离散傅立叶变换.ppt

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1、离散傅立叶变换离散傅立叶变换3.1四种不同傅里叶变换对四种不同傅里叶变换对傅里叶级数傅里叶级数(FS)：连续时间,离散频率的傅里叶变换。连续傅里叶变换连续傅里叶变换(FT)：连续时间,连续频率的傅里叶 变换。序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换(DTFT):离散时间,连续频率的傅里叶变换.离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT):离散时间,离散频率的傅里叶 变换1.连连 续续 傅傅 里里 叶叶 变变 换换(FT)l非周期连续时间信号通过连续付里叶变换(FT)得到非周期连续频谱密度函数。例子例子l这以下变换对可以看出时域 连 续 函 数 造成频域是非周期的谱,而是时域的非周期造成频域是连续的谱.2.傅

2、傅 里里 叶叶 级级 数数(FS)l周期连续时间信号 非周期离散频谱密度函数。l 周期为Tp的周期性连续时间函数 x(t)可展成傅里叶级数X(jk0),是离散非周期性频谱,表 示为:FS例子例子l通过以下 变 换 对 可 以 看 出 时 域 的 连 续 函 数 造 成 频 域 是 非 周 期 的 频 谱 函 数,而 频 域 的 离 散 频 谱 就 与 时 域 的 周 期 时 间 函 数 对 应.(频域采样，时域周期延 拓)3.序序 列列 的的 傅傅 里里 叶叶 变变 换换(DTFT)l非周期离散的时间信号(经过单位园上的Z变换(DTFT)得到周期性连续的频率函数。这里的是数字频率,它和模拟角频

3、率的关系为:=T。l如果把序列看成模拟信号的抽样，抽样时间间隔为T,抽样频率为fs=1/T,s=2/T,代入x(n)=x(nT)，=T，则这一变换对可写成 l同样可看出,时域的离散造成频率的周期延拓,而时域的非周期对应于频率的连续。4.离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)l上面讨论的三种傅里叶变换对,都不适用在计算机上运算,因为至少在一个域(时 域 或 频 域)中,函 数 是 连 续 的.因为从数字计算角度,我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况,这就是我们这里要谈到的离散傅里叶变换.l周期性离散时间信号从上可以推断：周期性时间信号周期性时间信号可以产生频谱是离散频谱是离散的的离散时间信号离

4、散时间信号可以产生频谱是周期性频谱是周期性的。得出其频谱为周期性离散的。也即我们所希望的。DFT的变换的变换l总之，一个域的离散必然造成另一个域的周期延拓。时间函数 频率函数 连续和非周期 非周期和连续 连续和周期 非周期和离散 离散和非周期 周期和连续 离散和周期 周期和离散 四种付里叶变换形式的归纳四种付里叶变换形式的归纳可以得出一般的规律：一个域的离散对应另一个域的周期延个域的离散对应另一个域的周期延拓，拓，一个域的连续必定对应另一个域的非周期一个域的连续必定对应另一个域的非周期。表对这四种傅里叶变换形式的特点作了简要归纳。3.3 离散傅里叶级数离散傅里叶级数(DFS)及性质及性质1.周

5、期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数若离散时间序列若离散时间序列x(n)为周期序列，则一定满足：为周期序列，则一定满足：x(n)=x(n+rN)其中其中N（正整数（正整数)为信号的周期，为信号的周期，r为任意整数。为了和非为任意整数。为了和非周期序列区分，周期序列记作：周期序列区分，周期序列记作：因为周期序列不是绝对可和，因此周期序列不能用傅因为周期序列不是绝对可和，因此周期序列不能用傅里叶变换来表示，但是周期序列可以用傅里叶级数里叶变换来表示，但是周期序列可以用傅里叶级数(DFS)来表示，傅里叶级数来表示，傅里叶级数(DFS)定义为：定义为：其中其中 为周期序列傅里叶级数的系数，其

