匀分布,求求X与与Y的相关系数的相关系数.D1x=y解解 (2)|XY|=1存在常数a,b 使PY=aX+b=1；(3)X与Y不相关 XY
17、=0;(1)|XY|1；现在学习的是第54页，共84页D1x=y现在学习的是第55页，共84页解解:1):1)2)2)现在学习的是第56页，共84页.,XYY22),(2121)(rrr=NX则设一般一般:X与Y独立独立的必要条件是:X与Y不相关不相关。若（X，Y）服从二维正态分布，则X与Y独立独立的充分必要条件是X与Y不相关不相关(r=0)。现在学习的是第57页，共84页k 阶原点矩和中心矩阶原点矩和中心矩 k 阶原点矩阶原点矩：k=E(Xk)，k=1,2,.注意注意:1=E(X).k 阶中心矩阶中心矩：k=EXE(X)k，k=1,2,.注意注意:2=D(X).定义现在学习的是第58页，共8
18、4页5 5 大数定理与中心极限定理大数定理与中心极限定理1.在大量随机现象的平均结果是一个与个别随机现象的特征无关的结果,具有稳定性.如:频率的稳定性；2.大数定律以确定的形式表达了这种规律性,并论证了其成立的,即从理论上阐述了这种大量的、在一定条件下的、重复的随机现象呈现的规律性,揭示了在事物表象后面的本质特征。大数定律从理论上解决下面两个问题大数定律从理论上解决下面两个问题:(1)用频率近似代替概率问题P(A)=m/n;(2)用样本均值近似代替理论均值问题现在学习的是第59页，共84页切比雪夫不等式 设随机变量X的方差存在(这时均值也存在),则 对任意正数，有下面不等式成立现在学习的是第6
19、0页，共84页例例:是掷一颗骰子出现的点数,给定=1,2,计算P(|-E|),并验证切比雪夫不等式。解解:的分布律是的分布律是123456p1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6因此 E=3.5,D=35/12,P|-3.5|1=P4.5+P2.5=2/335/12=D/12;P|-3.5|2=P5.5+P1.5=1/335/48=D/22.现在学习的是第61页，共84页例例:已知正常男性成人每毫升血液中白细胞数平均是7300,均方差是700,利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞数在52009400之间的概率。解:设每毫升血液中白细胞数为,则=7300,=700,所求概率为现在学习
20、的是第62页，共84页 例例:有1000盏电灯,夜晚每盏灯开灯的概率均为0.85,各电灯开和关相互独立。估计同时开着的灯的数量在800至900之间的概率。解解:设表示同时开着的灯的数量,则B(1000,0.85),E=np=850,D=npq=1000 0.85 0.15=127.5,P(800 900)=P(|-850|0,使得则称Xn 服从大数定律.则称 依概率收敛依概率收敛于于 .可可记为记为现在学习的是第65页，共84页 几个常用的大数定律几个常用的大数定律1.切比雪夫切比雪夫大数定律大数定律 设Xk,k=1,2,.为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望，及方差20，则即若任给0,使
21、得现在学习的是第66页，共84页证明证明:由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式这里这里故故现在学习的是第67页，共84页2 2.伯努里伯努里大数定律大数定律 设进行设进行n次独立重复试验，每次试验中事件次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概发生的概率为率为p，记，记fn为为n次试验中事件次试验中事件A发生的频率，则发生的频率，则证明证明:设设第第i次试验事件次试验事件A发生发生第第i次试验事件次试验事件A不发生不发生则则由切比雪夫大数定理由切比雪夫大数定理现在学习的是第68页，共84页3.辛钦大数定律辛钦大数定律 若若Xk,k=1.2,.为独立为独立同分布同分布随机变量序列随机变量序列,EXk=
22、,k=1,2,则则推论推论:若若Xi,i=1.2,.为独立为独立同分布同分布随机变量序列随机变量序列,E(X1k)=0，则当 n 充分大时，有应用之例:正态随机数的产生；误差分析现在学习的是第72页，共84页例例 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克，标准差为10克.一箱内装200袋味精，求一箱味精的净重大于20500克的概率?解解:设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi,则Xi 独立同分布，且 E(Xi)=100，D(Xi)=100，由中心极限定理得，所求概率为：=0.0002故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002.(很小)现在学习的是第73页，共84页例例 设 X 为一
23、次射击中命中的环数，其分布列为求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.XP10 9 8 7 6 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03解:设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布，且 E(Xi)=9.62，D(Xi)=0.82，故=1-0.99979=0.00021现在学习的是第74页，共84页定理定理(棣莫弗-拉普拉斯定理)设随机变量X1,X2,Xn相互独,且都服从参数为p的两点分布,则对任意实数x,有例例 有产品的废品率为0.005,求10000件产品中废品数不大于70的概率。解解:设为10000件产品中废品数量,则B(10000,0.005),E=n
24、p=50,D=npq=49.75,现在学习的是第75页，共84页例例:200名员工参加资格证书考试.根据经验可知考试通过率为0.8.试计算至少有150人通过考试的概率。解:设Xi表示第i个人的考试结果,即且EXi=0.8,DXi=0.80.2=0.16,为考试通过人数,则EY=160,DY=32,现在学习的是第76页，共84页例例 某矿区为10000名井下工人进行人身保险,规定每人每年初交保费20元。若一年内工人死亡,则保险公司向其家属赔偿2000元。由历史资料知该矿井下工人的死亡率为0.0036,计算在一年内:(1)井下工人死亡人数不超过30人的概率;(2)保险公司获利不小于8.6万元的概率
25、;(3)保险公司获利大于10万元的概率;(4)保险公司获利大于15万元的概率。现在学习的是第77页，共84页解:设为一年内井下工人死亡人数,则 B(10000,0.0036).因此 E=np=36,D=npq=35.8704.(1)井下工人死亡人数不超过30的概率(2)获利不小于8.6万元的概率,则即 57,现在学习的是第78页，共84页(3)保险公司获利大于10万元,则即50,(4)保险公司获利大于15万元,则即25,现在学习的是第79页，共84页 1.某电子设备厂所用的晶体管由甲乙丙三家元件制造厂提供。已知甲乙丙三厂的次品率分别为0.02，0.01，0.03，又知三个厂提供晶体管的份额分别
26、为0.15，0.80，0.05，设三个厂的产品是同规格的（无区别标志），且均匀的混合在一起。求在混合的晶体管中随机的取一支是次品的概率。现在学习的是第80页，共84页2.设离散型随机变量的分布律为:-2-1013试求现在学习的是第81页，共84页3.设随机向量的联合分布律为-1 0 10 1/4 1/6 01 1/6 1/6 1/4 试求的概率分布律.试求的边缘分布律现在学习的是第82页，共84页4.设连续型随机变量的密度为:(1)确定常数K (2)求 (3)求分布函数F(x).(4)求数学期望E(x),方差D(x).且5.设求P-2x4，现在学习的是第83页，共84页6设二维随机变量X,Y的密度函数：（1）求常数A A的值；的值；（2 2）求边缘概率密度；）求边缘概率密度；（3）X X和和Y是否独立?现在学习的是第84页，共84页