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1、第第4章随机章随机变量的数量的数字特征字特征1数学期望数学期望1现在学习的是第1页，共29页问题的提出：问题的提出：在一些实际问题中，我们需要了解随机变量在一些实际问题中，我们需要了解随机变量的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。例：例：在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量；是平均产量；在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的 偏离程度；偏离程度；考察临沂市区居民的家庭收入
2、情况，我们既知考察临沂市区居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异 程度；程度；现在学习的是第2页，共29页1 1 数学期望数学期望 例例1 1：甲、乙两人射击比赛，各射击：甲、乙两人射击比赛，各射击100100次，其中甲、乙的成绩次，其中甲、乙的成绩 如下：如下：评定他们的成绩好坏。评定他们的成绩好坏。甲次数1080108910乙次数2065158910 解：计算甲的平均成绩：解：计算甲的平均成绩：计算乙的平均成绩：计算乙的平均成绩：所以甲的成绩好于乙的成绩。所以甲的成绩好于乙的成绩。现在学习的是第3页，共29页定义：定义
3、：数学期望简称期望，又称均值。数学期望简称期望，又称均值。现在学习的是第4页，共29页 例例2 2：有：有2 2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命个相互独立工作的电子装置，它们的寿命服从同一指数分布，其概率密度为：服从同一指数分布，其概率密度为：若将这若将这2 2个电子装置串联联接个电子装置串联联接组成整机，求整机寿命组成整机，求整机寿命N(N(以小时计以小时计)的数学期望。的数学期望。解：解：是指数分布的密度函数问题：将问题：将2个电子装置并联联接组成整机，个电子装置并联联接组成整机，整机的平均寿命又该如何计算？整机的平均寿命又该如何计算？根据根据N N的概率密度的概率密度fmin(x),
4、),可得到可得到E(N).E(N).现在学习的是第5页，共29页 例例3 3：设有设有1010个同种电子元件，其中个同种电子元件，其中2 2个废品。装配仪器个废品。装配仪器 时，从这时，从这1010个中任取个中任取1 1个，若是废品，扔掉后重取个，若是废品，扔掉后重取 1 1只，求在取到正品之前已取出的废品数只，求在取到正品之前已取出的废品数X X的期望。的期望。解：解：X的分布律为：的分布律为：现在学习的是第6页，共29页 例例4 4：设一台机器一天内发生故障的概率为：设一台机器一天内发生故障的概率为0.20.2，机器发生，机器发生 故障时全天停工。若一周故障时全天停工。若一周5 5个工作日
5、里无故障，可获个工作日里无故障，可获 利利1010万元；发生一次故障获利万元；发生一次故障获利5 5万元；发生万元；发生2 2次故障次故障 获利获利0 0元，发生元，发生3 3次或以上故障亏损次或以上故障亏损2 2万元，求一周内万元，求一周内 期望利润是多少？期望利润是多少？解：设解：设X X表示一周表示一周5 5天内机器发生故障天数，天内机器发生故障天数，设设Y Y表示一周内所获利润，则表示一周内所获利润，则现在学习的是第7页，共29页 例例5 5：现在学习的是第8页，共29页例例6 6：现在学习的是第9页，共29页几种重要分布的数学期望几种重要分布的数学期望10现在学习的是第10页，共29
6、页 现在学习的是第11页，共29页 现在学习的是第12页，共29页 例例7 7：已知某零件的横截面是个圆，对横截面的直径已知某零件的横截面是个圆，对横截面的直径X X进进 行测量，其值在区间（行测量，其值在区间（1 1，2 2）上均匀分布，求横截）上均匀分布，求横截 面面积面面积S S的数学期望。的数学期望。现在学习的是第13页，共29页 例8：现在学习的是第14页，共29页 例例9 9：设随机变量：设随机变量(X,Y)(X,Y)的概率密度为：的概率密度为：X=1现在学习的是第15页，共29页 现在学习的是第16页，共29页数学期望的特性：这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况现在
7、学习的是第17页，共29页证明：下面仅对连续型随机变量给予证明：现在学习的是第18页，共29页19现在学习的是第19页，共29页20现在学习的是第20页，共29页 例例1111：一民航送客车载有一民航送客车载有2020位旅客自机场出发，旅客有位旅客自机场出发，旅客有1010 个个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就 不停车，以不停车，以X X表示停车的次数，求表示停车的次数，求 (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅 客是否下车相互独立客是否下车相互独立)本题是将本题是将X X分解成数个随机变量
8、之和，然后利用随机变量分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望，这种处理方法具有一定的普遍意义。望，这种处理方法具有一定的普遍意义。解：引入随机变量：现在学习的是第21页，共29页 例12：现在学习的是第22页，共29页总结数学期望的计算方法总结数学期望的计算方法数学期望的定数学期望的定义数学期望的性数学期望的性质随机随机变量函数的数学期望量函数的数学期望例例11的方法：的方法：“X分解成数个随机分解成数个随机变量之量之和，和，利用利用E(X)=E(X1+X2+Xn)=E(X1)+E(X2)+E(Xn)”根据根据题型，以上方法可能独立使用，也型，以上方法可能独立使用，也可能可能结合使用。合使用。23现在学习的是第23页，共29页定义：定义：数学期望简称期望，又称均值。数学期望简称期望，又称均值。24现在学习的是第24页，共29页 25现在学习的是第25页，共29页 26现在学习的是第26页，共29页几种重要分布的数学期望几种重要分布的数学期望27现在学习的是第27页，共29页数学期望的特性：这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况28现在学习的是第28页，共29页作业：作业：P114第第5、8题题29现在学习的是第29页，共29页