6、大小为为周期序列傅里叶级数的系数，其大小为为了书写方便，常令符号为了书写方便，常令符号这样周期序列的傅里叶变换对可以写为：这样周期序列的傅里叶变换对可以写为：正变换：正变换：反变换：反变换：例例 3-4 设设 ，将，将 以以N=10为周期作周期延拓，为周期作周期延拓，得到周期信号得到周期信号 ，求，求 的的DFS。解：解：3.4 周期序列的傅里叶级数的性质周期序列的傅里叶级数的性质(2)(2)移位移位 (3)调制特性调制特性设设 是周期为是周期为N的周期序列，则的周期序列，则(4)周期卷积和周期卷积和若若则有：则有：记作：记作：证证 代入 得 将变量进行简单换元，即可得等价的表示式 周期卷积亦

7、是一个卷积公式，但是它与非周期序列的线性卷积不同。首先，和（或 和 都是变量m的周期序列，周期为N，故乘积也是周期为N的周期序列;其次，求和只在一个周期上进行，即m=0到N1，所以称为周期卷积。周期卷积的过程可以用图67来说明，这是一个N=7 的周期卷积。每一个周期里 有一个宽度为4的矩形脉冲，有一个宽度为3的矩形脉冲，图中画出了对应于n=0,1,2 时的 。周期卷积过程中一个周期的某一序列值移出计算区间时，相邻的同一位置的序列值就移入计算区间。运算在m=0到N1区间内进行，即在一个周期内将 与 逐点相乘后求和，先计算出n=0,1,N1的结果，然后将所得结果周期延拓，就得到所求的整个周期序列

8、。图 67 两个周期序列（N=7）的周期卷积 图 67 两个周期序列（N=7）的周期卷积 图 67 两个周期序列（N=7）的周期卷积 例例3-5 两个周期序列两个周期序列N=6序列序列 和和 如图如图(a),(b)所示，求所示，求他们的卷积和他们的卷积和 。解解:N012N1 NmN012N1 NmN012N1 NmN012N1 Nm(a)(b)N012N1 NmN012N1 NmN012N1 NmN012N1 Nn5.5.周期序列相乘周期序列相乘如果如果则则3.5 有限长序列的离散傅里叶变换有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)3.5.1离散傅里叶变换离散傅里叶变换的定义的定义1.有限长序列与

9、周期序列的性质有限长序列与周期序列的性质设设x(n)为有限长序列，长度为为有限长序列，长度为N，即，即x(n)只在只在n=0,1,N-1有有值，其他值时，值，其他值时，x(n)=0。因此，可以把。因此，可以把x(n)看作周期为看作周期为N的的周期序列周期序列 的一个周期，即的一个周期，即也可利用矩形序列表示成为也可利用矩形序列表示成为把把 看作有限长序列看作有限长序列x(n)以以N为周期的周期延拓，表示为为周期的周期延拓，表示为通常我们把通常我们把 的第一个周期的第一个周期n=0,1,N-1定义为主值区间，定义为主值区间，称称x(n)为为 的主值序列。的主值序列。为了书写方便，将上式简写为为了

10、书写方便，将上式简写为其中，其中，表示数学上表示数学上“n对对N取余数取余数”，或称为，或称为“n对对N取模取模值。值。例如：例如：是周期为是周期为N=8的序列，则有的序列，则有有限长序列的傅里叶变换的定义：有限长序列的傅里叶变换的定义：2.有限长序列的离散傅里叶变换有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)正变换：正变换：反变换：反变换：例例3-6 已知已知 ，求，求x(n)的的8点点DFT和和16点点DFT解：解：N=8时时当当N=16时时例例3-7 已知已知 ，求，求 的的N点点DFT。解：解：3.5.3 DFT与与DTFT及及Z变换之间关系变换之间关系l若x(n)是一个有限长序列，长度为N，

11、对x(n)进行Z变换 比较Z变换与DFT，我们看到，当z=WkN时 即 表明：是Z平面单位圆上幅角为 的点，也即将Z平面单位圆N等分后的第k点，所以X(k)也就是对X(z)在Z平面单位圆上N点等间隔采样值。l此外，由于傅里叶变换X(ej)即是单位圆上的Z变换，DFT与序列傅里叶变换的关系为 l上式说明X(k)也可以看作DTFT的傅里叶变换X(ej)在区间0,2上的N点等间隔采样，其采样间隔为N=2/N，这就是DFT的物理意义。图 DFT与DTFT、Z变换的关系 3.6 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质1 线性线性如果序列如果序列 和和 长度都为长度都为N，且，且则有：则有：l注意以下两

