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1、第4章随机变量与数学期望 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望内容提要内容提要4.1 随机变量4.2 随机变量的类型4.3 随机变量的联合分布4.4 数学期望4.5 期望的性质4.6 方差 4.7 协方差和相关系数4.8 矩母函数4.9 切比雪夫不等式和大数定律4.1 随机变量随机变量l随机变量随机变量X：定义于样本空间S上的函数。随机变量的取值具有随机性，我们对它的取值及对应的概率感兴趣。4.1 随机变量随机变量x23456789101112P(X=x
2、)1/36 2/36 3/36 4/365/366/365/364/363/362/361/36l例4.1.1令随机变量X表示两颗相同骰子的点数之和.则4.1 随机变量随机变量l随机变量的分布函数分布函数F(x)：定义于实数域R上的函数l性质：分布函数F(x)单调上升，且4.1 随机变量随机变量l例4.1.3 假设随机变量X有如下的分布函数求X大于1的概率。4.2 随机变量的类型随机变量的类型l离散型随机变量离散型随机变量：取值集合有限或者是一个数列xi,i=1,2,。l概率质量函数概率质量函数l性质：4.2 随机变量的类型随机变量的类型l例4.2.1 已知随机变量X的概率质量函数满足求常数c
3、的值，并求X的分布函数。x123p(x)1/21/3c4.2 随机变量的类型随机变量的类型4.2 随机变量的类型随机变量的类型l连续型随机变量连续型随机变量：随机变量的可能的取值是一个区间。l概率密度函数概率密度函数f(x)：对任意一个实数集B有l性质1：l性质2：设连续型随机变量X的分布函数F(x)连续且4.2 随机变量的类型随机变量的类型l性质3l注意：连续性随机变量单点概率为0 密度f(x)不是概率，可以大于1.4.2 随机变量的类型随机变量的类型l例4.2.2设X为一连续型随机变量,其概率密度函数为试求C的值以及PX1。习题习题lP86 ex1,ex4,ex84.3 随机变量的联合分布
4、随机变量的联合分布l随机变量X和Y的联合分布函数l性质：l与X，Y各自的分布函数FX(x)及FY(y)的关系4.3 随机变量的联合分布随机变量的联合分布l二维离散型随机变量：联合概率质量函数l性质l与X，Y各自的概率质量函数的关系4.3 随机变量的联合分布随机变量的联合分布l例4.3.1 假设有3个电池是从一组3个新电池，4个旧电池，和5个坏电池中随机选择的。如果用X和Y来分别表示被选中的新电池的个数和旧电池的个数，求X和Y的联合概率质量函数。4.3 随机变量的联合分布随机变量的联合分布4.3 随机变量的联合分布随机变量的联合分布l二维连续型随机变量：联合概率密度函数f(x,y),对二维实平面
5、里的任意集合C有l性质1 l性质24.3 随机变量的联合分布随机变量的联合分布l与X，Y各自的概率密度函数（边缘密度函数）的关系4.3 随机变量的联合分布随机变量的联合分布l例4.3.3 X和Y的概率密度函数为l计算(a)PX1,Y1；(b)PXY；(c)PX0,相关系数为1;当b0，l命题4.9.2(切比雪夫不等式切比雪夫不等式)假设X为期望为，方差为2，则对于任意k0,4.9 切比雪夫不等式和大数定律切比雪夫不等式和大数定律l切比雪夫不等式变形切比雪夫不等式变形：l比较：比较：样本切比雪夫不等式样本切比雪夫不等式：设则对任意k 0,其中|Sk|表示Sk中元素个数。4.9 切比雪夫不等式和大
6、数定律切比雪夫不等式和大数定律l例4.9.1 假设工厂一周生产产品的数量是一个随机变量，且其期望为50。估计一周产量超过75的概率。如果某周产量的方差为25，估计这周产量在40和60之间的概率。4.9 切比雪夫不等式和大数定律切比雪夫不等式和大数定律l问题：若从均值为的总体中取n个样本(n充分大)，那么样本均值 与总体均值有什么关系？l定理4.9.1(弱大数定律弱大数定律)令X1,X2,为一列独立同分布的随机变量，且其期望为EXi=，方差有限。则对于任意0，l说明：样本均值可用于估计总体均值。4.9 切比雪夫不等式和大数定律切比雪夫不等式和大数定律l实际问题：彩票中奖率30%，那么买50张彩票，猜猜有多少张中奖？l推论(概率的频率意义概率的频率意义)：设在n次独立重复实验中，事件A发生了nA次，那么对于任意0，l说明：频率可用于估计概率。习题习题lP92 ex53，ex55,ex56