12、点：（1）如果x1(n)和x2(n)长度皆为N即在0nN1范围有值,则 的长度也是N；（2）若x1(n)和x2(n)的长度不等,设x1(n)长度为N1，而x2(n)的长度为N2，则的长度应为N=max(N1,N2)，故DFT必须按长度N计算。例如，若N1 N2，则取N=N2,那么需将x1(n)补上N2N1个零值点后变成长度为N2序列，然后都作N2点的DFT。2 序列的圆周移位性序列的圆周移位性若设若设 是是 的圆周移位，即的圆周移位，即则则 1.圆周移位的定义圆周移位的定义 一个长度为N的有限长序列x(n)的圆周移位定义为 y(n)=x(n+m)NRN(n)我们可以这样来理解上式所表达的圆周移

13、位的含义。首先，将x(n)以N为周期进行周期延拓得到周期序列 ;再将 加以移位：然后，再对移位的周期序列 取主值区间（n=0 到N1）上的序列值，即x(n+m)NRN(n)。所以，一个有限长序列x(n)的圆周移位序列y(n)仍然是一个长度为N的有限长序列，这一过程可用图39（a）、（b）、（c）、（d）来表达。从图上可以看出，由于是周期序列的移位，当我们只观察 0nN1 这一主值区间时，某一采样从该区间的一端移出时，与其相同值的采样又从该区间的另一端循环移进。因而，可以想象x(n)是排列在一个N等分的圆周上，序列x(n)的圆周移位，就相当于x(n)在此圆周上旋转，如图39（e）、（f）、(g)

14、所示，因而称为圆周移位。若将x(n)向左圆周移位时，此圆是顺时针旋转;将x(n)向右圆周移位时，此圆是逆时针旋转。此外，如果围绕圆周观察几圈，那么看到的就是周期序列 。图 39 圆周移位过程示意图 时域圆周移位定理时域圆周移位定理设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)圆周移位，即 则圆周移位后的DFT为 l证明证明 利用周期序列的移位性质加以证明 再利用DFS和DFT关系频域圆周移位定理频域圆周移位定理l对于频域有限长序列X(k)，也可看成是分布在一个N等分的圆周上，所以对于X(k)的圆周移位，利用频域与时域的对偶关系，可以证明以下性质：若 则 (4.4.16)3.共轭对称性共轭

15、对称性设设 为为 的共轭复序列，则的共轭复序列，则有限长序列长度为有限长序列长度为N N，则它的圆周共轭对称分量，则它的圆周共轭对称分量 和和圆周共轭反对称分量圆周共轭反对称分量 分别定义为：分别定义为：任何有限长序列任何有限长序列x(n)都可以表示成圆周共轭对称分量都可以表示成圆周共轭对称分量 和和圆周共轭反对称分量圆周共轭反对称分量 之和，即之和，即则有：则有：若若x(n)实序列，实序列，两边进行离散傅里叶变换则有两边进行离散傅里叶变换则有若若x(n)是纯虚序列，则显然是纯虚序列，则显然X(k)只有圆周共轭分量，只有圆周共轭分量，即满足即满足5 帕塞瓦尔帕塞瓦尔(Parseval)定理定理

16、五、时域循环卷积五、时域循环卷积l 设x1(n)和x2(n)都是点数为N的有限长序列（0nN1），且有：若 则 l证明证明 这个卷积相当于周期序列 和作周期卷积后再取其主值序列。先将Y(k)周期延拓，即 根据DFS的周期卷积公式 由于0mN1 为主值区间，因此 将 式经过简单换元，即可证明 l圆周卷积过程中，求和变量为m,n为参变量。先将x2(m)周期化，形成x2(m)N，再反转形成x2(m)N，取主值序列则得到x2(m)NRN(m)，通常称之为x2(m)的圆周反转。对x2(m)的圆周反转序列圆周右移n，形成x2(n-m)NRN(m)，当n=0,1,2,N1时，分别将x1(m)与x2(n-m)

17、NRN(m)相乘，并在m=0 到N1 区间内求和，便得到圆周卷积y(n)。这一计算过程分5步：(1)周期延拓；(2)折叠；(3)移位和取主值；(4)相乘；(5)相加l在图3.6.1(a)中，x1(n)的N个值按顺时针方向均匀分布在内圆周上，x2(n)的N个值按反时针方向均匀分布在外圆周上，把内外圆周上对应的数值两两相乘，然后把乘积相加就得到y(0)。若将外圆周顺时针方向转动一格(如图3.6.1(b)所示)，将内外圆周上对应的数值两两相乘并把乘积相加，便得到y(1)。依次类推，可以得出y(n)的其它值。因此循环卷积也叫做圆卷积。l图 3.6.1 圆周卷积的圆形示意图 l上述计算过程可写成矩阵形式

18、，一般，对两个N点序列的循环卷积，其矩阵形式是l式中矩阵X1称为循环矩阵，由第一行开始，依次向右移动一个元素，以出去的元素在下一行的最左边出现，即每一行都是由x1(0),x1(N1),x1(1)这N个元素依此法则生成的，故X1称为循环矩阵，因此相对应的卷积称为循环卷积。频域圆周卷积和定理频域圆周卷积和定理如果如果则有：则有：时域圆周卷积在频域上相当于两序列的DFT的乘积，而计算DFT可以采用它的快速算法快速傅里叶变换（FFT），因此圆周卷积与线性卷积相比，计算速度可以大大加快。但是实际问题大多总是要求解线性卷积。例如，信号通过线性时不变系统，其输出就是输入信号与系统的单位脉冲响应的线性卷积，如

19、果信号以及系统的单位脉冲响应都是有限长序列，那么是否能用圆周卷积运算来代替线性卷积运算而不失真呢？下面就来讨论这个问题。设x1(n)是N1点的有限长序列（0nN11），x2(n)是N2点的有限长序列（0nN21）。六、有限长序列的线性卷积与圆周卷积六、有限长序列的线性卷积与圆周卷积（1）先看它们的线性卷积 x1(m)的非零区间为 0mN11 x2(n-m)的非零区间为 0n-mN21 将两个不等式相加，得到 0nN1+N22 在上述区间外，不是x1(m)=0就是x2(n-m)=0，因而y1(n)=0。所以y1(n)是N1+N21 点有限长序列，即线性卷积的长度等于参与卷积的两序列的长度之和减1

20、。例如，图3.6.2 中，x1(n)为N1=4 的矩形序列（图3.6.2（a），x2(n)为N2=5 的矩形序列（图216（b），则它们的线性卷积y1(n)为N=N1+N21=8 点的有限长序列（图 3.6.2（c）。先假设进行L点的圆周卷积，再讨论L取何值时，圆周卷积才能代表线性卷积。设y(n)=x1(n)x2(n)是两序列的L点圆周卷积，LmaxN1,N2，这就要将x1(n)与x2(n)都看成是L点的序列。在这L个序列值中，x1(n)只有前N1个是非零值，后L-N1个均为补充的零值。同样，x2(n)只有前N2个是非零值，后L-N2个均为补充的零值。则 LL（397）（2）我们再来看x1(n

21、)与x2(n)的圆周卷积。为了分析其圆周卷积，我们先将序列x1(n)与x2(n)以L为周期进行周期延拓 它们的周期卷积序列为（398）前面已经分析了y1(n)具有N1+N21个非零值。因此可以看到，如果周期卷积的周期LN1+N21，那么y1(n)的周期延拓就必然有一部分非零序列值要交叠起来，从而出现混叠现象。只有在LN1+N21 时，才没有交叠现象。这时,在y1(n)的周期延拓 中，每一个周期L内，前N1+N21个序列值正好是y1(n)的全部非零序列值，而剩下的L(N1+N21)个点上的序列值则是补充的零值。L因此 圆周卷积正是周期卷积取主值序列 所以要使圆周卷积等于线性卷积而不产生混叠的必要

22、条件为（399）满足此条件后就有 即 x1(n)x2(n)=x1(n)*x2(n)L 图3.6.2（d）、（e）、（f）正反映了（246）式的圆周卷积与线性卷积的关系。在图3.6.2（d）中，L=6小于N1+N21=8，这时产生混叠现象，其圆周卷积不等于线性卷积；而在图3.6.2（e）、（f）中,L=8和L=10，这时圆周卷积结果与线性卷积相同，所得y(n)的前8点序列值正好代表线性卷积结果。所以只要LN1+N21，圆周卷积结果就能完全代表线性卷积。图3.6.2 线性卷积与圆周卷积x1(n)n1N1=41230 x2(n)n112340N2=5y1(n)N1+N2 1=8n123405 678

23、9 1011234(a)(b)(c)图3.6.2 线性卷积与圆周卷积例例 一个有限长序列为（1）计算序列x(n)的10点离散傅里叶变换。（2）若序列y(n)的DFT为 式中，X(k)是x(n)的10点离散傅里叶变换，求序列y(n)。（3）若10点序列y(n)的10点离散傅里叶变换是 式中,X(k)是序列x(n)的10点DFT，W(k)是序列w(n)的10点DFT 0n6 其他 求序列y(n)。（1）由DFT计算公式可求得x(n)的10点DFT （2）X(k)乘以一个WNkm形式的复指数相当于是x(n)圆周移位m点。本题中m=2,x(n)向左圆周移位了2点，就有 y(n)=x(n+2)10R10

24、(n)=2(n3)+(n8)解解 （3）X(k)乘以W(k)相当于x(n)与w(n)的圆周卷积。为了进行圆周卷积，可以先计算线性卷积再将结果周期延拓并取主值序列。x(n)与w(n)的线性卷积为z(n)=x(n)*w(n)=1,1,1,1,1,3,3,2,2,2,2,2圆周卷积为 在 0n9 求和中，仅有序列z(n)和z(n+10)有非零值，用表列出z(n)和z(n+10)的值，对n=0,1,2,9求和，得到：n0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11Z(n)z(n+10)1 1 1 1 1 3 3 2 2 22 2 0 0 0 0 0 0 0 02 230 0y(n)3 3 1 1 1

25、 3 3 2 2 2_ _所以10点圆周卷积为 y(n)=3,3,1,1，1,3,3,2,2,2 3.7 频域采样理论频域采样理论 首先，考虑一个任意的绝对可和的非周期序列x(n)，它的Z变换为 由于绝对可和，所以其傅里叶变换存在且连续，故Z变换收敛域包括单位圆。如果我们对X(z)在单位圆上进行N点等距采样：（3101）问题在于，这样采样以后是否仍能不失真地恢复出原序列x(n)。也就是说，频率采样后从X(k)的反变换中所获得的有限长序列，即xN(n)=IDFTX(k)，能不能代表原序列x(n)？为此，我们先来分析X(k)的周期延拓序列 的离散傅里叶级数的反变换，令其为 。将式（3101）代入此

26、式，可得 由于 m=n+rN,r为任意整数 其他m 所以（3102）这说明由 得到的周期序列 是原非周期序列x(n)的周期延拓，其时域周期为频域采样点数N。在第1章中已经知道，时域采样造成频域的周期延拓，这里又看到一个对称的特性，即频域采样同样会造成时域的周期延拓。（1）如果x(n)是有限长序列，点数为M，则当频域采样不够密，即当NM时，x(n)以N为周期进行延拓，就会造成混叠。这时，从 就不能不失真地恢复出原信号x(n)来。因此，对于M点的有限长序列x(n)0nM1 其他n 频域采样不失真的条件是频域采样点数N要大于或等于时域采样点数M(时域序列长度)，即满足 NM（3103）此时可得到 N

27、M（3104）也就是说，点数为N（或小于N）的有限长序列，可以利用它的Z变换在单位圆上的N个等间隔点上的采样值精确地表示。（2）如果x(n)不是有限长序列（即无限长序列），则时域周期延拓后，必然造成混叠现象，因而一定会产生误差;当n增加时信号衰减得越快，或频域采样越密（即采样点数N越大），则误差越小，即xN(n)越接近x(n)。既然N个频域采样X(k)能不失真地代表N点有限长序列x(n)，那么这N个采样值X(k)也一定能够完全地表达整个X(z)及频率响应X(ej)。讨论如下：由于 将它代入X(z)式子中，得到 由于WN-Nk=1，因此 这就是用N个频率采样X(k)来表示X(z)的内插公式。它可

28、以表示为（3105）（3106）式中（3107）称为内插函数。令其分子为零，得 r=0,1,k,N1 即内插函数在单位圆的N等分点上（也即采样点上）有N个零点。而分母为零，则有z=WN-k=的一个极点，它将和第k个零点相抵消。因而，插值函数k(z)只在本身采样点r=k处不为零，在其他（N1）个采样点r上（r=0,1,N1，但rk）都是零点（有（N-1）个零点）。而它在z=0 处还有（N1）阶极点，如图314所示。图 314 内插函数的零极点 现在来讨论频率响应，即求单位圆上z=ej的Z变换。由式（269）可得 而（3108）可将k(ej)表示成更为方便的形式:式中：（3109）（3110）这样

29、式（3108）又可改写为（3111）图 315 内插函数幅度特性与相位特性(N=5)当变量=0 时，()=1，当 （i=1,2,N1)时，()=0。因而可知，满足以下关系：（276）k=0,1,N1 请注意，一般来说，这里的X(ej)和X(k)都是复数。也就是说，函数 在本采样点 ，而在其他采样点 上，函 数 。整个X(ej)就是由N个 函数分别乘上X(k)后求和。所以很明显，在每个采样点上X(ej)就精确地等于X(k)（因为其他点的插值函数在这一点上的值为零，没有影响）即 各采样点之间的X(ej)值由各采样点的加权插值函数在所求点上的值的叠加得到的。在以后章节中，我们将会看到，频率采样理论为

30、FIR滤波器的结构设计，以及FIR滤波器传递函数的逼近提供了又一个有力的工具。例311 设序列 的长度为M=8，其大小为 。现对 的序列傅里叶变换 在一个周期内作6点均匀抽样，得 ，试研究 的逆变换 与原来序列 的关系。解：根据题意和频率抽样理论，和原序列 的关系满足：由于频率抽样点数小于序列长度，即NM，因此，将原来8点的序列 延拓成周期N=6的周期序列，必然会发生时域的混叠。混叠的方式是上一周期的后两点和本周期的前两点相加，即所以，所以，.8,7,6,5,4,3,2,18,7,6,5,4,3,2,18,7,6,5,4,3,2,18,7,6,5,4,3,2,1.(1)混叠现象。在已知信号的最

31、高频率fh(即谱分析范围时)，为了避免在DFT运算中发生频率混叠现象，要求采样速率fs满足下式 fs2fh按照(3.4.5)式，谱分辨率F0=fs/N，如果保持采样点数N不变，要提高谱的分辨率(F0减小)，必须降低采样速率，采样速率的降低会引起谱分析范围减少(fh减小)。3.8 与与DFT有关的几个问题有关的几个问题如维持fs不变，为提高分辨率可以增加采样点数N，因为NT=T0，T=1/fs，只有增加对信号的观察时间T0，才能增加N。T0和N可以按照下式进行选择:l 例 3.4.1 对实信号进行谱分析，要求谱分辨率F010 Hz，信号最高频率fc=2.5 kHz，试确定最小记录时间TPmin，

32、最大的采样间隔Tmax，最少的采样点数Nmin。如果fc不变，要求谱分辨率增加一倍，最少的采样点数和最小的记录时间是多少?l 解：因此TPmin=0.1 s，因为要求fs2fc，所以为使频率分辨率提高一倍，F=5 Hz，要求2 频谱泄漏频谱泄漏 对于持续很长时间的信号，抽样点数太多而导致无法存储和计算，只好截短形成有限长序列 进行DFT。这种截断处理会引起信号的频谱发生变化。的频谱如图(a)所示，加窗处理后 的频谱如图(b)所示。由图可以看出，原序列 的频谱是离散的谱线，经截短后，原频谱的离散谱线向附近宽展这种现象称为频谱泄漏。0(a)0(b)3 栅栏效应栅栏效应4 频率分辨力频率分辨力Thanks for your attention!